Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Snow Angel

Snow Angel

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Cho các số thực dương a,b,c sao cho a2+b2+c2=3 CMR: 

           $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$



#2
aristotle pytago

aristotle pytago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 383 Bài viết

qui đồng 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi aristotle pytago: 27-06-2015 - 21:46


#3
Takamina Minami

Takamina Minami

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ac}$ 

Ko hiểu ,vo lí


tumblr_mvk1jxSuSL1r3ifxzo1_250.gif


#4
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

Ta sẽ chứng minh một BĐT chặt hơn là: $\sum \frac{a}{b}\geq 3\sqrt{\frac{\sum a^2}{\sum ab}}$

Bình phương cả hai vế thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2\sum ab}{b^2}+2\sum \frac{b\sum ab}{a}\geq 9\sum a^2$

$<=>\sum \left [ \frac{a^2\sum ab}{b^2}+2ab+\frac{2a^2b}{c}-7a^2 \right ]\geq 0$

Chú ý sử dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a^2\sum ab}{b^2}+2ab+\frac{2a^2b}{c}=\frac{a^3}{b}+\frac{a^2c}{b}+\frac{a^3c}{b^2}+ab+ab+\frac{a^2b}{c}+\frac{a^2b}{c}\geq 7a^2$

BĐT được chứng minh :D


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#5
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Ta sẽ chứng minh một BĐT chặt hơn là: $\sum \frac{a}{b}\geq 3\sqrt{\frac{\sum a^2}{\sum ab}}$

Bình phương cả hai vế thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2\sum ab}{b^2}+2\sum \frac{b\sum ab}{a}\geq 9\sum a^2$

$<=>\sum \left [ \frac{a^2\sum ab}{b^2}+2ab+\frac{2a^2b}{c}-7a^2 \right ]\geq 0$

Chú ý sử dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a^2\sum ab}{b^2}+2ab+\frac{2a^2b}{c}=\frac{a^3}{b}+\frac{a^2c}{b}+\frac{a^3c}{b^2}+ab+ab+\frac{a^2b}{c}+\frac{a^2b}{c}\geq 7a^2$

BĐT được chứng minh :D

 

$\sum \dfrac{a}{b}\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\dfrac{2t^2}{t^2-3}$ với $t=a+b+c$

Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{2t^2}{t^2-3}\geqslant \dfrac{9}{t}\Leftrightarrow (3t+2)(t-3)^2\geqslant 0$ luôn đúng.

Ta có một kết quả rất mạnh đó là: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \sqrt[3]{\dfrac{27(a^3+b^3+c^3+abc)}{4abc}}$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#6
Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết

$\sum \dfrac{a}{b}\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\dfrac{2t^2}{t^2-3}$ với $t=a+b+c$

Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{2t^2}{t^2-3}\geqslant \dfrac{9}{t}\Leftrightarrow (3t+2)(t-3)^2\geqslant 0$ luôn đúng.

Ta có một kết quả rất mạnh đó là: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \sqrt[3]{\dfrac{27(a^3+b^3+c^3+abc)}{4abc}}$

Trời, như thế mà mình không để ý, nhưng vẫn ra được một BĐT mạnh hơn :(

BĐT của cậu chứng minh thế này :D

Với mọi số thực không âm x,y,z bất kì thì $(x+y+z)^3\geq \frac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)$ 

Chứng minh bằng cách giả sử y là số nằm giữa x và z dẫn đến $z(x-y)(y-z) \geq 0$

Từ đó $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leq y(x+z)^2\leq \frac{4}{27}(x+y+z)^3$

Áp dụng bổ đề trên với $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$

Khi đó thì $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^3\geq \frac{27}{4}(\frac{a^3+b^3+c^3+abc}{abc})$

Hiển nhiên BĐT được chứng minh 


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#7
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Trời, như thế mà mình không để ý, nhưng vẫn ra được một BĐT mạnh hơn :(

BĐT của cậu chứng minh thế này :D

Với mọi số thực không âm x,y,z bất kì thì $(x+y+z)^3\geq \frac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)$ 

Chứng minh bằng cách giả sử y là số nằm giữa x và z dẫn đến $z(x-y)(y-z) \geq 0$

Từ đó $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leq y(x+z)^2\leq \frac{4}{27}(x+y+z)^3$

Áp dụng bổ đề trên với $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$

Khi đó thì $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^3\geq \frac{27}{4}(\frac{a^3+b^3+c^3+abc}{abc})$

Hiển nhiên BĐT được chứng minh 

 

Để ý rằng bất đẳng thức này mạnh hơn cả bất đẳng thức: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$ (Thực tế bất đẳng thức trên dùng để chứng minh bất đẳng thức này)

Từ bổ để này và $a+b+c\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$ nên thay vào có ngay được điều phải chứng minh cho bài toán của topic này.

Đây cũng là các bất đẳng thức phụ đáng nhớ.

P.s. Cảm ơn bạn đã đỡ cho mình một ít kalo để khỏi khi lại mấy dòng trên :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 28-06-2015 - 05:21

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#8
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Từ giả thiết suy ra $ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-3}{2}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}$

Ta cần chứng minh: $\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Đặt $a+b+c=t=\sqrt{3+2(ab+bc+ca)}>\sqrt{3}$

Ta quy về chứng minh: $\frac{2t^2}{t^2-3}\geq \frac{9}{t}(*)$

(*) đúng do nó tương đương:$ \frac{(t-3)^2(2t+3)}{t(t^2-3)}\geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh