Chủ đề này có 3 trả lời

[eminemdech]

Cho $x,y,z>0,n\in \mathbb{N}^*$ và $xyz=1$. Chứng minh:

a) $\left ( \frac{1+x}{2} \right )^n+\left ( \frac{1+y}{2} \right )^n+\left ( \frac{1+z}{2} \right )^n\geq 3$

b) $\frac{1}{x^2(y+z)}+\frac{1}{y^2(z+x)}+\frac{1}{z^2(x+y)}\geq \frac{3}{2}$

 

[tunglamlqddb]

1) dùng holder.
2) viết 1=xyz, từ đó dễ dàng thấy nesbit.

[Nguyen Minh Hai]

Cho $x,y,z>0,n\in \mathbb{N}^*$ và $xyz=1$. Chứng minh:

a) $\left ( \frac{1+x}{2} \right )^n+\left ( \frac{1+y}{2} \right )^n+\left ( \frac{1+z}{2} \right )^n\geq 3$

 

a)Bổ đề: 

$\frac{a^n+b^n+c^n}{3}\geq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^n$

Chứng minh:

$AM-GM: a^n+(n-1)\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^n \geq n.a.\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{n-1}$

Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta được:

$a^n+b^n+c^n+3(n-1)\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^n\geq n\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{n-1}.(a+b+c)$

 

$\Rightarrow \frac{a^n+b^n+c^n}{3} \geq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^n$

 

Áp dụng bổ đề:

$\sum \left ( \frac{1+x}{2} \right )^n \geq \frac{1}{3^{n-1}}\left ( \frac{3+x+y+z}{2} \right )^n \geq \frac{1}{3^{n-1}}\left ( \frac{3+3\sqrt[3]{xyz}}{2} \right )^n=3$

[Lee LOng]

Ta có: 

$VT\geq 3\sqrt[3]{[\frac{(1+x)(1+y)(1+z)}{8}]^{n}}\geq 3\sqrt[3]{[\frac{2\sqrt{x}.2\sqrt{y}.2\sqrt{z}}{8}]^{^{n}}}\geq 3$