Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 yeudiendanlamlam

yeudiendanlamlam

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:MPhCh
  • Sở thích:Làm toán,đọc sách

Đã gửi 28-06-2015 - 20:11

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$



#2 Tuan Hoang Nhat

Tuan Hoang Nhat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS thị trấn Quán Hàu-Quảng Ninh-Quảng Bình
  • Sở thích:Nghiên cứu, khám phá

Đã gửi 28-06-2015 - 20:19

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$

Câu này bạn dùng phương pháp chuẩn hóa với tiếp tuyến là được :)


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.


#3 NhatTruong2405

NhatTruong2405

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Số học

Đã gửi 28-06-2015 - 21:06

Câu này bạn dùng phương pháp chuẩn hóa với tiếp tuyến là được :)

Bạn có thể chuẩn hóa cho mình coi được không :( Sao mình làm không ra :( Xin cảm ơn trước :D



#4 Tuan Hoang Nhat

Tuan Hoang Nhat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS thị trấn Quán Hàu-Quảng Ninh-Quảng Bình
  • Sở thích:Nghiên cứu, khám phá

Đã gửi 28-06-2015 - 21:22

Bạn có thể chuẩn hóa cho mình coi được không :( Sao mình làm không ra :( Xin cảm ơn trước :D

Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:

$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ :(


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.


#5 NhatTruong2405

NhatTruong2405

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Số học

Đã gửi 28-06-2015 - 21:32

Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:

$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ :(

Sao mình vẫn không ra nhỉ :( Mình chưa học tiếp tuyến nhưng mà mình chuẩn hóa $a+b+c=3$ rồi làm theo kiểu tìm hệ số k thì không chứng minh được :( 



#6 yeudiendanlamlam

yeudiendanlamlam

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:MPhCh
  • Sở thích:Làm toán,đọc sách

Đã gửi 28-06-2015 - 21:42

Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:

$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ :(

mình chưa hiểu chỗ này, đề đâu có cho đâu bạn  :(



#7 Tuan Hoang Nhat

Tuan Hoang Nhat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS thị trấn Quán Hàu-Quảng Ninh-Quảng Bình
  • Sở thích:Nghiên cứu, khám phá

Đã gửi 28-06-2015 - 21:59

mình chưa hiểu chỗ này, đề đâu có cho đâu bạn  :(

Vì bất đẳng thức đồng bậc nên có thể chuẩn hóa như vậy đó bạn

 

Sao mình vẫn không ra nhỉ :( Mình chưa học tiếp tuyến nhưng mà mình chuẩn hóa $a+b+c=3$ rồi làm theo kiểu tìm hệ số k thì không chứng minh được :(

Làm theo hệ số k cũng là tiếp tuyến đó bạn :D bạn thử làm lại xem 


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.


#8 NhatTruong2405

NhatTruong2405

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Số học

Đã gửi 28-06-2015 - 22:07

Ta cần tìm hệ số k sao cho $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ Ta có $-\frac{5}{2a^{2}-6a+9}+1=\frac{-3(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}$ Khi a=1 thì $\frac{a+3}{2a^{2}-6a+9}=\frac{4}{5}$ Vậy ta cần chứng minh $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ BĐt này $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ mình chứng minh không được :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 28-06-2015 - 22:10


#9 Tuan Hoang Nhat

Tuan Hoang Nhat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS thị trấn Quán Hàu-Quảng Ninh-Quảng Bình
  • Sở thích:Nghiên cứu, khám phá

Đã gửi 28-06-2015 - 22:20

Ta cần tìm hệ số k sao cho $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ Ta có $-\frac{5}{2a^{2}-6a+9}+1=\frac{-3(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}$ Khi a=1 thì $\frac{a+3}{2a^{2}-6a+9}=\frac{4}{5}$ Vậy ta cần chứng minh $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ BĐt này $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ mình chứng minh không được :(

Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn :D

Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tuan Hoang Nhat: 28-06-2015 - 22:21

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.


#10 Hoang Long Le

Hoang Long Le

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-06-2015 - 22:28

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$

 Ta có :

$$\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \sum \frac{a^2}{a^2+2b^2+2c^2}$$

$$=\sum \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+2b^2+2c^2}-3$$

$$=2\sum a^2.\sum \frac{1}{a^2+2b^2+2c^2}-3$$

$$\geq 2\sum a^2.\frac{9}{5\sum a^2}-3=\frac{3}{5}$$


IM LẶNG

#11 Hoang Long Le

Hoang Long Le

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-06-2015 - 22:31

 Áp dụng Cauchy-Schwarz có :

$$\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}=\sum \frac{a^4}{a^4+a^2b^2+a^2c^2+2a^2bc}$$

$$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^4+2\sum a^2b^2+2abc(a+b+c)}$$

$$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2+\frac{2}{3}.(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{3}{5}$$


IM LẶNG

#12 Lam Ba Thinh

Lam Ba Thinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định

Đã gửi 28-06-2015 - 22:32

Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn :D

Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra

Bạn có thể giải chi tiết được không? Mình không hiểu cách các bạn tìm số k cho lắm.



#13 NhatTruong2405

NhatTruong2405

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Số học

Đã gửi 28-06-2015 - 22:34

Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn :D

Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra

Nếu $k=\frac{12}{25}$ thì bđt $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ đâu chứng minh được đâu bạn :( nãy giờ mình cứ khúc mắt chỗ đó :(



#14 Tuan Hoang Nhat

Tuan Hoang Nhat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS thị trấn Quán Hàu-Quảng Ninh-Quảng Bình
  • Sở thích:Nghiên cứu, khám phá

Đã gửi 28-06-2015 - 22:43

Bạn có thể giải chi tiết được không? Mình không hiểu cách các bạn tìm số k cho lắm.

Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này :D

Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$

Từ đó dẫn đến ĐPCM

Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$

Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$

Không liên quan


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.


#15 NhatTruong2405

NhatTruong2405

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Số học

Đã gửi 28-06-2015 - 22:45

Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này :D

Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$

Từ đó dẫn đến ĐPCM

Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$

Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$

Không liên quan

Cảm ơn bạn mình hiểu rồi :D



#16 Lam Ba Thinh

Lam Ba Thinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định

Đã gửi 28-06-2015 - 22:57

Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này :D

Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$

Từ đó dẫn đến ĐPCM

Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$

Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$

Không liên quan

Bạn có tài liệu nào về cách chọn hệ số k như của bạn không? Bạn làm nhưng có nhiều chỗ mình không biết ở đâu ra như Vì sao xét $\frac{21}{8}$,...



#17 Tuan Hoang Nhat

Tuan Hoang Nhat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS thị trấn Quán Hàu-Quảng Ninh-Quảng Bình
  • Sở thích:Nghiên cứu, khám phá

Đã gửi 28-06-2015 - 23:02

Bạn có tài liệu nào về cách chọn hệ số k như của bạn không? Bạn làm nhưng có nhiều chỗ mình không biết ở đâu ra như Vì sao xét $\frac{21}{8}$,...

Bạn thử lên google seach: Phương pháp hệ số bất định UCT thử xem. :D

Mình nhác tìm quá :(


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh