Chứng minh rằng nếu pt $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1= 0$ có nghiệm thì : $a^{2}+(b-2)^{2}\geq \frac{16}{5}$
CM: $a^{2}+(b-2)^{2}\geq \frac{16}{5}$
#1
Đã gửi 26-06-2015 - 14:46
#2
Đã gửi 26-06-2015 - 15:04
Chứng minh rằng nếu pt $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1= 0$ có nghiệm thì : $a^{2}+(b-2)^{2}\geq \frac{16}{5}$
Ta có: $(x^2+1)^2+ax(x^2+1)+x^2(b-2)=0<=>(x+\frac{1}{x})^2+a(x+\frac{1}{x})+(b-2)=0$
<=> $\left [ am+(b-2) \right ]^2=m^4=>(m^2+1)\left [ a^2+(b-2)^2 \right ]\geq m^4$
$=>a^2+(b-2)^2\geq \frac{m^4}{m^2+1}$
Lại có $2\leq m=x+\frac{1}{x}$ hoặc $m=x+\frac{1}{x}\leq -2$
từ đó thay vào biến đổi tương đương ra được $\frac{m^4}{m^2+1}\geq \frac{16}{5}$
- anh1999, hoctrocuaHolmes và Dragon ball thích
#3
Đã gửi 26-06-2015 - 15:10
Chứng minh rằng nếu pt $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1= 0$ có nghiệm thì : $a^{2}+(b-2)^{2}\geq \frac{16}{5}$
*xét x=0 =>1=0 vô lí
*xét x$\neq 0$
chia 2 vế pt cho $x^2$
ta có $(x+\frac{1}{x})+a(x+\frac{1}{x})+b-2=0$
đặt m=$\frac{1}{x}+x(|m|\geq 2)$
<=>$m^2+am+b-2=0$
<=>$m^4=(-am-b+2)^2\leq (a^2+(b-2)^2)(m^2+1)$
<=>$a^2+(b-2)^2\geq \frac{m^4}{m^2+1}$
ta cần cm $\frac{m^4}{m^2+1}\geq \frac{16}{5}$
<=>$5m^4\geq 16m^2+16$đúng vs |m|$\geq 2$
- hoctrocuaHolmes và Hoang Nhat Tuan thích
Trần Quốc Anh
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh