Chủ đề này có 1 trả lời

[Zaraki]

Bài 3. Cho đường tròn $\omega$ và điểm $C$ nằm ngoài đường tròn; $A,B$ là điểm trên $\omega$ sao cho $\overline{CA}$ và $\overline{CB}$ tiếp xúc với $\omega$. $X$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$. Kí hiệu đường tròn tam giác $BXC$ là $\gamma$. $\gamma$ và $\omega$ cắt nhau tại $D \ne B$ và đường thẳng $CD$ cắt $\omega$ tại $E \ne D$. Chứng minh rằng $EX$ tiếp xúc với $\gamma$.

Đề nghị bởi David Stoner.

[nhungvienkimcuong]

Bài 3. Cho đường tròn $\omega$ và điểm $C$ nằm ngoài đường tròn; $A,B$ là điểm trên $\omega$ sao cho $\overline{CA}$ và $\overline{CB}$ tiếp xúc với $\omega$. $X$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$. Kí hiệu đường tròn tam giác $BXC$ là $\gamma$. $\gamma$ và $\omega$ cắt nhau tại $D \ne B$ và đường thẳng $CD$ cắt $\omega$ tại $E \ne D$. Chứng minh rằng $EX$ tiếp xúc với $\gamma$.

Đề nghị bởi David Stoner.

dễ thấy $AE||CX$,ta đặt điểm $U$ sao cho $AEXU$ là hình bình hành

ta có

$\begin{array}{r}(BA,BE)=(DA,DE)=(DA,CD)\ (mod\ \pi )\\=(DA,AC)+(AC,CD)\ (mod\ \pi )\ \\=(AD,AC)+(CA,CD)\ (mod\ \pi )\ \\=(BD,BA)+(CA,CD)\ (mod\ \pi )\ \\=(CD,CX)+(CA,CD)\ (mod\ \pi )\ \\=(CA,CX)\ \ (mod\ \pi ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array}$

do đó $A,C,U,B$ đồng viên nên ta có

$\begin{array}{r}(XA,XE)=(AB,AU)\ (mod\ \pi)\\=(CB,CX)\ (mod\ \pi) \end{array}$

do đó ta có được $EX$ tiếp xúc với $\gamma$