Đến nội dung

Hình ảnh

$4 - \sum a^2b \ge abc$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
vutung97

vutung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Bài $1$: với $a+b+c =3$ . CMR : $4 - \sum a^2b \ge abc$

Bài $2$: với $a+b+c =1$. Với $q= ab + bc + ca$ ; CMR 

$abc \le \dfrac {q^2(1 - q)}{2(2 - 3q)}$

 

Bài $3$ $a,b,c >0,a+b+c =3$

CMR  $8(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+9\geq 10(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Bài $4$ $a,b,c >0.a+b+c =1$

CMR $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{25}{1+48abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 19-06-2015 - 14:40


#2
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 3. Ta dùng phương pháp tiếp tuyến:

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$. Bất đẳng thức đã cho tương đương với: $\dfrac{(16-5b)(2b-1)^2}{2b}+\dfrac{(16-5b)(2b-1)^2}{2b}\geqslant \dfrac{2(a-2)^2(5a-1)}{a}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant \dfrac{2(a-2)^2}{\dfrac{b}{16-5b}+\dfrac{c}{16-5c}}\geqslant \dfrac{2(16-5a)(a-2)^2}{3-a}$

Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{(16-5a)(a-2)^2}{3-a}\geqslant \dfrac{(5a-1)(a-2)^2}{a}\Leftrightarrow 3(a-2)^2\geqslant 0$ luôn đúng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 19-06-2015 - 13:44

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 1. Ta viết lại bất đẳng thức dưới dạng đồng bậc: $27(a^2b+b^2c+c^2a+abc)\leqslant 4(a+b+c)^3$

$\Leftrightarrow 9c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+(a+4b-5c)(a+c-2b)^2\geqslant 0$

Do tính hoán vị nên ta có thể giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ thì bất đẳng thức cuối đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 2. Đặt $r=abc$ thì ta có $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\geqslant 0\Leftrightarrow q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2\geqslant 0$

$\Rightarrow 27r\leqslant 9q-2+2(1-3q)\sqrt{1-3q}=9q-2+\dfrac{2(1-3q)\left(1-\dfrac{3}{2}q\right)\sqrt{1-3q}}{1-\dfrac{3}{2}q}$

$\leqslant 9q-2+\dfrac{(1-3q)\left[\left(1-\dfrac{3}{2}q\right)^2+1-3q\right]}{1-\dfrac{3}{2}q}=\dfrac{27q^2(1-q)}{2(2-3q)}$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 4. Đặt $q=ab+bc+ca, r=abc$ thì bất đẳng thức trở thành: $(48q-25)r+q\geqslant 0$

Cũng theo cách suy luận ở bài thứ 2, ta đánh giá như sau: $r\leqslant \dfrac{q^2(16q-4)}{5(12q-5)}$

Áp dụng bất đẳng thức trên cho ra $VT\geqslant \dfrac{q(1-3q)(16q-5)^2}{5(5-12q)}\geqslant 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 19-06-2015 - 14:27

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#6
vutung97

vutung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Bài 1. Ta viết lại bất đẳng thức dưới dạng đồng bậc: $27(a^2b+b^2c+c^2a+abc)\leqslant 4(a+b+c)^3$

$\Leftrightarrow 9c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+(a+4b-5c)(a+c-2b)^2\geqslant 0$

Do tính hoán vị nên ta có thể giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ thì bất đẳng thức cuối đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.

đây đâu phải dấu tương đương đâu bạn, dòng này còn thiếu nhiều mà :(



#7
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

đây đâu phải dấu tương đương đâu bạn, dòng này còn thiếu nhiều mà :(

A, Em nhầm chút, phải là $9c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+(4a+b-5c)(a+c-2b)^2\geqslant 0$

$4a+b$ ghi lộn thành $a+4b$ :))


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#8
vutung97

vutung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Bài 2. Đặt $r=abc$ thì ta có $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\geqslant 0\Leftrightarrow q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2\geqslant 0$

$\Rightarrow 27r\leqslant 9q-2+2(1-3q)\sqrt{1-3q}=9q-2+\dfrac{2(1-3q)\left(1-\dfrac{3}{2}q\right)\sqrt{1-3q}}{1-\dfrac{3}{2}q}$

$\leqslant 9q-2+\dfrac{(1-3q)\left[\left(1-\dfrac{3}{2}q\right)^2+1-3q\right]}{1-\dfrac{3}{2}q}=\dfrac{27q^2(1-q)}{2(2-3q)}$

 

mình chưa hiểu đoạn này lắm :)

A, Em nhầm chút, phải là $9c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+(4a+b-5c)(a+c-2b)^2\geqslant 0$

$4a+b$ ghi lộn thành $a+4b$ :))

làm sao mà bạn biết mà nhóm hay vậy O.o



#9
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

mình chưa hiểu đoạn này lắm :)

làm sao mà bạn biết mà nhóm hay vậy O.o

Đoạn bôi vàng nghĩa là giải bất phương trình đó theo $r$

Còn phép nhóm thì đó chính là BW


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#10
vutung97

vutung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Đoạn bôi vàng nghĩa là giải bất phương trình đó theo $r$

Còn phép nhóm thì đó chính là BW

BW là j vậy bạn



#11
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

BW là j vậy bạn

BW là Bớ phơ lồ quay (đường trâu -_- ) có ý tưởng như sau:

Với $c=\text{min}\{a,b,c\}$ có thể đặt $a=c+x, b=c+y$

hoặc

Với $a\geqslant b\geqslant c$ có thể đặt $a=c+x+y, b=c+x$

Ở bài đó giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ thì đặt $a=c+x, b=c+y$ thay vào bất đẳng thức và bung ra và gom lại thành một hàm số bậc nhất theo $c$:

$9c(x^2-xy+y^2)+(4x+y)(x-2y)^2\geqslant 0$

Giờ chỉ việc tay $x=a-c$ và $y=b-c$ thì bất đăng thức trở thành: $9c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+(4a+b-5c)(a+c-2b)^2\geqslant 0$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#12
vutung97

vutung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

BW là Bớ phơ lồ quay (đường trâu -_- ) có ý tưởng như sau:

Với $c=\text{min}\{a,b,c\}$ có thể đặt $a=c+x, b=c+y$

hoặc

Với $a\geqslant b\geqslant c$ có thể đặt $a=c+x+y, b=c+x$

Ở bài đó giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ thì đặt $a=c+x, b=c+y$ thay vào bất đẳng thức và bung ra và gom lại thành một hàm số bậc nhất theo $c$:

$9c(x^2-xy+y^2)+(4x+y)(x-2y)^2\geqslant 0$

Giờ chỉ việc tay $x=a-c$ và $y=b-c$ thì bất đăng thức trở thành: $9c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+(4a+b-5c)(a+c-2b)^2\geqslant 0$

làm S.O.S cũng đc :D






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh