Chủ đề này có 2 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho các số thực dương $a,b,m,n$ thỏa mãn $a>b$ và $m>n$

Chứng minh rằng :  $\frac{a^{m}-b^{m}}{a^{m}+b^{m}}>\frac{a^{n}-b^{n}}{a^{n}+b^{n}}$

[Phung Quang Minh]

-Ta có: \[\frac{a}{b} > 1;m > n > 0 =  > {(\frac{a}{b})^m} > {(\frac{a}{b})^n} =  > {a^m}.{b^n} > {a^n}.{b^m} =  > 2{a^m}.{b^n} - 2{a^n}.{b^m} > 0\]

\[ =  > {a^{m + n}} - {b^{m + n}} - {b^m}.{a^n} + {a^m}.{b^n} > {a^{m + n}} - {b^{m + n}} + {b^m}.{a^n} - {a^m}.{b^n} =  > ({a^m} - {b^m}).({a^n} + {b^n}) > ({a^m} + {b^m}).({a^n} - {b^n})\]

\[ =  > \frac{{{a^m} - {b^m}}}{{{a^m} + {b^m}}} > \frac{{{a^n} - {b^n}}}{{{a^n} + {b^n}}}.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phung Quang Minh: 01-07-2015 - 22:55

[lethutang7dltt]

Cho các số thực dương $a,b,m,n$ thỏa mãn $a>b$ và $m>n$

Chứng minh rằng :  $\frac{a^{m}-b^{m}}{a^{m}+b^{m}}>\frac{a^{n}-b^{n}}{a^{n}+b^{n}}$

Nhân chéo ta được:$(a^{m}-b^{m})(a^{n}+b^{n})> (a^{n}-b^{n})(a^{m}+b^{m})$

$\Leftrightarrow (a^{m+n}-b^{m+n}+a^{m}b^{n}-a^{n}b^{m})> (a^{m+n}-b^{m+n}+a^{n}b^{m}-a^{m}b^{n})$

$\Leftrightarrow 2a^{m}b^{n}> 2a^{n}b^{m} \Leftrightarrow a^{m}b^{n}> a^{n}b^{m}$

$\Leftrightarrow a^{n}b^{n}a^{m-n}> a^{n}b^{n}b^{m-n}$

$=>luôn đúng do a,b,m,n là các số thực dương và a>b,m>n$

$=>đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethutang7dltt: 02-07-2015 - 08:23