Chủ đề này có 15 trả lời

[Hoang Tung 126]

 Bài toán: Cho các số thực dương $a,b,c$. CMR:

 

    $(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2+3\geq \frac{5}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})$

 

 

 

 

 

P/s: Đây là bài toán nằm trên báo THTT ,do đã hết thời lượng gửi bài nên up lên đây mọi người thảo luân

[Tuan Hoang Nhat]

 Bài toán: Cho các số thực dương $a,b,c$. CMR:

 

    $(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2+3\geq \frac{5}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})$

 

 

 

 

 

P/s: Đây là bài toán nằm trên báo THTT ,do đã hết thời lượng gửi bài nên up lên đây mọi người thảo luân

Câu này em biến đổi tương đương rồi sử dụng BĐT: $x^3+y^3\geq xy(x+y)$

[khanghaxuan]

Đối với bài này , ta có cách tiếp cận dễ thấy nhất là : 

Đặt : $\left\{\begin{matrix} \frac{a}{a+b}=x & & \\ \frac{b}{b+c}=y & & \\ \frac{c}{c+a}=z & & \end{matrix}\right.$

Ta cần chứng minh : $x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\geq \frac{5}{2}(x+y+z)$

với điều kiện : $(1-x)(1-y)(1-z)=xyz$

Tới đây dùng phản chứng hoặc p,q,r để giải 

[khanghaxuan]

Còn một cách khá trâu bò nữa là dùng phép thế Ravi rồi quy đồng lên sau đó dùng phân tích SOS  

[Toanlc_gift]

Mình giải trong tệp đính kèm nhé

Hình gửi kèm

• 

[Hoang Tung 126]

Mình chơi phép biến đổi tương đương sau khi đặt ẩn cũng max dài

[Hoang Tung 126]

Câu này em biến đổi tương đương rồi sử dụng BĐT: $x^3+y^3\geq xy(x+y)$

 

Còn một cách khá trâu bò nữa là dùng phép thế Ravi rồi quy đồng lên sau đó dùng phân tích SOS  

 

Mình giải trong tệp đính kèm nhé

     Trên đây là cách của mình ,mọi người post cách làm riêng lên nhé

 

Ta có : $\sum (\frac{a}{a+b})^2+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{a}{a+b})< = > \sum \frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}})$

 

   Đặt $\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{a}{c}=z= > xyz=1,x,y,z> 0$

 

BĐT $< = > \sum \frac{1}{(1+x)^2}+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{1}{x+1})$

$< = > \sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{1}{x+1}-\frac{6}{5})$

$< = > \frac{\sum (y+1)^2(z+1)^2}{(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2}\geq \frac{5}{2}(\frac{\sum (y+1)(z+1)}{(x+1)(y+1)(z+1)}-\frac{6}{5})$
$< = > \frac{\sum (y+1)^2(z+1)^2}{(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2}\geq \frac{5\sum (y+1)(z+1)-6(x+1)(y+1)(z+1)}{2(x+1)(y+1)(z+1)}$
$< = > 2\sum (y+1)^2(z+1)^2\geq (x+1)(y+1)(z+1)\left [ 5\sum (y+1)(z+1)-6(x+1)(y+1)(z+1) \right ]$
$< = > 2\sum (y^2+2y+1)(z^2+2z+1)\geq (xyz+\sum x+\sum xy+1)\left [ 5\sum (yz+y+z+1)-6(xyz+\sum xy+\sum x+1) \right ]$
$< = > 2\sum y^2z^2+4\sum yz(y+z)+4\sum y^2+8\sum yz+8\sum y+6\geq (\sum yz+\sum y+2)(4\sum y-\sum yz+3)$  (1)

    (Do thay $xyz=1$ )

 

 Ta lại có :$(\sum yz+\sum y+2)(4\sum y-\sum yz+3)$
$=4(\sum y)(\sum yz)-(\sum yz)^2+3\sum yz+4(\sum y)^2-(\sum y)(\sum yz)+3\sum y+8\sum y-2\sum yz+6=3(\sum y)(\sum yz)-(\sum yz)^2+\sum yz+4(\sum y)^2+11\sum y+6$
$=3\sum yz(y+z)+9xyz-\sum y^2z^2-2xyz\sum y+\sum yz+4\sum y^2+8\sum xy+11\sum y+6$
$=3\sum yz(y+z)-\sum y^2z^2+9\sum y+9\sum yz+4\sum y^2+15$  (2)

   (Do thay $xyz=1$)

 

 Từ (1),(2) ,BĐT $< = > 2\sum y^2z^2+4\sum yz(y+z)+4\sum y^2+8\sum yz+8\sum y+6\geq 3\sum yz(y+z)-\sum y^2z^2+9\sum y+4\sum y^2+9\sum yz+15$

$< = > 2\sum y^2z^2+\sum yz(y+z)\geq \sum yz+\sum y+9$   (3)

 

 Nhưng theo BĐT Cosi thì $\sum y^2z^2\geq xyz\sum y=\sum y$ (Do $xyz=1$)

                                            $\sum y^2z^2\geq \frac{(\sum yz)^2}{3}=\frac{(\sum yz)(\sum yz)}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{(xyz)^2}(\sum yz)}{3}=\sum yz$

                                           $\sum y^2z^2+\sum yz(y+z)\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^4}+6\sqrt[6]{(xyz)^6}=3+6=9$

 

 Cộng theo vế các BĐT $= > 3\sum y^2z^2+\sum yz(y+z)\geq \sum y+\sum yz+9$

 

   Từ đó $= > (3)$ đúng và các phép biến đổi trên là tương đương nên ta có ĐPCM

 

  Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1< = > \frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{a}{c}=1< = > a=b=c$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 02-07-2015 - 15:51

[Tuan Hoang Nhat]

Ngoài lề: Các anh cho em hỏi hạn nộp bài là như thế nào ạ

[Hoang Tung 126]

Ngoài lề: Các anh cho em hỏi hạn nộp bài là như thế nào ạ

À ,2 tháng kể từ ngày ra báo đó e

[Hoang Tung 126]

Ngoài lề: Các anh cho em hỏi hạn nộp bài là như thế nào ạ

Ví dụ bài này có hạn nộp là 30/6 chẳng hạn

[binhnhaukhong]

Một bài toán hay và có nhiều cách giải ( Cách xấu nhất là quy đồng và dùng BW)

[Hoang Tung 126]

Một bài toán hay và có nhiều cách giải ( Cách xấu nhất là quy đồng và dùng BW)

 Đúng vậy ,bài này có nhiều cách giải ,nhưng cách quy đồng là tự nhiên nhất

[Hoang Tung 126]

  Ngoài ra ta cũng có thể thay số $\frac{5}{2}=k$ và tìm hằng số $k$ tốt nhất thỏa mãn bài toán.

 

Thật vậy ,BĐT $< = > \sum (\frac{a}{a+b})^2+3\geq k(\sum \frac{a}{a+b})< = > \sum \frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}+3\geq k(\sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}})$

 

  Đặt $\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{a}{c}=z= > xyz=1$

 

BĐT $< = > \sum \frac{1}{(x+1)^2}+3\geq k(\sum \frac{1}{x+1})$

 

-Chọn $x=y=m,z=\frac{1}{m^2}(m> 0)$

 

BĐT $< = > \frac{1}{(m+1)^2}+\frac{1}{(m+1)^2}+\frac{1}{(1+\frac{1}{m^2})^2}+3\geq k(\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{1+\frac{1}{m^2}})< = > \frac{2}{(m+1)^2}+\frac{m^2}{(m+2)^2}+3\geq k(\frac{2}{m+1}+\frac{m^2}{m^2+1})= > \frac{m^6+2m^5+3m^4+4m^2+2+3(m^2+2m+1)(m^4+2m^2+1)}{(m+1)^2(m^2+1)^2}\geq k(\frac{m^3+3m^2+2}{(m+1)(m^2+1)})$

$= > k\leq \frac{4m^6+8m^5+12m^4+12m^3+13m^2+6m+5}{(m+1)(m^2+1)(m^3+3m^2+2)}$ (1)

 

 - Cho $x=y\rightarrow z= > m\rightarrow \frac{1}{m^2}= >m\rightarrow 1$

 

Từ (1) $= > k\leq \lim_{m\rightarrow 1}\frac{4m^6+8m^5+12m^4+12m^3+13m^2+6m+5}{(m+1)(m^2+1)(m^3+3m^2+2)}=\frac{60}{4.6}=\frac{5}{2}= > k\leq \frac{5}{2}= > k_{max}=\frac{5}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 02-07-2015 - 21:30

[tranquocluat_ht]

  Ngoài ra ta cũng có thể thay số $\frac{5}{2}=k$ và tìm hằng số $k$ tốt nhất thỏa mãn bài toán.

 

Thật vậy ,BĐT $< = > \sum (\frac{a}{a+b})^2+3\geq k(\sum \frac{a}{a+b})< = > \sum \frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}+3\geq k(\sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}})$

 

  Đặt $\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{a}{c}=z= > xyz=1$

 

BĐT $< = > \sum \frac{1}{(x+1)^2}+3\geq k(\sum \frac{1}{x+1})$

 

-Chọn $x=y=m,z=\frac{1}{m^2}(m> 0)$

 

BĐT $< = > \frac{1}{(m+1)^2}+\frac{1}{(m+1)^2}+\frac{1}{(1+\frac{1}{m^2})^2}+3\geq k(\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{1+\frac{1}{m^2}})< = > \frac{2}{(m+1)^2}+\frac{m^2}{(m+2)^2}+3\geq k(\frac{2}{m+1}+\frac{m^2}{m^2+1})= > \frac{m^6+2m^5+3m^4+4m^2+2+3(m^2+2m+1)(m^4+2m^2+1)}{(m+1)^2(m^2+1)^2}\geq k(\frac{m^3+3m^2+2}{(m+1)(m^2+1)})$

$= > k\leq \frac{4m^6+8m^5+12m^4+12m^3+13m^2+6m+5}{(m+1)(m^2+1)(m^3+3m^2+2)}$ (1)

 

 - Cho $x=y\rightarrow z= > m\rightarrow \frac{1}{m^2}= >m\rightarrow 1$

 

Từ (1) $= > k\leq \lim_{m\rightarrow 1}\frac{4m^6+8m^5+12m^4+12m^3+13m^2+6m+5}{(m+1)(m^2+1)(m^3+3m^2+2)}=\frac{60}{4.6}=\frac{5}{2}= > k\leq \frac{5}{2}= > k_{max}=\frac{5}{2}$

 

Ý thầy là tìm $k$ tốt nhất để

$\sum k(\dfrac{a}{a+b})^2 \geq \dfrac{5}{2}(\sum \dfrac{a}{a+b})+\dfrac{3k}{4}-\dfrac{15}{4}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranquocluat_ht: 02-07-2015 - 21:52

[Hoang Tung 126]

Ý thầy là tìm $k$ tốt nhất để

$\sum k(\dfrac{a}{a+b})^2 \geq \dfrac{5}{2}(\sum \dfrac{a}{a+b})+\dfrac{3k}{4}-\dfrac{15}{4}.$

vâng ,để em xem lại 

[Juliel]

 Bài toán: Cho các số thực dương $a,b,c$. CMR:

 

    $(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2+3\geq \frac{5}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})$

 

 

Lời giải của mình như thế này :

 

Đặt $x=\frac{a}{a+b},y=\frac{b}{b+c},z=\frac{c}{c+a}$. Ta cần chứng minh :

$$2(x^2+y^2+z^2)+6\geq 5(x+y+z)\;\;\;(*)$$

Ta xét trường hợp $x+y+z\leq \dfrac{3}{2}$. Khi đó ta dễ dàng chỉ ra $(*)$ đúng bằng đánh giá $x^2+y^2+z^2\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}$.

Còn nếu mà $x+y+z\geq \dfrac{3}{2}$ thì khi đó $(1-x)+(1-y)+(1-z)\leq \dfrac{3}{2}$.

Nếu đặt $X=1-x,Y=1-y,Z=1-z$ thì $X+Y+Z\leq \dfrac{3}{2}$. Khi đó ta cũng sẽ có :

$$X^2+Y^2+Z^2+3\geq \dfrac{5}{2}\left ( X+Y+Z \right )$$

$$\Leftrightarrow \left ( \frac{b}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{c}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{a}{a+c} \right )^2+3\geq \dfrac{5}{2}\left ( \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{c}{c+a} \right )\;\;\;(**)$$

Chỉ cần đổi chỗ $a$ và $c$ cho nhau trong $(**)$ thì ta thu được BĐT đề bài.

Tức là ta có điều phải chứng minh.