Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang Long Le]

  Giải hệ phương trình trên tập số thực :

$$\begin{cases}(x-2y)(3x+8y+4\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16})=-6\\(y-4x)(3y+2x+2\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16})=-10\end{cases}$$

[Mikhail Leptchinski]

  Giải hệ phương trình trên tập số thực :

$$\begin{cases}(x-2y)(3x+8y+4\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16})=-6\\(y-4x)(3y+2x+2\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16})=-10\end{cases}$$

Lời giải:

Điều kiện xác định:$x^2-4xy+4y^2-16\geq 0<=>(x-2y)^2-4^2\geq 0<=>(x-2y)^2 \geq 16$

Từ phương trình $(1)$

Với $x-2y=0$ ta có:0=-6 => vô lý

Với $x-2y\neq 0$ ta có:$4\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16}=\frac{-6}{x-2y}-3y-8y$

                                                                          $=\frac{-6-(3x+8y)(x-2y)}{x-2y}$

                                                                          $=\frac{-6-(3x^2-6xy+8xy-16y^2)}{x-2y}$

                                                                          $=\frac{3x^2-6-2xy+16y^2}{x-2y}$

                                    $<=>2\sqrt{x^2-4xy+4y^2-16}=\frac{3x^2-2xy+16y^2-6}{2(x-2y)}$ thay vào phương trình $(2)$ ta có:

      $(y-4x)\left [ 3y+2x+\frac{-3x^2-2xy+16y^2-6}{2(x-2y)} \right ]=-10$

$<=>(y-4x)\left [ 2(3y+2x)(x-2y)-3x^2-2xy+16y^2-6 \right ]=-20(x-2y)$

$<=>(y-4x)\left [ 2(3xy-6y^2+2x^2-4xy)-3x^2-2xy+16y^2-6 \right ]=-20(x-2y)$

$<=>(y-4x)(x^2-4xy+4y^2-6)=-20(x-2y)$

$<=>(y-4x)\left [ (x-2y)^2-6 \right ]=-20(x-2y)$

_Với $(x-2y)^2=6$ ta có:

$x^2-4xy+4y^2-16=6-16=-10<0$ nên không thỏa mãn điều kiện

_Với $(x-2y)^2\neq 6$ ta có:$y-4x=\frac{-20(x-2y)}{(x-2y)^2-6}$

Ta có :phương trình $(1)$ trở thành:

$(x-2y)\left [ -5(x-2y)-2(y-4x)+4\sqrt{(x-2y)^2-16} \right ]=-6$ thay $y-4x=\frac{-20(x-2y)}{(x-2y)^2-6}$ vào phương trình ta có:

$(x-2y)(-5(x-2y)+\frac{40(x-2y)}{(x-2y)^2-6}+\sqrt{(x-2y)^2-16})=-6$

Đặt $\sqrt{(x-2y)^2-16}=t$ ($t\geq 0$)

=>$\left\{\begin{matrix}(x-2y)^2=t^2+16 & & \\ (x-2y)^2-6=y^2+10 & & \end{matrix}\right.$ thay vào phương trình có:

      $-5(t^2+16)+\frac{40t^2+16}{t^2+10}+t+6=0$

<=>$-5(t^2+16)(t^2+10)+40t^2+16+(t+6)(t^2+10)=0$

<=>$-5(t^4+10t^2+16t^2+160)+40t^2+16+t^3+10t+6t^2+60=0$

<=>$-5t^4-130t^2-800+40t^2+16t+t^3+10t+6t^2+60=0$

<=>$5t^4-t^3+84t^2-26t+740=0$

<=>$(t^4-t^3+\frac{1}{4}t^2)+(t^2-26t+169)+4t^4+\frac{331}{4}t^2+571=0$

<=>$t^2(t-\frac{1}{2})^2+(t-13)^2+4t^4+\frac{331}{4}t^2+571=0$

Ta có:$t^2(t-\frac{1}{2})^2+(t-13)^2+4t^4+\frac{331}{4}t^2+571\geq 571>0$

Suy ra :Phương trình vô nghiệm

Do đó:Hệ phương trình không có nghiệm $x,y$ thỏa mãn đề bài