Bài toán:
Tìm hằng số $k$ tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng với $a,b,c>0$ :
$$\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac{b^2-ac}{c^2+a^2+kb^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+kc^2}\geq 0$$
Đã gửi 25-06-2015 - 23:11
Bài toán:
Tìm hằng số $k$ tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng với $a,b,c>0$ :
$$\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac{b^2-ac}{c^2+a^2+kb^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+kc^2}\geq 0$$
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Đã gửi 25-06-2015 - 23:44
Bài toán:
Tìm hằng số $k$ tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng với $a,b,c>0$ :
$$\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac{b^2-ac}{c^2+a^2+kb^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+kc^2}\geq 0$$
- Chọn $a=1,b=\frac{1}{x},c=x (x> 0)$
BĐT $\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac{b^2-ac}{a^2+c^2+kb^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+kc^2}\geq 0$
$< = > \frac{1-x.\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+x^2+k.1^2}+\frac{\frac{1}{x^2}-x.1}{1^2+x^2+\frac{k}{x^2}}+\frac{x^2-1.\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}+kx^2}\geq 0$
$< = >0+ \frac{1-x^3}{x^4+x^2+k}+\frac{x(x^3-1)}{kx^4+x^2+1}\geq 0$
$< = > (x^3-1)(\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k})\geq 0$ (1)
Mà $\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k}=\frac{x^5+x^3-x^2-1-k(x^4-x)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}=\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}$
Do đó $(1)< = > (x^3-1)(\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)})\geq 0$
$< = > (x-1)^2(x^2+x+1).\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}\geq 0$
$= > x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)\geq 0= > k\leq \frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}$
-Cho $b\rightarrow c= > \frac{1}{x}\rightarrow x= > x\rightarrow 1$
Từ đó $= > k\leq \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}=\lim_{x\rightarrow 1}(\frac{x(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)}{x^3+x^2+x})=\lim_{x\rightarrow 1}(x+\frac{1}{x})=2$
Từ đó $= > k\leq 2$ ,Ta chứng minh đó là hằng số tốt nhất thỏa mãn bài toán
Thay $k=2$ vào BĐT
$< = > \sum \frac{a^2-bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0< = > \sum \frac{2a^2-2bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$
$< = > \sum \frac{2a^2+b^2+c^2-(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$
$< = > \sum \frac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\leq 3$
Theo Cauchy-Swacth có :$\sum \frac{(b+c)^2}{(b^2+a^2)+(c^2+a^2)}\leq \sum \frac{b^2}{b^2+a^2}+\sum \frac{c^2}{a^2+c^2}$
$=\sum \frac{b^2}{a^2+b^2}+\sum \frac{a^2}{a^2+b^2}=\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=3$
Do đó ta có ĐPCM.
Vậy $k_{max}=2$ thỏa mãn bài toán
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 26-06-2015 - 07:19
Đã gửi 26-06-2015 - 08:05
- Chọn $a=1,b=\frac{1}{x},c=x (x> 0)$
BĐT $\frac{a^2-bc}{b^2+c^2+ka^2}+\frac{b^2-ac}{a^2+c^2+kb^2}+\frac{c^2-ab}{a^2+b^2+kc^2}\geq 0$
$< = > \frac{1-x.\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+x^2+k.1^2}+\frac{\frac{1}{x^2}-x.1}{1^2+x^2+\frac{k}{x^2}}+\frac{x^2-1.\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}+kx^2}\geq 0$
$< = >0+ \frac{1-x^3}{x^4+x^2+k}+\frac{x(x^3-1)}{kx^4+x^2+1}\geq 0$
$< = > (x^3-1)(\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k})\geq 0$ (1)
Mà $\frac{x}{kx^4+x^2+1}-\frac{1}{x^4+x^2+k}=\frac{x^5+x^3-x^2-1-k(x^4-x)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}=\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}$
Do đó $(1)< = > (x^3-1)(\frac{(x-1)(x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1))}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)})\geq 0$
$< = > (x-1)^2(x^2+x+1).\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)}{(kx^4+x^2+1)(x^4+x^2+k)}\geq 0$
$= > x^4+x^3+2x^2+x+1-kx(x^2+x+1)\geq 0= > k\leq \frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}$
-Cho $b\rightarrow c= > \frac{1}{x}\rightarrow x= > x\rightarrow 1$
Từ đó $= > k\leq \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^4+x^3+2x^2+x+1}{x^3+x^2+x}=\lim_{x\rightarrow 1}(\frac{x(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1)}{x^3+x^2+x})=\lim_{x\rightarrow 1}(x+\frac{1}{x})=2$
Từ đó $= > k\leq 2$ ,Ta chứng minh đó là hằng số tốt nhất thỏa mãn bài toán
Thay $k=2$ vào BĐT
$< = > \sum \frac{a^2-bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0< = > \sum \frac{2a^2-2bc}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$
$< = > \sum \frac{2a^2+b^2+c^2-(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\geq 0$
$< = > \sum \frac{(b+c)^2}{b^2+c^2+2a^2}\leq 3$
Theo Cauchy-Swacth có :$\sum \frac{(b+c)^2}{(b^2+a^2)+(c^2+a^2)}\leq \sum \frac{b^2}{b^2+a^2}+\sum \frac{c^2}{a^2+c^2}$
$=\sum \frac{b^2}{a^2+b^2}+\sum \frac{a^2}{a^2+b^2}=\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=3$
Do đó ta có ĐPCM.
Vậy $k_{max}=2$ thỏa mãn bài toán
Cho em hỏi phương phap để giải những bài dạng này là gì vậy anh?
Đã gửi 26-06-2015 - 08:50
Cho em hỏi phương phap để giải những bài dạng này là gì vậy anh?
ầ ,em cứ thử chọn để đưa về 2 ẩn ,trong đó có 1 ẩn k là được
Đã gửi 28-06-2015 - 18:44
ầ ,em cứ thử chọn để đưa về 2 ẩn ,trong đó có 1 ẩn k là được.
Cảm ơn anh, anh có những dạng toán giải theo Phương pháp này không ạ. Nếu có cho em xin tài liệu ạ.
Đã gửi 28-06-2015 - 19:37
Cảm ơn anh, anh có những dạng toán giải theo Phương pháp này không ạ. Nếu có cho em xin tài liệu ạ.
Anh có ,để mai anh chuyển link cho nhé!!
Đã gửi 29-06-2015 - 21:35
Anh có ,để mai anh chuyển link cho nhé!!
Cảm ơn anh!
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh