Chủ đề này có 2 trả lời

[ngobaochau1704]

cho $a$,$b$,$c$$\geqslant$0 và $a^2$+$b^2$+$c^2$=3. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}$+$\frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}$+$\frac{c^3}{\sqrt{1+a^2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngobaochau1704: 22-06-2015 - 09:01

[Hoang Nhat Tuan]

cho $a$,$b$,$c$$\geqslant$0 và $a^2$+$b^2$+$c^2$=3. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}$+$\frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}$+$\frac{c^3}{\sqrt{1+a^2}}$

Dễ mà:

$P\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a\sqrt{1+b^2}}$

Lại có: $\sum 2\sqrt{2} a\sqrt{1+b^2}\leq\sum ( 2a^2+1+b^2)=3(a^2+b^2+c^2)+3$

Từ đó thay vào là tìm được GTNN

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 22-06-2015 - 09:22

[anh1999]

cho $a$,$b$,$c$$\geqslant$0 và $a^2$+$b^2$+$c^2$=3. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}$+$\frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}$+$\frac{c^3}{\sqrt{1+a^2}}$

ta có 

$\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\frac{c^3}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{a^4}{a\sqrt{1+b^2}}+\frac{b^4}{b\sqrt{1+c^2}}+\frac{c^4}{\sqrt{1+a^2}}$

 

$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a\sqrt{1+b^2}+b\sqrt{1+c^2}+c\sqrt{1+a^2}}\geq \frac{9}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(3+a^2+b^2+c^2)}}=\frac{9}{3\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

dấu = xảy ra khi a=b=c=1