Chủ đề này có 3 trả lời

[Avengers98]

GPT :$8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{5}{2}$

[the man]

GPT :$8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{5}{2}$

$\left ( 8x^2-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}-2 \right )=0\Leftrightarrow \frac{(4x-1)(4x+1)}{2}+\frac{1-4x}{\sqrt{x}(2\sqrt{x}+1)}=0$

                                                           $\Leftrightarrow (4x-1)\left [ \frac{4x+1}{2}-\frac{1}{2x+\sqrt{x}} \right ]=0$

Từ phương trình ta có  

    $\sqrt{\frac{1}{x}}<2,5\Rightarrow x>\frac{4}{25}\Rightarrow 8x^2>\frac{1}{5}\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{x}}<\frac{5}{2}-\frac{1}{5}<2\Rightarrow x>\frac{1}{4}$

   $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{4x+1}{2}>1 & & \\ \frac{1}{2x+\sqrt{x}}<1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow$  biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương

   $\Rightarrow 4x-1=0$  $\Rightarrow x=0,25$

[hoanglong2k]

GPT :$8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{5}{2}$

 Đặt $\sqrt{x}=a$ với $a>0$

 Ta có phương trình đầu suy ra :

 $16a^5-5a+2=0\Leftrightarrow (2a-1)^2(4a^3+4a^2+3a+2)=0$

 Vì $a>0$ nên $4a^3+4a^2+3a+2>0$ suy ra $a=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{4}$

[Bui Ba Anh]

Cách giải thì không khó, nhưng mình nghĩ tư tưởng của bài này áp dụng BĐT AM-GM ngay từ đầu:

Ta có: $8x^2+\frac{1}{\sqrt{x}} =8x^2+4.\frac{1}{4\sqrt{x}} \geq 5.\sqrt[5]\frac{8x^2}{4^4.(\sqrt{x})^2}=\frac{5}{2}$

Từ đó dấu bằng AM-GM xảy ra ở $x=\frac{1}{4}$