Chủ đề này có 3 trả lời

[dhieu9898]

Cho a,b,c không âm thỏa mãn a²+b²+c²=3. Tìm GTNN của biểu thức :

A=$\frac{ab+bc+ca+1}{a+b+c}+\frac{16}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1}}$

[25 minutes]

Cho a,b,c không âm thỏa mãn a²+b²+c²=3. Tìm GTNN của biểu thức :

A=$\frac{ab+bc+ca+1}{a+b+c}+\frac{16}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1}}$

Bạn sử dụng bất đẳng thức phụ là $a+b+c \geqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ với $a^2+b^2+c^2=3$

Khi đó $A\geqslant \frac{ab+bc+ca+1}{a+b+c}+\frac{16}{\sqrt{a+b+c+1}}$

Đặt $t=a+b+c \leqslant 3$, ta có $ab+bc+ca=\frac{t^2-3}{2}$

$\Rightarrow A\geqslant f(t)=\frac{\frac{t^2-3}{2}+1}{t}+\frac{16}{\sqrt{t+1}}=$

Đến đây bạn khảo sát hàm số là ra.

[raquaza]

Bạn sử dụng bất đẳng thức phụ là $a+b+c \geqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ với $a^2+b^2+c^2=3$

Khi đó $A\geqslant \frac{ab+bc+ca+1}{a+b+c}+\frac{16}{\sqrt{a+b+c+1}}$

Đặt $t=a+b+c \leqslant 3$, ta có $ab+bc+ca=\frac{t^2-3}{2}$

$\Rightarrow A\geqslant f(t)=\frac{\frac{t^2-3}{2}+1}{t}+\frac{16}{\sqrt{t+1}}=$

Đến đây bạn khảo sát hàm số là ra.

cho mình hỏi cách chứng minh bất đẳng thức phụ trên với.

[Hoang Long Le]

cho mình hỏi cách chứng minh bất đẳng thức phụ trên với.

 Theo BĐT AM-GM thì :

$$a+a+a^4\geq 3a^2\Rightarrow 2\sum a+\sum a^4\geq 3\sum a^2=\left ( \sum a^2 \right )^2=\sum a^4+2\sum a^2b^2\Rightarrow \sum a\geq \sum a^2b^2$$