Với $a,b,c>0$ đôi một khác nhau.Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{b^{2}}{(a-c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(b-a)^{2}}\geq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 19-06-2015 - 21:04
Với $a,b,c>0$ đôi một khác nhau.Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{b^{2}}{(a-c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(b-a)^{2}}\geq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 19-06-2015 - 21:04
Với $a,b,c>0$ đôi một khác nhau.Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{b^{2}}{(a-c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(b-a)^{2}}\geq 2$
$\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(a-c)^2}+\frac{c^2}{(b-a)^2}=\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2}$
Ta có:$\frac{ab}{(b-c)(c-a)}+\frac{bc}{(c-a)(a-b)}+\frac{ac}{(b-c)(a-b)}=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=-1$
Lại có:$\left ( \frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b} \right )^2\geq 0\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a}{b-c} \right )^2\geq -2.\sum \frac{ab}{(b-c)(c-a)}=2$
1 cách trình bày khác (ý tưởng thì vẫn giống bài của bạn Hùng)
BĐT cần cm tương đương với $\frac{a^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{b^{2}}{(c-a)^{2}}+\frac{c^{2}}{(a-b)^{2}}\geq 2$
đặt $(\frac{a}{b-c};\frac{b}{c-a};\frac{c}{a-b})=(x;y;z)$
$\Rightarrow (x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1) (=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)})$
$\Rightarrow 2\sum xy=-2 $
mà $\sum x^{2}\geq- 2\sum xy\Rightarrow \sum x^{2}\geq 2 $ => ta có đpcm
dấu "=" xảy ra <=> $x+y+z=0 <=> \frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$
1 bài toán tương tự : cho a,b,c là các số thực đôi một phân biệt. CMR $\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{\left ( b-c \right )^{2}}+\frac{\left ( c+a \right )^{2}}{\left ( c-a \right )^{2}}\geq 2$
cm hoàn toàn tương tự như trên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tonarinototoro: 19-06-2015 - 22:15
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh