ELMO là một kì thi giải toán ở Mĩ với mục đích cho HS rèn luyện trước IMO. Cách tổ chức ELMO khá giống với IMO và chất lương bài toán có thể nói là ngang với IMO. Sau đây là đề kì thi ELMO 2015:
Thời gian làm bài: $5$ tiếng.
Mỗi bài $7$ điểm tối đa.
Bài 1. Cho dãy $a_1=2$ và $a_n=2^{a_{n-1}}+2$ với mọi số nguyên $n \ge 2$. Chứng minh rằng $a_{n}$ chia hết cho $a_{n-1}$ với mọi số nguyên $n \ge 2$.
Đề nghị bởi Sam Korsky
Bài 2. Cho $m,n,x$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng \[ \sum_{i = 1}^n \min\left(\left\lfloor \frac{x}{i} \right\rfloor, m \right) = \sum_{i = 1}^m \min\left(\left\lfloor \frac{x}{i} \right\rfloor, n \right). \]
Đề nghị bởi Yang Liu
Bài 3. Cho đường tròn $\omega$ và điểm $C$ nằm ngoài đường tròn; $A,B$ là điểm trên $\omega$ sao cho $\overline{CA}$ và $\overline{CB}$ tiếp xúc với $\omega$. $X$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$. Kí hiệu đường tròn tam giác $BXC$ là $\gamma$. $\gamma$ và $\omega$ cắt nhau tại $D \ne B$ và đường thẳng $CD$ cắt $\omega$ tại $E \ne D$. Chứng minh rằng $EX$ tiếp xúc với $\gamma$.
Đề nghị bởi David Stoner.
Bài 4. Cho $a>1$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng với một vài số nguyên không âm $n$ thì $2^{2^n}+a$ không là số nguyên tố.
Đề nghị bởi Jack Gurew
Bài 5. Cho $m,n,k>1$ là các số nguyên dương. Với một tập hợp $S$ các số nguyên dương, kí hiệu $S(i,j)$ với $i<j$ là số các phần tử nằm giữa $i$ và $j$. Ta nói hai tập hợp $(X,Y)$ là cặp béo nếu $$X(i,j) \equiv Y(i,j) \pmod n$$ với mỗi $i,j \in X \cap Y$. (Nếu $|X \cap Y|<2$ thì $(X,Y)$ là cặp béo.)
Nếu có $m$ tập riêng biệt, mỗi tập có $k$ số nguyên dương sao cho không 2 tập nào tạo thành cặp béo. Chứng minh $m<n^{k-1}$.
Đề nghị bởi Allen Liu
Để cho việc thảo luận trở nên dễ dàng hơn, mình sẽ tách mỗi bài thành 1 topic. Mọi người có thể click vào Bài ... để đến link của bài toán đó.