Chủ đề này có 7 trả lời

[Viet Hoang 99]

Cho $a;b;c$ không âm, chứng minh rằng:
$$\sum \sqrt{\frac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}}\ge \sqrt{6}$$

 

 

 

 

 

[binhnhaukhong]

By Holder:

 

$(\sum \sqrt{\frac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}})^2[\sum (a^2+bc)^2(b^2+bc+c^2)]\geq (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)^3$

 

Giờ ta sẽ đi chứng minh:

 

$ (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)^3\geq 6\sum (a^2+bc)(b^2+bc+c^2)$

 

Đặt $p=a+b+c,ab+bc+ac=\frac{1-q^2}{3},r=abc$.Chuẩn hóa $a+b+c=1$. Trong đó $1\geq q\geq 0$

 

Khi đó BĐT trên viết lại thành.

 

$-2(4q^2+5)r+\frac{17}{27}q^6-\frac{8}{9}q^4-\frac{20q^2}{9}+\frac{10}{27}\leq 0$

 

Xét TH mà $1\geq q\geq \frac{1}{2}$ thì $r\geq 0$.Trong trường hợp này dễ thấy $\frac{17}{27}q^6-\frac{8}{9}q^4-\frac{20q^2}{9}+\frac{10}{27}\leq 0$ nên BĐT đúng.

 

Xét TH $0\leq q\leq \frac{1}{2}$ thì ta có: $r\geq \frac{(1-2q)(1+q)^2}{27}$

Mà $f( \frac{(1-2q)(1+q)^2}{27})=\frac{1}{2}q^2(17q^4+16q^3+20q-38)\leq 0$

 

Vậy BĐT cần chứng minh đúng.

[Viet Hoang 99]

By Holder:

 

$(\sum \sqrt{\frac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}})^2[\sum (a^2+bc)^2(b^2+bc+c^2)]\geq (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)^3$

 

Giờ ta sẽ đi chứng minh:

 

$ (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)^3\geq 6\sum (a^2+bc)(b^2+bc+c^2)$

 

Đặt $p=a+b+c,ab+bc+ac=\frac{1-q^2}{3},r=abc$.Chuẩn hóa $a+b+c=1$. Trong đó $1\geq q\geq 0$

 

Khi đó BĐT trên viết lại thành.

 

$-2(4q^2+5)r+\frac{17}{27}q^6-\frac{8}{9}q^4-\frac{20q^2}{9}+\frac{10}{27}\leq 0$

 

Xét TH mà $1\geq q\geq \frac{1}{2}$ thì $r\geq 0$.Trong trường hợp này dễ thấy $\frac{17}{27}q^6-\frac{8}{9}q^4-\frac{20q^2}{9}+\frac{10}{27}\leq 0$ nên BĐT đúng.

 

Xét TH $0\leq q\leq \frac{1}{2}$ thì ta có: $r\geq \frac{(1-2q)(1+q)^2}{27}$

Mà $f( \frac{(1-2q)(1+q)^2}{27})=\frac{1}{2}q^2(17q^4+16q^3+20q-38)\leq 0$

 

Vậy BĐT cần chứng minh đúng.

Rất tiếc ...     

[binhnhaukhong]

Rất tiếc ...     

Nhầm cái gì hả ?

[Viet Hoang 99]

Nhầm cái gì hả ?

$c=0, a=b$ BDT sai

Lời giải trên ở trong sách, nhưng mà sai...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 25-07-2015 - 11:06

[longatk08]

$c=0, a=b$ BDT sai

Lời giải trên ở trong sách, nhưng mà sai...

Thằng này off rồi không biết đâu mà trả lời.Ta có thể dùng kỹ thuật CYH để giải quyết:

 

$(\sum \sqrt{\frac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}})^2\left [ \sum (2a+b+c)^3(a^2+bc)(b^2+bc+c^2) \right ]\geq \left [ \sum (2a+b+c)(a^2+bc) \right ]$

 

Giả sử $a=min${$a,b,c$} rồi BW.

 

C2: Chứng minh BĐT phụ;

 

$\sqrt{\frac{6(a^2+bc)}{a^2+bc+c^2}}\geq \frac{6a^2+4bc+ac+ab}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 27-07-2015 - 18:31

[Viet Hoang 99]

Thằng này off rồi không biết đâu mà trả lời.Ta có thể dùng kỹ thuật CYH để giải quyết:

$(\sum \sqrt{\frac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}})^2\left [ \sum (2a+b+c)^3(a^2+bc)^2(b^2+bc+c^2) \right ]\geq \left [ \sum (2a+b+c)(a^2+bc) \right ]$

Giả sử $a=min${$a,b,c$} rồi BW.

C2: Chứng minh BĐT phụ;

$\sqrt{\frac{6(a^2+bc)}{a^2+bc+c^2}}\geq \frac{6a^2+4bc+ac+ab}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}$

Cách 2 sai rồi.
Cách 1 bạn thử BW xem?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-07-2015 - 14:47

[longatk08]

Cách 2 sai rồi.
Cách 1 bạn thử BW xem?

C2 sai chỗ nào vậy bạn. Biến đổi tương đương được mà.Nếu dùng BW thì bạn giả sử $a=min$ rồi đặt:

 

$b=a+x,c=a+x+y$ rồi dùng máy tính khai triển hết ra sẽ thu được 1 điều luôn đúng (đa thức  bậc 7 với a)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 27-07-2015 - 18:37