Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm hàm f(x) $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Bichess

Bichess

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

a) $xf(y) + yf(x) = (x+y)f(x)f(y)$

b) $\left\{\begin{matrix}f(x)=xf(\frac{1}{x}) & \\  f(x) + f(y) = 1+f(x+y) & \forall x,y\in \mathbb{R}; (x;y)\neq (0;0), x+y\neq 0\end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bichess: 24-06-2015 - 16:24


#2
Bichess

Bichess

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

a) $xf(y) + yf(x) = (x+y)f(x)f(y)$

b) $\left\{\begin{matrix}f(x)=xf(\frac{1}{x}) & \\ f(x) + f(y) = 1+f(x+y) & \forall x,y\in \mathbb{R}; (x;y)\neq (0;0), x+y\neq 0 \end{matrix}\right.$



#3
huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 336 Bài viết

a) $xf(y) + yf(x) = (x+y)f(x)f(y)$

b) $\left\{\begin{matrix}f(x)=xf(\frac{1}{x}) & \\ f(x) + f(y) = 1+f(x+y) & \forall x,y\in \mathbb{R}; (x;y)\neq (0;0), x+y\neq 0 \end{matrix}\right.$

 

b) Ta đánh số hai phương trình hàm như sau:

\begin{align} \label{eq:1} f(x)& =xf(\frac{1}{x}) \\ \label{eq:2} f(x) + f(y) & = 1+f(x+y) \end{align}

 

Cho $x=-1$ vào \eqref{eq:1} ta được

\begin{equation} \label{eq:3} f(-1)=-f(-1) \Rightarrow f(-1)=0 \end{equation}

 

Cho $y=0, x\neq 0$ vào \eqref{eq:2} ta được

\begin{equation} \label{eq:4} f(x)+f(0)=1+f(x) \Rightarrow f(0)=1 \end{equation}

 

Cho $y=-1, x\neq 1$ vào \eqref{eq:2} ta được

\begin{equation} \label{eq:5} f(x)+f(-1)=1+f(x-1) \ \forall x\neq 1 \end{equation}

 

$$\eqref{eq:3},\eqref{eq:5} \Rightarrow f(x)=f(x-1)+1 \forall x \neq 1$$

 

Ta có: \begin{align*} f(x) & = f(x-1)+1  \ \forall x\neq 1 \\ & = \left[f(x-2)+1\right] +1  \ \forall x\neq 1 \\ & =f(x-2)+2  \ \forall x\neq 1 \\ & = \ldots \\ & = f(0)+x  \ \forall x\neq 1 \\ &= x+1  \ \forall x\neq 1 \text{ (theo \eqref{eq:4})} \end{align*}

 

Vậy $f(x)=x+1  \ \forall x\neq 1$

 

Mặt khác, từ \eqref{eq:2} cho $x=y=1$ ta được $2f(1)=1+f(2)$, lại cho $x=2$ vào công thức $f(x)=x+1  \ \forall x\neq 1$ thì $f(2)=3$

 

Vậy $2f(1)=1+3$ hay $f(1)=2$

 

Vậy tóm lại, $f(x)=x+1\ \forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thoả mãn

 

Spoiler


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#4
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

b) Ta đánh số hai phương trình hàm như sau:

\begin{align} \label{eq:1} f(x)& =xf(\frac{1}{x}) \\ \label{eq:2} f(x) + f(y) & = 1+f(x+y) \end{align}

 

Cho $x=-1$ vào \eqref{eq:1} ta được

\begin{equation} \label{eq:3} f(-1)=-f(-1) \Rightarrow f(-1)=0 \end{equation}

 

Cho $y=0, x\neq 0$ vào \eqref{eq:2} ta được

\begin{equation} \label{eq:4} f(x)+f(0)=1+f(x) \Rightarrow f(0)=1 \end{equation}

 

Cho $y=-1, x\neq 1$ vào \eqref{eq:2} ta được

\begin{equation} \label{eq:5} f(x)+f(-1)=1+f(x-1) \ \forall x\neq 1 \end{equation}

 

$$\eqref{eq:3},\eqref{eq:5} \Rightarrow f(x)=f(x-1)+1 \forall x \neq 1$$

 

Ta có: \begin{align*} f(x) & = f(x-1)+1  \ \forall x\neq 1 \\ & = \left[f(x-2)+1\right] +1  \ \forall x\neq 1 \\ & =f(x-2)+2  \ \forall x\neq 1 \\ & = \ldots \\ & = f(0)+x  \ \forall x\neq 1 \\ &= x+1  \ \forall x\neq 1 \text{ (theo \eqref{eq:4})} \end{align*}

 

Vậy $f(x)=x+1  \ \forall x\neq 1$

 

Mặt khác, từ \eqref{eq:2} cho $x=y=1$ ta được $2f(1)=1+f(2)$, lại cho $x=2$ vào công thức $f(x)=x+1  \ \forall x\neq 1$ thì $f(2)=3$

 

Vậy $2f(1)=1+3$ hay $f(1)=2$

 

Vậy tóm lại, $f(x)=x+1\ \forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thoả mãn

 

Spoiler

Đọc bài giải của bạn thì thấy bạn chỉ chứng minh được $f(x)=x+1, \forall x \in N$ thôi :) Bạn xem kĩ lại xem


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#5
huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 336 Bài viết

Đọc bài giải của bạn thì thấy bạn chỉ chứng minh được $f(x)=x+1, \forall x \in N$ thôi :) Bạn xem kĩ lại xem

 

Không, đây là mình sử dụng tính chất không phụ thuộc biến của hàm số chứ. Thật vậy, từ

$f(x)=f(x−1)+1$, cho $x=\alpha-1$ thì được $f(\alpha-1)=f(\alpha-2)+1$ hay là $f(x-1)=f(x-2)+1$, thế vào cái bên trên là được, chứ đâu nhất thiết phải là trên tập tự nhiên $\mathbb{N}$


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#6
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Không, đây là mình sử dụng tính chất không phụ thuộc biến của hàm số chứ. Thật vậy, từ

$f(x)=f(x−1)+1$, cho $x=\alpha-1$ thì được $f(\alpha-1)=f(\alpha-2)+1$ hay là $f(x-1)=f(x-2)+1$, thế vào cái bên trên là được, chứ đâu nhất thiết phải là trên tập tự nhiên $\mathbb{N}$

Nhưng để cuối cùng giảm được xuống f(0) thì bạn đã thừa nhận là x là số tự nhiên rồi. Chẳng hạn bạn cói f(1,1)=f(0,1)+1. Bạn đâu có được điều mình cần là f(0) đâu vì ở đây 1,1 không là số tự nhiên. 



#7
cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

bài 1 thực ra rất dễ , thay y bởi x thì 2xf(x)=2xf(x)^2 suy ra f(x)= 0 hoặc bằng 2 với mọi x khác 0 

cho x=0 vào bài thì có ngay f(0)=0 hoặc 1
néu f(1)=1 thay y=1 thì có x+f(x)=(x+1)f(x) suy ra f(x)=1 với mọi x khác 0
và f(0)=0 hay 1 đều ok , thử lại thấy đung
nếu f(1)=0 cho x=1 thì được f(y)=0 với mọi y 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh