Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm $k$ nhỏ nhất


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Huy Thong

Huy Thong

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du

Đã gửi 26-06-2015 - 19:56

Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho mọi tập hợp $k$ phần tử của tập $\left \{ 1,2,...,50 \right \}$ đều chứa hai phần tử $a,b$ phân biệt sao cho $ab$ chia hết cho $a+b$.



#2 tap lam toan

tap lam toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 178 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hải Vương
  • Sở thích:$\mathfrak{Inequality},\mathfrak{Piano},\mathfrak{Fairy-Tale}$

Đã gửi 27-06-2015 - 18:52

Nều $k\leq 38$
Ta có thể chọn tập bất kì $\subseteq T=\left \{ 1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,16,17,19,22,23,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,36,37,38,39,41,43,44,46,47,49,50 \right \}$
dễ thấy $T$ không chứa 2 số $(a,b)$ thỏa mãn đề bài. Do đó $k>38$, ta chứng minh $ k=39 $ là giá trị nhỏ nhất thỏa đề.
Xét tập hợp $$
X= \left \{ 3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,20,21,24,28,30,35,36,40,42,45,48 \right \}$$

 

thì $|X|=24$

phân hoạch X thành 12 cặp $(a,b)$ thỏa đề bài: 

 

$$(6,3),(4,12),(5,20),(7,42),(8,24),(9,18),(10,40),(14,35),(15,30),(16,48),(21,28),(36,45)$$

 

Với một tập con $S$ bất kì của $\left \{ 1,2,...,50 \right \}$ gồm $k \geq 39$ phần tử thì có ít nhất 13 phần tử thuộc $X$, nên luôn tồn tại 1 cặp $(a,b)$ thuộc $S$ (dpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 27-06-2015 - 23:44





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh