Chủ đề này có 1 trả lời

[raquaza]

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+y-1}+\sqrt{1-y}=y+2\\\sqrt{x^2-y}+\sqrt{xy-y}=x\sqrt{x} \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi raquaza: 24-06-2015 - 09:18

[Louis Lagrange]

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+y-1}+\sqrt{1-y}=y+2\\\sqrt{x^2-y}+\sqrt{xy-y}=x\sqrt{x} \end{matrix}\right.$

Điều kiện: $2x+y-1 \geq 0, 1-y \geq 0, x^{2}-y \geq 0; xy -y \geq 0$

Xét pt(2):

$pt(2):\sqrt{x^{2}-y}+\sqrt{y(x-1)}=x\sqrt{x}$

*) $y \leq 0 \Rightarrow x-1 \leq 0\Leftrightarrow 0\leq x \leq 1$

$VP(2)=x\sqrt{x}=VT(2)\geq x\Rightarrow x\geq 1$

suy ra $x=1$ và $y=0$ (Thỏa mãn hệ)

*) $y\geq 0\Rightarrow x\geq 1$

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$: $VT(2)=\sqrt{x^{2}-y}.1 +\sqrt{y(x-1)} \leq \sqrt{x^{2}.x}=VP(2)$

Dấu $"="$ có khi: $y=x^{2} -x$

Thay vào $pt(1)$: $\sqrt{x^{2}+x-1} +\sqrt{x+1-x^{2}} =x^{2}-x+2$

$VP=x^{2}-x+2=VT \leq \sqrt{2x} \Rightarrow (\sqrt{x} -1)^{2}.(x+\sqrt{x}+2) \leq 0 \Leftrightarrow x=1$

Tương tự suy ra: $y=0$

Vậy hệ đã cho có nghiệm: $(x,y)=(1;0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Louis Lagrange: 17-08-2015 - 18:47