Chủ đề này có 5 trả lời

[Capture]

CMR: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$

 

[Tuan Hoang Nhat]

CMR: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$

BĐT sai với $a=-1;b=-2;c=-3$

[arsfanfc]

BĐT sai với $a=-1;b=-2;c=-3$

với $a,b,c \geq 0$ nữa

[longatk08]

CMR: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$

Sau đăng bài nhớ để ý điều kiện bài toán nhé không phải bài nào cũng tập $R+$ đâu. Với điều kiện $a,b,c$ không âm dùng $S.O.S$ chứng minh.

[Nguyen Minh Hai]

CMR: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$

BĐT cần chứng minh tương đương với 

$\sum \frac{(a^2+b^2)(a+b+c)}{a+b} \leq 3(a^2+b^2+c^2 )$

 

$\Leftrightarrow \sum \left ( a^2+b^2+\frac{(a^2+b^2).c}{a+b} \right ) \leq 3(a^2+b^2+c^2)$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{(a^2+b^2)c}{a+b} \leq a^2+b^2+c^2$

 

$\Leftrightarrow \sum (a^2+b^2)c(b+c)(c+a) \leq (a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)$

 

$\Leftrightarrow 2\sum a^3(b^2+c^2)+2abc(a^2+b^2+c^2)+2abc(ab+bc+ca) \leq \sum a^4(b+c)+2abc(ab+bc+ca)+2\sum a^3(b^2+c^2)$

 

$\Leftrightarrow \sum a^4(b+c) \geq 2abc(a^2+b^2+c^2)$

 

$\Leftrightarrow \sum ab(a^3+b^3) \geq 2abc(a^2+b^2+c^2)$

 

$\Leftrightarrow \sum a^3\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \geq 2(a^2+b^2+c^2)$

 

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có:

$\sum a^3 \left (\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right ) \geq \sum \frac{4a^3}{b+c} \geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)} \geq 2(a^2+b^2+c^2)$

 

Từ đó bài toán được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị.

[KietLW9]

BĐT$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{-ab(a-b)^2}{(c+a)(b+c)}\leqslant 0$