Chủ đề này có 3 trả lời

[xnzt99]

Tìm CTTQ của dãy số: $u_{1}=1$ $u_{n+1}= \frac{u_{n}}{2+\sqrt{3+u_{n}^{2}}}$ $\forall n\geqslant 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 22-06-2015 - 09:51

[ducvipdh12]

Tìm CTTQ của dãy số: $u_{1}=1$ $u_{n+1}= \frac{u_{n}}{2+\sqrt{3+u_{n}^{2}}}$ $\forall n\geqslant 1$

dễ dàng chứng minh $u_n> 0,\forall n\in \mathbb{N^*}$

Đặt $t_n=\frac{1}{u_n}>0$

Từ giả thiết ta có:

$t_{n+1}=2t_n+\sqrt{3t_n^2+1},t_1=1$

$\Rightarrow t_{n+1}^2-4t_n.t_{n+1}+t_n^2=1$

Thay $n$ bởi $n-1$ ta có:

$t_n^2-4t_n.t_{n-1}+t_{n-1}^2=1$

$\Rightarrow (t_{n+1}-t_{n-1})(t_{n+1}-4t_n+t_{n-1})=0$

Mà $t_{n+1}> 2t_n> 4t_{n-1}> t_{n-1}$

Nên $t_{n+1}-4t_n+t_{n-1}=0$

Đến đây giải PT đặc trưng là xong

[Unknown99]

dễ dàng chứng minh $u_n> 0,\forall n\in \mathbb{N^*}$
Đặt $t_n=\frac{1}{u_n}>0$
Từ giả thiết ta có:
$t_{n+1}=2t_n+\sqrt{3t_n^2+1},t_1=1$
$\Rightarrow t_{n+1}^2-4t_n.t_{n+1}+t_n^2=1$
Thay $n$ bởi $n-1$ ta có:
$t_n^2-4t_n.t_{n-1}+t_{n-1}^2=1$
$\Rightarrow (t_{n+1}-t_{n-1})(t_{n+1}-4t_n+t_{n-1})=0$
Mà $t_{n+1}> 2t_n> 4t_{n-1}> t_{n-1}$
Nên $t_{n+1}-4t_n+t_{n-1}=0$
Đến đây giải PT đặc trưng là xong

Vì sao đặt được như vậy ạ.Có dạng chung nào không?

[Rias Gremory]

Vì sao đặt được như vậy ạ.Có dạng chung nào không?

Dạng chung có nhé bạn : $\left\{\begin{matrix} u_1=\alpha \\ u_n=\frac{u_{n-1}}{a+\sqrt{cu_{n-1}^2+b}},\forall n\geq 2 \end{matrix}\right.$ , trong đó $\alpha > 0,a>1 , a^2-b=1$

Giải dạng này :

Ta viết lại công thức truy hồi : $\frac{1}{u_n}=\frac{a}{u_{n-1}}+\sqrt{c+\frac{b}{u_{n-1}^2}}$ 

Đặt $x_n=\frac{1}{u_n}$

Ta có : $x_n=ax_{n-1}+\sqrt{bx_{n-1}^2+c}$