Cho các số thực dương a,b,c sao cho a2+b2+c2=3 CMR:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$
Cho các số thực dương a,b,c sao cho a2+b2+c2=3 CMR:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$
qui đồng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi aristotle pytago: 27-06-2015 - 21:46
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ac}$
Ko hiểu ,vo lí
Ta sẽ chứng minh một BĐT chặt hơn là: $\sum \frac{a}{b}\geq 3\sqrt{\frac{\sum a^2}{\sum ab}}$
Bình phương cả hai vế thì BĐT trở thành:
$\sum \frac{a^2\sum ab}{b^2}+2\sum \frac{b\sum ab}{a}\geq 9\sum a^2$
$<=>\sum \left [ \frac{a^2\sum ab}{b^2}+2ab+\frac{2a^2b}{c}-7a^2 \right ]\geq 0$
Chú ý sử dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{a^2\sum ab}{b^2}+2ab+\frac{2a^2b}{c}=\frac{a^3}{b}+\frac{a^2c}{b}+\frac{a^3c}{b^2}+ab+ab+\frac{a^2b}{c}+\frac{a^2b}{c}\geq 7a^2$
BĐT được chứng minh
Ta sẽ chứng minh một BĐT chặt hơn là: $\sum \frac{a}{b}\geq 3\sqrt{\frac{\sum a^2}{\sum ab}}$
Bình phương cả hai vế thì BĐT trở thành:
$\sum \frac{a^2\sum ab}{b^2}+2\sum \frac{b\sum ab}{a}\geq 9\sum a^2$
$<=>\sum \left [ \frac{a^2\sum ab}{b^2}+2ab+\frac{2a^2b}{c}-7a^2 \right ]\geq 0$
Chú ý sử dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{a^2\sum ab}{b^2}+2ab+\frac{2a^2b}{c}=\frac{a^3}{b}+\frac{a^2c}{b}+\frac{a^3c}{b^2}+ab+ab+\frac{a^2b}{c}+\frac{a^2b}{c}\geq 7a^2$
BĐT được chứng minh
$\sum \dfrac{a}{b}\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\dfrac{2t^2}{t^2-3}$ với $t=a+b+c$
Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{2t^2}{t^2-3}\geqslant \dfrac{9}{t}\Leftrightarrow (3t+2)(t-3)^2\geqslant 0$ luôn đúng.
Ta có một kết quả rất mạnh đó là: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \sqrt[3]{\dfrac{27(a^3+b^3+c^3+abc)}{4abc}}$
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
$\sum \dfrac{a}{b}\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\dfrac{2t^2}{t^2-3}$ với $t=a+b+c$
Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{2t^2}{t^2-3}\geqslant \dfrac{9}{t}\Leftrightarrow (3t+2)(t-3)^2\geqslant 0$ luôn đúng.
Ta có một kết quả rất mạnh đó là: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \sqrt[3]{\dfrac{27(a^3+b^3+c^3+abc)}{4abc}}$
Trời, như thế mà mình không để ý, nhưng vẫn ra được một BĐT mạnh hơn
BĐT của cậu chứng minh thế này
Với mọi số thực không âm x,y,z bất kì thì $(x+y+z)^3\geq \frac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)$
Chứng minh bằng cách giả sử y là số nằm giữa x và z dẫn đến $z(x-y)(y-z) \geq 0$
Từ đó $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leq y(x+z)^2\leq \frac{4}{27}(x+y+z)^3$
Áp dụng bổ đề trên với $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$
Khi đó thì $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^3\geq \frac{27}{4}(\frac{a^3+b^3+c^3+abc}{abc})$
Hiển nhiên BĐT được chứng minh
Trời, như thế mà mình không để ý, nhưng vẫn ra được một BĐT mạnh hơn
BĐT của cậu chứng minh thế này
Với mọi số thực không âm x,y,z bất kì thì $(x+y+z)^3\geq \frac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)$
Chứng minh bằng cách giả sử y là số nằm giữa x và z dẫn đến $z(x-y)(y-z) \geq 0$
Từ đó $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leq y(x+z)^2\leq \frac{4}{27}(x+y+z)^3$
Áp dụng bổ đề trên với $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$
Khi đó thì $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^3\geq \frac{27}{4}(\frac{a^3+b^3+c^3+abc}{abc})$
Hiển nhiên BĐT được chứng minh
Để ý rằng bất đẳng thức này mạnh hơn cả bất đẳng thức: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$ (Thực tế bất đẳng thức trên dùng để chứng minh bất đẳng thức này)
Từ bổ để này và $a+b+c\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$ nên thay vào có ngay được điều phải chứng minh cho bài toán của topic này.
Đây cũng là các bất đẳng thức phụ đáng nhớ.
P.s. Cảm ơn bạn đã đỡ cho mình một ít kalo để khỏi khi lại mấy dòng trên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 28-06-2015 - 05:21
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Từ giả thiết suy ra $ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-3}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}$
Ta cần chứng minh: $\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}\geq \frac{9}{a+b+c}$
Đặt $a+b+c=t=\sqrt{3+2(ab+bc+ca)}>\sqrt{3}$
Ta quy về chứng minh: $\frac{2t^2}{t^2-3}\geq \frac{9}{t}(*)$
(*) đúng do nó tương đương:$ \frac{(t-3)^2(2t+3)}{t(t^2-3)}\geq 0$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh