Chủ đề này có 3 trả lời

[Capture]

Chứng minh với mọi a, b, c không âm :

$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

[anh1999]

Chứng minh với mọi a, b, c không âm :

$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

ta có 

$\sqrt{a^2+8bc}+\sqrt{b^2+8ac}+\sqrt{c^2+8ab}\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2+8ab+8bc+8ca)}$

$\leq \sqrt{3[(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)+2(3ab+3bc+3ca)]}\leq \sqrt{3[(a+b+c)^2+2(a+b+c)^2]}=3(a+b+c)$

[Hoang Tung 126]

Chứng minh với mọi a, b, c không âm :

$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

Theo Bunhia có : $\sum \sqrt{a^2+8bc}\leq \sqrt{3(\sum a^2+8\sum ab)}=\sqrt{3(\sum a^2+2\sum ab)+18\sum ab}\leq \sqrt{3(\sum a)^2+6(\sum a)^2}=\sqrt{9(\sum a)^2}=3(\sum a)$

[Hoang Nhat Tuan]

Chứng minh với mọi a, b, c không âm :

$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$, BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{1}{6}.2\sqrt{(a^2+8bc).9}\leq 9$

Lại có: $\sum \frac{1}{6}.2\sqrt{(a^2+8bc).9}\leq\frac{1}{6} \sum(a^2+8bc+9)=\frac{1}{6}(a+b+c)^2+\sum ab+\frac{27}{6}$

$\leq \frac{9}{6}+\frac{9}{3}+\frac{27}{6}=9$