Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
thichmontoan

thichmontoan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}$



#2
nangcuong8e

nangcuong8e

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}$

Ta có: $1 =a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow \sqrt[3]{abc} \leq \frac{1}{3}$

 Lại có: $A =\sum \frac{a}{b} +\sqrt[3]{abc} \geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} +\sqrt[3]{abc}$

$\Rightarrow A \geq \frac{1}{\sqrt[3]{abc}} +9\sqrt[3]{abc} -8\sqrt[3]{abc} \geq 6 -\frac{8}{3} =\frac{10}{3}$

 Do đó ta cần chứng minh $\frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)} \leq \frac{10}{3} \Leftrightarrow a^2+b^2 +c^2 \geq \frac{1}{3} = \frac{(a+b+c)^2}{3}$ (đúng theo AM-GM).

Từ đó ta có đpcm

 Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$



#3
thichmontoan

thichmontoan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

giải thích cho mình chỗ 

$\sum \frac{a}{c}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}$

được không bạn???



#4
tuananh2000

tuananh2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết

giải thích cho mình chỗ 

$\sum \frac{a}{c}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}$

được không bạn???

Ta có $\frac{a}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\geq \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$

TT cộng lại là được 


Live more - Be more  





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh