Chủ đề này có 1 trả lời

[Huy Thong]

Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$. Chứng minh rằng tập hợp gồm $p-1$ số nguyên dương liên tiếp không thể chia thành hai tập hợp con không giao nhau sao cho tích các phần tử ở mỗi tập là bằng nhau.

[Juliel]

Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$. Chứng minh rằng tập hợp gồm $p-1$ số nguyên dương liên tiếp không thể chia thành hai tập hợp con không giao nhau sao cho tích các phần tử ở mỗi tập là bằng nhau.

Lời giải :

Gọi tập hợp đó là $S=\left \{ n,n+1,n+2,..,n+p-1 \right \}$. Gỉa sử có thể chia được như đề bài, khi đó tích $A=n(n+1)(n+2)...(n+p-1$ là số chính phương.

Nếu $S$ chứa một phần tử chia hết cho $p$ thì đó cũng là phần tử duy nhất chia hết cho $p$ trong $S$.

Suy ra $p\mid A$ nhưng $p^2\nmid A$, mâu thuẫn vì $A$ chính phương.

Nếu $S$ không chứa phần tử nào chia hết cho $p$ thì do bất kì hai phần tử nào trong $S$ cũng không đồng dư với nhau theo modulo $p$ nên theo định lí Wilson :

$$A=n(n+1)...(n+p-1)\equiv 1.2.3....(p-1)=(p-1)!\equiv -1\pmod p$$

$$p\mid A+1$$

Điều này là vô lí vì tất cả các số dạng $x^2+1$ không có ước nguyên tố dạng $4k+3$.