Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Snow Angel

Snow Angel

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 27-06-2015 - 20:47

Cho các số thực dương a,b,c sao cho a2+b2+c2=3 CMR: 

           $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$



#2 aristotle pytago

aristotle pytago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 383 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trường tiểu học võ nguyên giáp
  • Sở thích:học những môn mà bản thân không thích học

Đã gửi 27-06-2015 - 21:23

qui đồng 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi aristotle pytago: 27-06-2015 - 21:46


#3 Takamina Minami

Takamina Minami

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Secret
  • Sở thích:Nghe nhạc

Đã gửi 27-06-2015 - 21:24

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ac}$ 

Ko hiểu ,vo lí


tumblr_mvk1jxSuSL1r3ifxzo1_250.gif


#4 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 27-06-2015 - 21:34

Ta sẽ chứng minh một BĐT chặt hơn là: $\sum \frac{a}{b}\geq 3\sqrt{\frac{\sum a^2}{\sum ab}}$

Bình phương cả hai vế thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2\sum ab}{b^2}+2\sum \frac{b\sum ab}{a}\geq 9\sum a^2$

$<=>\sum \left [ \frac{a^2\sum ab}{b^2}+2ab+\frac{2a^2b}{c}-7a^2 \right ]\geq 0$

Chú ý sử dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a^2\sum ab}{b^2}+2ab+\frac{2a^2b}{c}=\frac{a^3}{b}+\frac{a^2c}{b}+\frac{a^3c}{b^2}+ab+ab+\frac{a^2b}{c}+\frac{a^2b}{c}\geq 7a^2$

BĐT được chứng minh :D


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#5 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 27-06-2015 - 21:54

Ta sẽ chứng minh một BĐT chặt hơn là: $\sum \frac{a}{b}\geq 3\sqrt{\frac{\sum a^2}{\sum ab}}$

Bình phương cả hai vế thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2\sum ab}{b^2}+2\sum \frac{b\sum ab}{a}\geq 9\sum a^2$

$<=>\sum \left [ \frac{a^2\sum ab}{b^2}+2ab+\frac{2a^2b}{c}-7a^2 \right ]\geq 0$

Chú ý sử dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a^2\sum ab}{b^2}+2ab+\frac{2a^2b}{c}=\frac{a^3}{b}+\frac{a^2c}{b}+\frac{a^3c}{b^2}+ab+ab+\frac{a^2b}{c}+\frac{a^2b}{c}\geq 7a^2$

BĐT được chứng minh :D

 

$\sum \dfrac{a}{b}\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\dfrac{2t^2}{t^2-3}$ với $t=a+b+c$

Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{2t^2}{t^2-3}\geqslant \dfrac{9}{t}\Leftrightarrow (3t+2)(t-3)^2\geqslant 0$ luôn đúng.

Ta có một kết quả rất mạnh đó là: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \sqrt[3]{\dfrac{27(a^3+b^3+c^3+abc)}{4abc}}$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#6 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 27-06-2015 - 22:06

$\sum \dfrac{a}{b}\geqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\dfrac{2t^2}{t^2-3}$ với $t=a+b+c$

Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{2t^2}{t^2-3}\geqslant \dfrac{9}{t}\Leftrightarrow (3t+2)(t-3)^2\geqslant 0$ luôn đúng.

Ta có một kết quả rất mạnh đó là: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \sqrt[3]{\dfrac{27(a^3+b^3+c^3+abc)}{4abc}}$

Trời, như thế mà mình không để ý, nhưng vẫn ra được một BĐT mạnh hơn :(

BĐT của cậu chứng minh thế này :D

Với mọi số thực không âm x,y,z bất kì thì $(x+y+z)^3\geq \frac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)$ 

Chứng minh bằng cách giả sử y là số nằm giữa x và z dẫn đến $z(x-y)(y-z) \geq 0$

Từ đó $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leq y(x+z)^2\leq \frac{4}{27}(x+y+z)^3$

Áp dụng bổ đề trên với $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$

Khi đó thì $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^3\geq \frac{27}{4}(\frac{a^3+b^3+c^3+abc}{abc})$

Hiển nhiên BĐT được chứng minh 


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#7 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 28-06-2015 - 05:20

Trời, như thế mà mình không để ý, nhưng vẫn ra được một BĐT mạnh hơn :(

BĐT của cậu chứng minh thế này :D

Với mọi số thực không âm x,y,z bất kì thì $(x+y+z)^3\geq \frac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)$ 

Chứng minh bằng cách giả sử y là số nằm giữa x và z dẫn đến $z(x-y)(y-z) \geq 0$

Từ đó $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leq y(x+z)^2\leq \frac{4}{27}(x+y+z)^3$

Áp dụng bổ đề trên với $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$

Khi đó thì $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^3\geq \frac{27}{4}(\frac{a^3+b^3+c^3+abc}{abc})$

Hiển nhiên BĐT được chứng minh 

 

Để ý rằng bất đẳng thức này mạnh hơn cả bất đẳng thức: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$ (Thực tế bất đẳng thức trên dùng để chứng minh bất đẳng thức này)

Từ bổ để này và $a+b+c\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$ nên thay vào có ngay được điều phải chứng minh cho bài toán của topic này.

Đây cũng là các bất đẳng thức phụ đáng nhớ.

P.s. Cảm ơn bạn đã đỡ cho mình một ít kalo để khỏi khi lại mấy dòng trên :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 28-06-2015 - 05:21

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh