6 replies to this topic

[the man]

Bài toán:

Tìm hằng số  $k$  tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng với  $a,b,c>0$ :

$$\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac{b^2-ac}{c^2+a^2+kb^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+kc^2}\geq 0$$

[Hoang Tung 126]

Bài toán:

Tìm hằng số  $k$  tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng với  $a,b,c>0$ :

$$\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac{b^2-ac}{c^2+a^2+kb^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+kc^2}\geq 0$$

- Chọn $a=1,b=\frac{1}{x},c=x (x> 0)$

 

 BĐT $\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac{b^2-ac}{a^2+c^2+kb^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+kc^2}\geq 0$

$< = > \frac{1-x.\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+x^2+k.1^2}+\frac{\frac{1}{x^2}-x.1}{1^2+x^2+\frac{k}{x^2}}+\frac{x^2-1.\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}+kx^2}\geq 0$

$< = >0+ \frac{1-x^3}{x^4+x^2+k}+\frac{x(x^3-1)}{kx^4+x^2+1}\geq 0$

$< = > (x^3-1)(\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k})\geq 0$  (1)

 

 Mà $\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k}=\frac{x^5+x^3-x^2-1-k(x^4-x)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}=\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}$

 

  Do đó $(1)< = > (x^3-1)(\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)})\geq 0$

$< = > (x-1)^2(x^2+x+1).\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}\geq 0$

$= > x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)\geq 0= > k\leq \frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}$

  -Cho $b\rightarrow c= > \frac{1}{x}\rightarrow x= > x\rightarrow 1$

 

  Từ đó $= > k\leq \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}=\lim_{x\rightarrow 1}(\frac{x(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)}{x^3+x^2+x})=\lim_{x\rightarrow 1}(x+\frac{1}{x})=2$ 

 

   Từ đó $= > k\leq 2$ ,Ta chứng minh đó là hằng số tốt nhất  thỏa mãn bài toán 

 

 Thay $k=2$ vào BĐT

 

 $< = > \sum \frac{a^2-bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0< = > \sum \frac{2a^2-2bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$

$< = > \sum \frac{2a^2+b^2+c^2-(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$

$< = > \sum \frac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\leq 3$

 

 Theo Cauchy-Swacth có :$\sum \frac{(b+c)^2}{(b^2+a^2)+(c^2+a^2)}\leq \sum \frac{b^2}{b^2+a^2}+\sum \frac{c^2}{a^2+c^2}$

$=\sum \frac{b^2}{a^2+b^2}+\sum \frac{a^2}{a^2+b^2}=\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=3$

         Do đó ta có ĐPCM.

 

      Vậy $k_{max}=2$ thỏa mãn bài toán

Edited by Hoang Tung 126, 26-06-2015 - 07:19.

[Lam Ba Thinh]

- Chọn $a=1,b=\frac{1}{x},c=x (x> 0)$

 

 BĐT $\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac{b^2-ac}{a^2+c^2+kb^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+kc^2}\geq 0$

$< = > \frac{1-x.\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+x^2+k.1^2}+\frac{\frac{1}{x^2}-x.1}{1^2+x^2+\frac{k}{x^2}}+\frac{x^2-1.\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}+kx^2}\geq 0$

$< = >0+ \frac{1-x^3}{x^4+x^2+k}+\frac{x(x^3-1)}{kx^4+x^2+1}\geq 0$

$< = > (x^3-1)(\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k})\geq 0$  (1)

 

 Mà $\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k}=\frac{x^5+x^3-x^2-1-k(x^4-x)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}=\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}$

 

  Do đó $(1)< = > (x^3-1)(\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)})\geq 0$

$< = > (x-1)^2(x^2+x+1).\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}\geq 0$

$= > x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)\geq 0= > k\leq \frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}$

  -Cho $b\rightarrow c= > \frac{1}{x}\rightarrow x= > x\rightarrow 1$

 

  Từ đó $= > k\leq \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}=\lim_{x\rightarrow 1}(\frac{x(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)}{x^3+x^2+x})=\lim_{x\rightarrow 1}(x+\frac{1}{x})=2$ 

 

   Từ đó $= > k\leq 2$ ,Ta chứng minh đó là hằng số tốt nhất  thỏa mãn bài toán 

 

 Thay $k=2$ vào BĐT

 

 $< = > \sum \frac{a^2-bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0< = > \sum \frac{2a^2-2bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$

$< = > \sum \frac{2a^2+b^2+c^2-(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$

$< = > \sum \frac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\leq 3$

 

 Theo Cauchy-Swacth có :$\sum \frac{(b+c)^2}{(b^2+a^2)+(c^2+a^2)}\leq \sum \frac{b^2}{b^2+a^2}+\sum \frac{c^2}{a^2+c^2}$

$=\sum \frac{b^2}{a^2+b^2}+\sum \frac{a^2}{a^2+b^2}=\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=3$

         Do đó ta có ĐPCM.

 

      Vậy $k_{max}=2$ thỏa mãn bài toán

Cho em hỏi phương phap để giải những bài dạng này là gì vậy anh?

[Hoang Tung 126]

Cho em hỏi phương phap để giải những bài dạng này là gì vậy anh?

ầ ,em cứ thử chọn để đưa về 2 ẩn ,trong đó có 1 ẩn k là được

[Lam Ba Thinh]

ầ ,em cứ thử chọn để đưa về 2 ẩn ,trong đó có 1 ẩn k là được.

Cảm ơn anh, anh có những dạng toán giải theo Phương pháp này không ạ. Nếu có cho em xin tài liệu ạ.

[Hoang Tung 126]

Cảm ơn anh, anh có những dạng toán giải theo Phương pháp này không ạ. Nếu có cho em xin tài liệu ạ.

Anh có ,để mai anh chuyển link cho nhé!!

[Lam Ba Thinh]

Anh có ,để mai anh chuyển link cho nhé!!

Cảm ơn anh!