Chủ đề này có 2 trả lời

[Taj Staravarta]

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $F=xy+2yz+zx$

[Dinh Xuan Hung]

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $F=xy+2yz+zx$

Ta có:$(x+y+z)^2\geq 0\Leftrightarrow xy+yz+xz\geq -\frac{z^2+y^2+z^2}{2}=-\frac{1}{2}$

Ta có:$(y+z)^2\geq 0\Rightarrow yz\geq -\frac{y^2+z^2}{2}=\frac{x^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{x^2-1}{2}\geq -\frac{1}{2}$

Do đó:$F\geq -\frac{1}{2}+-\frac{1}{2}=-1$

Bạn tự tìm dấu bằng nhé

[olympiachapcanhuocmo]

Ta có : F=$\left ( x+y+z \right )^{2}-x\left ( y+z \right )-\sum x^{2}$ $\geq x\left ( y+z \right )-x\left ( y+z \right )-1=-1$

 

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x=0,y=\frac{1}{\sqrt{2}} , z=-\frac{1}{\sqrt{2}}$