Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 chatditvit

chatditvit

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 24-06-2015 - 07:19

Cho a, b, c>0. CMR: $\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$



#2 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 24-06-2015 - 07:28

Áp dụng $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq \frac{8}{9}.3\sqrt{ab+bc+ca}(ab+bc+ca)=\frac{8}{3}\sqrt{(ab+bc+ca)^{3}}\Rightarrow$ KQ :))


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#3 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 24-06-2015 - 08:51

Chuẩn hóa $(a+b)(b+c)(c+a)=8$$\Rightarrow abc\leq 1$

ta cần chứng minh $ab+bc+ca\leq 3$

Ta có:

$8=(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\geq \sqrt{3}(\sqrt{ab+bc+ca})^3-1\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#4 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-06-2015 - 08:54

Vì bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên không giảm tính tổng quát, ta giả sử $ab+bc+ca=3$

 

Khi đó, ta chỉ cần chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8$ là đủ, nhưng thật vậy, ta có:

$$a+b+c \geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}=3 \text{ (sử dụng bất đẳng thức cơ bản $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$)}$$

$$abc \stackrel{AM - GM}{\leqslant} \sqrt{\left( \dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3} = 1 $$

 

Khi đó

$$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc \geqslant 3 \times 3-1 =8$$

 

Bất đẳng thức chứng minh xong, dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#5 tank06536

tank06536

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quang Trung- Bình Phước
  • Sở thích:Bóng đá , BĐT , Xem Anime

Đã gửi 24-06-2015 - 09:21

có ai chỉ cho mình hiểu bdt thuần nhất là gì dc ko 



#6 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Invisible in Havard Chùa Láng :v
  • Sở thích:ngày xưa còn thích trinh thám giờ thì chỉ thích về quê nuôi cá trồng rau cho đỡ nhức đầu thôi ạ =))))

Đã gửi 24-06-2015 - 09:38

có ai chỉ cho mình hiểu bdt thuần nhất là gì dc ko 

Hàm số $f(x_1,x_2,...,x_n)$ của các biến số thực $x_1,x_2,...,x_n$được là hàm thuần nhất bậc $\alpha$nếu với mọi số thực $t$ ta có
$f$là một hàm thuần nhất được gọi là bất đẳng thức thuần nhất (bậc $\alpha$).
Ví dụ các bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức Chebyshev là các bất đẳng thức thuần nhất. Bất đẳng thức Bernoulli, bất đẳng thức $sinx<x$ với $x>0$ là các bất đẳng thức không thuần nhất.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh