Cho $x,y,z>0,n\in \mathbb{N}^*$ và $xyz=1$. Chứng minh:
a) $\left ( \frac{1+x}{2} \right )^n+\left ( \frac{1+y}{2} \right )^n+\left ( \frac{1+z}{2} \right )^n\geq 3$
b) $\frac{1}{x^2(y+z)}+\frac{1}{y^2(z+x)}+\frac{1}{z^2(x+y)}\geq \frac{3}{2}$
Cho $x,y,z>0,n\in \mathbb{N}^*$ và $xyz=1$. Chứng minh:
a) $\left ( \frac{1+x}{2} \right )^n+\left ( \frac{1+y}{2} \right )^n+\left ( \frac{1+z}{2} \right )^n\geq 3$
b) $\frac{1}{x^2(y+z)}+\frac{1}{y^2(z+x)}+\frac{1}{z^2(x+y)}\geq \frac{3}{2}$
Cho $x,y,z>0,n\in \mathbb{N}^*$ và $xyz=1$. Chứng minh:
a) $\left ( \frac{1+x}{2} \right )^n+\left ( \frac{1+y}{2} \right )^n+\left ( \frac{1+z}{2} \right )^n\geq 3$
a)Bổ đề:
$\frac{a^n+b^n+c^n}{3}\geq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^n$
Chứng minh:
$AM-GM: a^n+(n-1)\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^n \geq n.a.\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{n-1}$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta được:
$a^n+b^n+c^n+3(n-1)\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^n\geq n\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{n-1}.(a+b+c)$
$\Rightarrow \frac{a^n+b^n+c^n}{3} \geq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^n$
Áp dụng bổ đề:
$\sum \left ( \frac{1+x}{2} \right )^n \geq \frac{1}{3^{n-1}}\left ( \frac{3+x+y+z}{2} \right )^n \geq \frac{1}{3^{n-1}}\left ( \frac{3+3\sqrt[3]{xyz}}{2} \right )^n=3$
Ta có:
$VT\geq 3\sqrt[3]{[\frac{(1+x)(1+y)(1+z)}{8}]^{n}}\geq 3\sqrt[3]{[\frac{2\sqrt{x}.2\sqrt{y}.2\sqrt{z}}{8}]^{^{n}}}\geq 3$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh