Chủ đề này có 1 trả lời

[Capture]

Giải phương trình nghiệm nguyên:

$x^{2002}+y^{2002}=2003^{2001}(x^{3}+y^{3})$

[the man]

Giải phương trình nghiệm nguyên:

$x^{2002}+y^{2002}=2003^{2001}(x^{3}+y^{3})$

Thấy 2003 là số nguyên tố nên ý tưởng cho bài này là sử dụng định lí Fermat nhỏ

Từ phương trình ta suy ra $x^{2002}+y^{2002} \vdots 2003$  (1)

-Nếu  $x,y$  đều không chia hết cho $2003$ thì theo định lí nhỏ Fermat ta có:

   $x^{2002}\equiv 1(mod2003),y^{2002}\equiv 1(mod2003)\rightarrow x^{2002}+y^{2002}\equiv 2(mod2003)$  (trái với (1))

-Nếu trong 2 số có 1 số chia hết cho  $2003$, 1 số không chia hết cho $2003$ thì cũng theo định lí nhỏ Fermat ta có 

   $x^{2002}+y^{2002}\equiv 1(mod2003)$ (trái với (1))

Vậy cả $x,y$ đều chia hết cho  $2003$

Đặt $x=2003x_1, y=2003y_1$. Thay vào giả thiết ta được

       $x_1^{2002}+y_1^{2002}=2003^2(x_1^3+y_1^3)$

Lập luận tương tự như trên ta cũng có $x_1,y_1$ đều chia hết cho $2003$

Đặt $x_1=2003x_2, y_1=2003y_2$. Thay vào giả thiết ta được:

       $2003^{1997}(x_2^{2002}+y_2^{2002})=x_2^3+y_2^3$  (2)

Đến đây ta dễ dàng đánh giá được hai vế của  (2)

Ngiệm  $x=y=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 30-06-2015 - 05:33