Chủ đề này có 16 trả lời

[yeudiendanlamlam]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$

[Tuan Hoang Nhat]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$

Câu này bạn dùng phương pháp chuẩn hóa với tiếp tuyến là được

[NhatTruong2405]

Câu này bạn dùng phương pháp chuẩn hóa với tiếp tuyến là được

Bạn có thể chuẩn hóa cho mình coi được không Sao mình làm không ra Xin cảm ơn trước

[Tuan Hoang Nhat]

Bạn có thể chuẩn hóa cho mình coi được không Sao mình làm không ra Xin cảm ơn trước

Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:

$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ

[NhatTruong2405]

Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:

$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ

Sao mình vẫn không ra nhỉ Mình chưa học tiếp tuyến nhưng mà mình chuẩn hóa $a+b+c=3$ rồi làm theo kiểu tìm hệ số k thì không chứng minh được  

[yeudiendanlamlam]

Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:

$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ

mình chưa hiểu chỗ này, đề đâu có cho đâu bạn 

[Tuan Hoang Nhat]

mình chưa hiểu chỗ này, đề đâu có cho đâu bạn 

Vì bất đẳng thức đồng bậc nên có thể chuẩn hóa như vậy đó bạn

 

Sao mình vẫn không ra nhỉ Mình chưa học tiếp tuyến nhưng mà mình chuẩn hóa $a+b+c=3$ rồi làm theo kiểu tìm hệ số k thì không chứng minh được

Làm theo hệ số k cũng là tiếp tuyến đó bạn bạn thử làm lại xem 

[NhatTruong2405]

Ta cần tìm hệ số k sao cho $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ Ta có $-\frac{5}{2a^{2}-6a+9}+1=\frac{-3(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}$ Khi a=1 thì $\frac{a+3}{2a^{2}-6a+9}=\frac{4}{5}$ Vậy ta cần chứng minh $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ BĐt này $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ mình chứng minh không được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 28-06-2015 - 22:10

[Tuan Hoang Nhat]

Ta cần tìm hệ số k sao cho $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ Ta có $-\frac{5}{2a^{2}-6a+9}+1=\frac{-3(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}$ Khi a=1 thì $\frac{a+3}{2a^{2}-6a+9}=\frac{4}{5}$ Vậy ta cần chứng minh $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ BĐt này $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ mình chứng minh không được

Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn

Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tuan Hoang Nhat: 28-06-2015 - 22:21

[Hoang Long Le]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$

 Ta có :

$$\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \sum \frac{a^2}{a^2+2b^2+2c^2}$$

$$=\sum \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+2b^2+2c^2}-3$$

$$=2\sum a^2.\sum \frac{1}{a^2+2b^2+2c^2}-3$$

$$\geq 2\sum a^2.\frac{9}{5\sum a^2}-3=\frac{3}{5}$$

[Hoang Long Le]

 Áp dụng Cauchy-Schwarz có :

$$\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}=\sum \frac{a^4}{a^4+a^2b^2+a^2c^2+2a^2bc}$$

$$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^4+2\sum a^2b^2+2abc(a+b+c)}$$

$$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2+\frac{2}{3}.(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{3}{5}$$

[Lam Ba Thinh]

Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn

Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra

Bạn có thể giải chi tiết được không? Mình không hiểu cách các bạn tìm số k cho lắm.

[NhatTruong2405]

Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn

Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra

Nếu $k=\frac{12}{25}$ thì bđt $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ đâu chứng minh được đâu bạn nãy giờ mình cứ khúc mắt chỗ đó

[Tuan Hoang Nhat]

Bạn có thể giải chi tiết được không? Mình không hiểu cách các bạn tìm số k cho lắm.

Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này

Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$

Từ đó dẫn đến ĐPCM

Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$

Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$

Không liên quan

Hiện tại không có hứng post bài

[NhatTruong2405]

Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này

Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$

Từ đó dẫn đến ĐPCM

Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$

Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$

Không liên quan

Hiện tại không có hứng post bài

Cảm ơn bạn mình hiểu rồi

[Lam Ba Thinh]

Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này

Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$

Từ đó dẫn đến ĐPCM

Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$

Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$

Không liên quan

Hiện tại không có hứng post bài

Bạn có tài liệu nào về cách chọn hệ số k như của bạn không? Bạn làm nhưng có nhiều chỗ mình không biết ở đâu ra như Vì sao xét $\frac{21}{8}$,...

[Tuan Hoang Nhat]

Bạn có tài liệu nào về cách chọn hệ số k như của bạn không? Bạn làm nhưng có nhiều chỗ mình không biết ở đâu ra như Vì sao xét $\frac{21}{8}$,...

Bạn thử lên google seach: Phương pháp hệ số bất định UCT thử xem.

Mình nhác tìm quá