a) $xf(y) + yf(x) = (x+y)f(x)f(y)$
b) $\left\{\begin{matrix}f(x)=xf(\frac{1}{x}) & \\ f(x) + f(y) = 1+f(x+y) & \forall x,y\in \mathbb{R}; (x;y)\neq (0;0), x+y\neq 0 \end{matrix}\right.$
b) Ta đánh số hai phương trình hàm như sau:
\begin{align} \label{eq:1} f(x)& =xf(\frac{1}{x}) \\ \label{eq:2} f(x) + f(y) & = 1+f(x+y) \end{align}
Cho $x=-1$ vào \eqref{eq:1} ta được
\begin{equation} \label{eq:3} f(-1)=-f(-1) \Rightarrow f(-1)=0 \end{equation}
Cho $y=0, x\neq 0$ vào \eqref{eq:2} ta được
\begin{equation} \label{eq:4} f(x)+f(0)=1+f(x) \Rightarrow f(0)=1 \end{equation}
Cho $y=-1, x\neq 1$ vào \eqref{eq:2} ta được
\begin{equation} \label{eq:5} f(x)+f(-1)=1+f(x-1) \ \forall x\neq 1 \end{equation}
$$\eqref{eq:3},\eqref{eq:5} \Rightarrow f(x)=f(x-1)+1 \forall x \neq 1$$
Ta có: \begin{align*} f(x) & = f(x-1)+1 \ \forall x\neq 1 \\ & = \left[f(x-2)+1\right] +1 \ \forall x\neq 1 \\ & =f(x-2)+2 \ \forall x\neq 1 \\ & = \ldots \\ & = f(0)+x \ \forall x\neq 1 \\ &= x+1 \ \forall x\neq 1 \text{ (theo \eqref{eq:4})} \end{align*}
Vậy $f(x)=x+1 \ \forall x\neq 1$
Mặt khác, từ \eqref{eq:2} cho $x=y=1$ ta được $2f(1)=1+f(2)$, lại cho $x=2$ vào công thức $f(x)=x+1 \ \forall x\neq 1$ thì $f(2)=3$
Vậy $2f(1)=1+3$ hay $f(1)=2$
Vậy tóm lại, $f(x)=x+1\ \forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thoả mãn