Chủ đề này có 2 trả lời

[Capture]

Chứng minh rằng nếu pt $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1= 0$ có nghiệm thì : $a^{2}+(b-2)^{2}\geq \frac{16}{5}$

[Hoang Nhat Tuan]

Chứng minh rằng nếu pt $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1= 0$ có nghiệm thì : $a^{2}+(b-2)^{2}\geq \frac{16}{5}$

Ta có: $(x^2+1)^2+ax(x^2+1)+x^2(b-2)=0<=>(x+\frac{1}{x})^2+a(x+\frac{1}{x})+(b-2)=0$

<=> $\left [ am+(b-2) \right ]^2=m^4=>(m^2+1)\left [ a^2+(b-2)^2 \right ]\geq m^4$

$=>a^2+(b-2)^2\geq \frac{m^4}{m^2+1}$

Lại có $2\leq m=x+\frac{1}{x}$ hoặc $m=x+\frac{1}{x}\leq -2$

từ đó thay vào biến đổi tương đương ra được $\frac{m^4}{m^2+1}\geq \frac{16}{5}$

[anh1999]

Chứng minh rằng nếu pt $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1= 0$ có nghiệm thì : $a^{2}+(b-2)^{2}\geq \frac{16}{5}$

*xét x=0 =>1=0 vô lí 

*xét x$\neq 0$

chia 2 vế pt cho $x^2$

ta có $(x+\frac{1}{x})+a(x+\frac{1}{x})+b-2=0$

đặt m=$\frac{1}{x}+x(|m|\geq 2)$

<=>$m^2+am+b-2=0$

<=>$m^4=(-am-b+2)^2\leq (a^2+(b-2)^2)(m^2+1)$

<=>$a^2+(b-2)^2\geq \frac{m^4}{m^2+1}$

ta cần cm $\frac{m^4}{m^2+1}\geq \frac{16}{5}$

<=>$5m^4\geq 16m^2+16$đúng vs |m|$\geq 2$