$x_0$ là một nghiệm của phương trình $x^3+ax^2+bx+c=0$. Chứng minh rằng $x_0^2<1+a^2+b^2+c^2$
$x_0^2<1+a^2+b^2+c^2$
#1
Đã gửi 25-06-2015 - 08:54
#2
Đã gửi 25-06-2015 - 09:13
$x_0$ là một nghiệm của phương trình $x^3+ax^2+bx+c=0$. Chứng minh rằng $x_0^2<1+a^2+b^2+c^2$
Thay $x_0$ vào phương trình ta có:
$x_0^3+ax_0^2+bx^0+c=0$
$\Leftrightarrow x_0^3=-ax_0^2-bx_0-c$
$\Rightarrow x_0^6=(ax_0^2+bx_0+c)^2$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
$(ax_0^2+bx_0+c)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(x_0^4+x_0^2+1)$
Do đó, $x_0^6\leq (a^2+b^2+c^2)(x_0^4+x_0^2+1)$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq\frac{x_0^6}{x_0^4+x_0^2+1}>\frac{x_0^6-1}{x_0^4+x_0^2+1}=\frac{(x_0^2-1)(x_0^4+x_0^2+1)}{x_0^4+x_0^2+1}=x_0^2-1$
$\Rightarrow x_0^2 <1+a^2+b^2+c^2$ (ĐPCM)
- minhduc2000, Phuong Thu Quoc, hoangtunglam và 1 người khác yêu thích
$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$
If you see this, you will visit my facebook.....!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh