Chủ đề này có 1 trả lời

[Taj Staravarta]

$x_0$ là một nghiệm của phương trình $x^3+ax^2+bx+c=0$. Chứng minh rằng $x_0^2<1+a^2+b^2+c^2$

[vda2000]

$x_0$ là một nghiệm của phương trình $x^3+ax^2+bx+c=0$. Chứng minh rằng $x_0^2<1+a^2+b^2+c^2$

Thay $x_0$ vào phương trình ta có:

$x_0^3+ax_0^2+bx^0+c=0$

$\Leftrightarrow x_0^3=-ax_0^2-bx_0-c$

$\Rightarrow x_0^6=(ax_0^2+bx_0+c)^2$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$(ax_0^2+bx_0+c)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(x_0^4+x_0^2+1)$

Do đó, $x_0^6\leq (a^2+b^2+c^2)(x_0^4+x_0^2+1)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq\frac{x_0^6}{x_0^4+x_0^2+1}>\frac{x_0^6-1}{x_0^4+x_0^2+1}=\frac{(x_0^2-1)(x_0^4+x_0^2+1)}{x_0^4+x_0^2+1}=x_0^2-1$

$\Rightarrow x_0^2 <1+a^2+b^2+c^2$ (ĐPCM)