Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm hàm f(x) $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Bichess

Bichess

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Đã gửi 24-06-2015 - 16:15

a) $xf(y) + yf(x) = (x+y)f(x)f(y)$

b) $\left\{\begin{matrix}f(x)=xf(\frac{1}{x}) & \\  f(x) + f(y) = 1+f(x+y) & \forall x,y\in \mathbb{R}; (x;y)\neq (0;0), x+y\neq 0\end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bichess: 24-06-2015 - 16:24


#2 Bichess

Bichess

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Đã gửi 24-06-2015 - 16:18

a) $xf(y) + yf(x) = (x+y)f(x)f(y)$

b) $\left\{\begin{matrix}f(x)=xf(\frac{1}{x}) & \\ f(x) + f(y) = 1+f(x+y) & \forall x,y\in \mathbb{R}; (x;y)\neq (0;0), x+y\neq 0 \end{matrix}\right.$



#3 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-06-2015 - 21:09

a) $xf(y) + yf(x) = (x+y)f(x)f(y)$

b) $\left\{\begin{matrix}f(x)=xf(\frac{1}{x}) & \\ f(x) + f(y) = 1+f(x+y) & \forall x,y\in \mathbb{R}; (x;y)\neq (0;0), x+y\neq 0 \end{matrix}\right.$

 

b) Ta đánh số hai phương trình hàm như sau:

\begin{align} \label{eq:1} f(x)& =xf(\frac{1}{x}) \\ \label{eq:2} f(x) + f(y) & = 1+f(x+y) \end{align}

 

Cho $x=-1$ vào \eqref{eq:1} ta được

\begin{equation} \label{eq:3} f(-1)=-f(-1) \Rightarrow f(-1)=0 \end{equation}

 

Cho $y=0, x\neq 0$ vào \eqref{eq:2} ta được

\begin{equation} \label{eq:4} f(x)+f(0)=1+f(x) \Rightarrow f(0)=1 \end{equation}

 

Cho $y=-1, x\neq 1$ vào \eqref{eq:2} ta được

\begin{equation} \label{eq:5} f(x)+f(-1)=1+f(x-1) \ \forall x\neq 1 \end{equation}

 

$$\eqref{eq:3},\eqref{eq:5} \Rightarrow f(x)=f(x-1)+1 \forall x \neq 1$$

 

Ta có: \begin{align*} f(x) & = f(x-1)+1  \ \forall x\neq 1 \\ & = \left[f(x-2)+1\right] +1  \ \forall x\neq 1 \\ & =f(x-2)+2  \ \forall x\neq 1 \\ & = \ldots \\ & = f(0)+x  \ \forall x\neq 1 \\ &= x+1  \ \forall x\neq 1 \text{ (theo \eqref{eq:4})} \end{align*}

 

Vậy $f(x)=x+1  \ \forall x\neq 1$

 

Mặt khác, từ \eqref{eq:2} cho $x=y=1$ ta được $2f(1)=1+f(2)$, lại cho $x=2$ vào công thức $f(x)=x+1  \ \forall x\neq 1$ thì $f(2)=3$

 

Vậy $2f(1)=1+3$ hay $f(1)=2$

 

Vậy tóm lại, $f(x)=x+1\ \forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thoả mãn

 

Spoiler


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#4 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 25-06-2015 - 08:49

b) Ta đánh số hai phương trình hàm như sau:

\begin{align} \label{eq:1} f(x)& =xf(\frac{1}{x}) \\ \label{eq:2} f(x) + f(y) & = 1+f(x+y) \end{align}

 

Cho $x=-1$ vào \eqref{eq:1} ta được

\begin{equation} \label{eq:3} f(-1)=-f(-1) \Rightarrow f(-1)=0 \end{equation}

 

Cho $y=0, x\neq 0$ vào \eqref{eq:2} ta được

\begin{equation} \label{eq:4} f(x)+f(0)=1+f(x) \Rightarrow f(0)=1 \end{equation}

 

Cho $y=-1, x\neq 1$ vào \eqref{eq:2} ta được

\begin{equation} \label{eq:5} f(x)+f(-1)=1+f(x-1) \ \forall x\neq 1 \end{equation}

 

$$\eqref{eq:3},\eqref{eq:5} \Rightarrow f(x)=f(x-1)+1 \forall x \neq 1$$

 

Ta có: \begin{align*} f(x) & = f(x-1)+1  \ \forall x\neq 1 \\ & = \left[f(x-2)+1\right] +1  \ \forall x\neq 1 \\ & =f(x-2)+2  \ \forall x\neq 1 \\ & = \ldots \\ & = f(0)+x  \ \forall x\neq 1 \\ &= x+1  \ \forall x\neq 1 \text{ (theo \eqref{eq:4})} \end{align*}

 

Vậy $f(x)=x+1  \ \forall x\neq 1$

 

Mặt khác, từ \eqref{eq:2} cho $x=y=1$ ta được $2f(1)=1+f(2)$, lại cho $x=2$ vào công thức $f(x)=x+1  \ \forall x\neq 1$ thì $f(2)=3$

 

Vậy $2f(1)=1+3$ hay $f(1)=2$

 

Vậy tóm lại, $f(x)=x+1\ \forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thoả mãn

 

Spoiler

Đọc bài giải của bạn thì thấy bạn chỉ chứng minh được $f(x)=x+1, \forall x \in N$ thôi :) Bạn xem kĩ lại xem


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#5 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-06-2015 - 11:34

Đọc bài giải của bạn thì thấy bạn chỉ chứng minh được $f(x)=x+1, \forall x \in N$ thôi :) Bạn xem kĩ lại xem

 

Không, đây là mình sử dụng tính chất không phụ thuộc biến của hàm số chứ. Thật vậy, từ

$f(x)=f(x−1)+1$, cho $x=\alpha-1$ thì được $f(\alpha-1)=f(\alpha-2)+1$ hay là $f(x-1)=f(x-2)+1$, thế vào cái bên trên là được, chứ đâu nhất thiết phải là trên tập tự nhiên $\mathbb{N}$


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#6 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 539 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-06-2015 - 12:15

Không, đây là mình sử dụng tính chất không phụ thuộc biến của hàm số chứ. Thật vậy, từ

$f(x)=f(x−1)+1$, cho $x=\alpha-1$ thì được $f(\alpha-1)=f(\alpha-2)+1$ hay là $f(x-1)=f(x-2)+1$, thế vào cái bên trên là được, chứ đâu nhất thiết phải là trên tập tự nhiên $\mathbb{N}$

Nhưng để cuối cùng giảm được xuống f(0) thì bạn đã thừa nhận là x là số tự nhiên rồi. Chẳng hạn bạn cói f(1,1)=f(0,1)+1. Bạn đâu có được điều mình cần là f(0) đâu vì ở đây 1,1 không là số tự nhiên. 



#7 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 27-06-2015 - 11:45

bài 1 thực ra rất dễ , thay y bởi x thì 2xf(x)=2xf(x)^2 suy ra f(x)= 0 hoặc bằng 2 với mọi x khác 0 

cho x=0 vào bài thì có ngay f(0)=0 hoặc 1
néu f(1)=1 thay y=1 thì có x+f(x)=(x+1)f(x) suy ra f(x)=1 với mọi x khác 0
và f(0)=0 hay 1 đều ok , thử lại thấy đung
nếu f(1)=0 cho x=1 thì được f(y)=0 với mọi y 






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh