Chủ đề này có 1 trả lời

[tathanhlien98]

đề thi hsg trường THPT Lương Văn Tụy Ninh Bình lớp 11 T

hóng đáp án bài 5 

Hình gửi kèm

• 

[nhungvienkimcuong]

Bài 5:(4 điểm)Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ để số

$A=2+n+n^2+...+n^{p-1}$ là lũy thừa bậc $5$ của một số nguyên dương

giả sử $\exists n,p$ thỏa đề nên đặt $A=y^5$ nên ta có

$\frac{n^p-1}{n-1}=y^5-1$

gọi $q$ là ước nguyên tố của $\frac{n^p-1}{n-1}$ thì dễ thấy $q=p\vee q\equiv 1(mod\ p)$ 

do đó các ước nguyên tố của $\frac{n^p-1}{n-1}=y^5-1$ có dạng $pk$ hoặc $pk+1$

ta có

$y^5-1=(y-1)(y^4+y^3+y^2+y+1)$

$\blacksquare\ \text{TH1}$ nếu $y-1\equiv 0(mod\ p)$

$\Rightarrow y^4+...+1\equiv 5(mod\ p)\Rightarrow p\in \left \{ 2,5 \right \}$

$\blacksquare\ \text{TH2}$ nếu $y-1\equiv 1(mod\ p)$

$\Rightarrow y^4+...+1\equiv 31(mod\ p)\Rightarrow p\in \left \{ 2,3,5,31 \right \}$

$\bigstar$ với $p=2$ thì chọn $n=30$

$\bigstar$ với $p=3$ thì chọn $n=5$

$\bigstar$ với $p=5$ thì chọn $n=2$

$\bigstar$ với $p=31$ thì chọn $n=1$

vậy $\boxed{p\in \left \{ 2,3,5,31 \right \}}$ thì $\exists n$ thỏa đề

bài toán này khá quen thuộc,đã xuất hiện nhiều trên VMF ta,

mình nhớ bài này chọn đội tuyển KHTN hay trên THTT thì phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 20-06-2015 - 18:27