Chủ đề này có 5 trả lời

[chatditvit]

Cho a, b, c>0. CMR: $\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}$

[khanghaxuan]

Áp dụng $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq \frac{8}{9}.3\sqrt{ab+bc+ca}(ab+bc+ca)=\frac{8}{3}\sqrt{(ab+bc+ca)^{3}}\Rightarrow$ KQ

[ducvipdh12]

Chuẩn hóa $(a+b)(b+c)(c+a)=8$$\Rightarrow abc\leq 1$

ta cần chứng minh $ab+bc+ca\leq 3$

Ta có:

$8=(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\geq \sqrt{3}(\sqrt{ab+bc+ca})^3-1\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$

[huykinhcan99]

Vì bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên không giảm tính tổng quát, ta giả sử $ab+bc+ca=3$

 

Khi đó, ta chỉ cần chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8$ là đủ, nhưng thật vậy, ta có:

$$a+b+c \geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}=3 \text{ (sử dụng bất đẳng thức cơ bản $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$)}$$

$$abc \stackrel{AM - GM}{\leqslant} \sqrt{\left( \dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3} = 1 $$

 

Khi đó

$$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc \geqslant 3 \times 3-1 =8$$

 

Bất đẳng thức chứng minh xong, dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

[tank06536]

có ai chỉ cho mình hiểu bdt thuần nhất là gì dc ko 

[hoctrocuaHolmes]

có ai chỉ cho mình hiểu bdt thuần nhất là gì dc ko 

Hàm số $f(x_1,x_2,...,x_n)$ của các biến số thực $x_1,x_2,...,x_n$được là hàm thuần nhất bậc $\alpha$nếu với mọi số thực $t$ ta có
$f$là một hàm thuần nhất được gọi là bất đẳng thức thuần nhất (bậc $\alpha$).
Ví dụ các bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức Chebyshev là các bất đẳng thức thuần nhất. Bất đẳng thức Bernoulli, bất đẳng thức $sinx<x$ với $x>0$ là các bất đẳng thức không thuần nhất.