Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Thảo luận về Đề thi và Lời giải của IMO 2015

imo 2015 imo

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 37 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 10-07-2015 - 15:18

*
Phổ biến

logo%20IMO%20(%E0%B9%84%E0%B8%A1%E0%B9%8

IMO 2015

Ngày 10-07-2015

Thời gian bắt đầu: 9am
Thời gian làm bài: 4 tiếng

Bài 1. Cho $S$ là một tập hữu hạn các điểm trên mặt phẳng. Tập $S$ được gọi là "cân bằng" nếu với với hai điểm $A,B$ phân biệt bất kì thuộc $S$ thì luôn tồn tại điểm $C$ thuộc $S$ thoả mãn $AC=BC$. Tập $S$ được gọi là "không tâm" nếu với bất kì ba điểm phân biệt $A,B,C$ thuộc $S$ thì không có điểm $P$ nào thoả mãn $PA=PB=PC$.
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 3$, tồn tại một tập "cân bằng" với $n$ điểm.
b) Tìm tất cả số nguyên $n \ge 3$, sao cho tồn tại một tập "cân bằng" và "không tâm" cho $n$ điểm.

Bài 2. Tìm mọi số nguyên dương $(a,b,c)$ thoả mãn $ab-c,bc-a,ca-b$ đều là luỹ thừa của $2$.

Bài 3. Cho tam giác nhọn $ABC$, $AB>AC$ có đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$, trực tâm $H$ và chân đường cao $F$ hạ từ $A$. $M$ là trung điểm $BC$. $Q$ là điểm trên $\Gamma$ thoả mãn $\angle HQA= 90^{\circ}$, và $K$ là điểm trên $\Gamma$ sao cho $\angle HKQ=90^{\circ}$. $A,B,C,K,Q$ là các điểm phân biệt, và chúng nằm trên $\Gamma$ theo đúng thứ tự đó. Chứng minh rằng đường tròn ngoai tiếp hai tam giác $KQH$ và $FKM$ tiếp xúc với nhau.

 

IMO 2015

Ngày 11-07-2015

Thời gian bắt đầu: 9am

Thời gian làm bài: 4 tiếng

 

Bài 4. Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\Omega$ có tâm $O$. Một đường tròn $\Gamma$ với tâm $A$ cắt cạnh $BC$ tại $D$ và $E$ sao cho $B,D,E,C$ phân biệt và nằm trên đường thẳng $BC$ theo đúng thứ tự này. $F,G$ là giao điểm của $\Omega$ và $\Gamma$ sao cho $A,F,B,C,G$ nằm trên $\Omega$ theo đúng thứ tự này. $K$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp $\triangle BDF$ và cạnh $AB$. $L$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp $\triangle CGE$ và cạnh $CA$.

 

Giả sử đường thẳng $FK$ và $GL$ phân biệt và cắt nhau tại $X$. Chứng minh rằng $X$ nằm trên đường thẳng $AO$.

 

Bài 5. Kí hiệu $\mathbb{R}$ là tập các số thực. Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$$ với mọi số thực $x,y$.

 

Bài 6. Cho dãy $a_1,a_2, \cdots $ các số nguyên thoả mãn điều kiện sau:

 

(i) $1 \le a_j \le 2015$ với mọi $j \ge 1$;

(ii) $k+a_k \ne l+a_l$ với mọi $1 \le k<l$.

 

Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương $b$ và $N$ thoả mãn $$\left | \sum_{j=m+1}^n(a_j-b) \right | \le 1007^2$$ với mọi số nguyên $m,n$ thoả mãn $n>m \ge N$.

 

 

File gửi kèm  2015_eng.pdf   187.74K   790 Số lần tải

 

Nguồn: AoPS

 

Giờ G đã điểm, anh em tiến lên!! :D

Topic này được lập ra để post đề thi IMO 2015 và thảo luận ở đây . Ngay khi có đề thì các mem đăng đề ở đây để tránh đăng tràn lan :) .

Chú ý : Bên lề , các mem có thể chém gió thoải mải ở đây : http://diendantoanho...view=getnewpost


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 14-07-2015 - 23:00
Thêm tag

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 10-07-2015 - 16:09

Xin nêu lời giải bài số học(problem 2)(chắc chắn sai)

Đặt $ab-c=2^x(1);bc-a=2^y(2);ca-b=2^z(3)$(với x,y,z$\geqslant$0)

Do vai trò như nhau của x,y,z ta giả sử $x\geq y\geq z$. Do vai trò như nhau của a,b,c ta cũng được giả sử$a\geq b\geq c$(*)

Trừ (1) cho (2) ta có $2^x-2^y=ab-c-bc+a=(b-1)(a-c)$ chú ý rằng x lớn hơn bằng y và b$\geq 1$

do đó a lớn hơn c

Trừ (2) cho (3) tương tự suy ra b lớn hơn bằng a

Trừ (1) cho (3) ta lại có b lớn hơn bằng c.

Do đó $b\geq a\geq c$(**).

Từ (*) và (**) ta có a=b=c và x=y=z

Từ đó ta quy về giải Pt nghiệm nguyên dương sau:$a^2-a=2^x$(đơn giản với việc sử dụng biệt thức delta của tam thức bậc 2 là số chính phương)

từ đó suy ra a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 10-07-2015 - 16:59

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#3 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 530 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-07-2015 - 16:19

Xin nêu lời giải bài số học(problem 2)

Đặt $ab-c=2^x(1);bc-a=2^y(2);ca-b=2^z(3)$(với x,y,z$\geqslant$0)

Do vai trò như nhau của x,y,z ta giả sử $x\geq y\geq z$. Do vai trò như nhau của a,b,c ta cũng được giả sử$a\geq b\geq c$(*)

Trừ (1) cho (2) ta có $2^x-2^y=ab-c-bc+a=(b-1)(a-c)$ chú ý rằng x lớn hơn bằng y và b$\geq 1$

do đó a lớn hơn c

Trừ (2) cho (3) tương tự suy ra b lớn hơn bằng a

Trừ (1) cho (3) ta lại có b lớn hơn bằng c.

Do đó $b\geq a\geq c$(**).

Từ (*) và (**) ta có a=b=c và x=y=z

Từ đó ta quy về giải Pt nghiệm nguyên dương sau:$a^2-a=2^x$(đơn giản với việc sử dụng biệt thức delta của tam thức bậc 2 là số chính phương)

từ đó suy ra a=b=c=1

Bạn không thể giả sử tiếp $a\geq b \geq c$ được đâu, bản chất của cái giả sử này là lập luận không thay đổi trong mọi trường hợp. Nếu thế chẳng hạn trong trường hợp $b\geq a \geq c$ thì ta chẳng suy ra điều gì cả nên không giả sử vậy được. 



#4 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 10-07-2015 - 16:26

Xin nêu lời giải bài số học(problem 2)

Đặt $ab-c=2^x(1);bc-a=2^y(2);ca-b=2^z(3)$(với x,y,z$\geqslant$0)

Do vai trò như nhau của x,y,z ta giả sử $x\geq y\geq z$. Do vai trò như nhau của a,b,c ta cũng được giả sử$a\geq b\geq c$(*)

Trừ (1) cho (2) ta có $2^x-2^y=ab-c-bc+a=(b-1)(a-c)$ chú ý rằng x lớn hơn bằng y và b$\geq 1$

do đó a lớn hơn c

Trừ (2) cho (3) tương tự suy ra b lớn hơn bằng a

Trừ (1) cho (3) ta lại có b lớn hơn bằng c.

Do đó $b\geq a\geq c$(**).

Từ (*) và (**) ta có a=b=c và x=y=z

Từ đó ta quy về giải Pt nghiệm nguyên dương sau:$a^2-a=2^x$(đơn giản với việc sử dụng biệt thức delta của tam thức bậc 2 là số chính phương)

từ đó suy ra a=b=c=1

Bạn đã giải sai ngay từ bước giả sử ,vì vai trò của 3 biến ko hề như nhau



#5 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 10-07-2015 - 17:01

Đề năm nay khó phết :(


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#6 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 10-07-2015 - 17:12

mình chưa giải rõ ràng được nhưng về ý tưởng là xét 2 TH

TH1: ta có thể giả sử $bc-a=1$ từ đây tìm được nghiệm là (2,2,3)

TH2: giả sử 3 cái nớ không có cái nào bằng 1,tìm được nghiệm (2,2,2) hoặc 3 số a,b,c đều phải lẻ từ đó tính được thêm 1 nghiệm là (3,5,7)

đang bị mắc nơi đoạn chứng minh a,b,c luôn lẻ :(   


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#7 minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-07-2015 - 18:01

Bạn dangkhuong sai rồi. Làm sao có thể giả sử x,y,z và a,b,c một lúc được.



#8 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 10-07-2015 - 18:52

Bài 3. Giả sử $AA'$ là đường kính của $\Gamma$, $AF$ cắt $\Gamma$ tại $A''$ và $T$ là tâm của $(KHA'')$

Dễ thấy $Q,H,M,A'$ thẳng hàng. Ta có $\widehat{KHQ}=90^{o}-\widehat{KQA'}=90^{o}-\widehat{KAA'}=\widehat{KA'A}=\widehat{KA''H}$

Do đó $QA'$ là tiếp tuyến của $(KHA'')$ nên $TH\perp HM$, suy ra $TK^2=TH^2=TM.TF$ (Do $HF=FA''$ nên $K\in BC$)

Từ đó suy ra $TK$ là tiếp tuyến của $(KFM)$, ngoài ra $QH\perp TH$ nên $TH$ là tiếp tuyến của $(QKH)$ mà $TK=TH$ nên $TK$ là tiếp tuyến của $(QKH)$

Suy ra điều phải chứng minh.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#9 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 530 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-07-2015 - 18:58

mình chưa giải rõ ràng được nhưng về ý tưởng là xét 2 TH

TH1: ta có thể giả sử $bc-a=1$ từ đây tìm được nghiệm là (2,2,3)

TH2: giả sử 3 cái nớ không có cái nào bằng 1,tìm được nghiệm (2,2,2) hoặc 3 số a,b,c đều phải lẻ từ đó tính được thêm 1 nghiệm là (3,5,7)

đang bị mắc nơi đoạn chứng minh a,b,c luôn lẻ :(   

Nếu bạn đã làm được TH1 thì ta giả thiết các lũy thừa của 2 là chẵn. Dễ thấy trong trường hợp này $a,b,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Ta có $(c-1)(a+b)=2^y+2^z$. Nếu ta giả sử $x\geq y\geq z$ thì a+b=$2^z$(a+b chẵn còn c-1 lẻ). Tương tự ta có $b+c=2^z$ (lạ là cùng $2^z$, do ta giả thiết z nhỏ nhất). Như vậy a=c, ta được ab-a=$2^x$, điều chỉ xảy được nếu x=0, mâu thuẫn với giả thiết nên a,b,c cùng lẻ. Nếu ý tưởng của bạn đúng thì chắc bài này ok rồi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 10-07-2015 - 19:54


#10 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 10-07-2015 - 19:26

Bài 1(a) em có ý tưởng sau. Với $n=3$ thì chọn $A_1, A_2, A_3$ sao cho $A_1A_2A_3$ cân tại $A_1$

Với $n=4$ chọn $A_4$ sao cho $A_4A_1A_2$ hoặc $A_4A_1A_3$ đều.

...

Với tam giác cân tại $A_i$ là $A_iA_jA_k$ thì dựng tam giác đều $A_iA_jA_l$ hoặc $A_iA_kA_l$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#11 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 10-07-2015 - 19:35

Bài 1(a) em có ý tưởng sau. Với $n=3$ thì chọn $A_1, A_2, A_3$ sao cho $A_1A_2A_3$ cân tại $A_1$

Với $n=4$ chọn $A_4$ sao cho $A_4A_1A_2$ hoặc $A_4A_1A_3$ đều.

...

Với tam giác cân tại $A_i$ là $A_iA_jA_k$ thì dựng tam giác đều $A_iA_jA_l$ hoặc $A_iA_kA_l$

Lời giải gần đúng :), phải xét 2 trường hợp $2n$ và $2n+1$ em ạ,xét 2 trường hợp là thấy có khác biệt liền


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 10-07-2015 - 19:35

FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#12 Nguyen Giap Phuong Duy

Nguyen Giap Phuong Duy

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hậu Nghĩa, Long An
  • Sở thích:Không có sở thích :'(

Đã gửi 10-07-2015 - 19:37

Bài 1(a) em có ý tưởng sau. Với $n=3$ thì chọn $A_1, A_2, A_3$ sao cho $A_1A_2A_3$ cân tại $A_1$

Với $n=4$ chọn $A_4$ sao cho $A_4A_1A_2$ hoặc $A_4A_1A_3$ đều.

...

Với tam giác cân tại $A_i$ là $A_iA_jA_k$ thì dựng tam giác đều $A_iA_jA_l$ hoặc $A_iA_kA_l$

$n=3$ chỉ có tam giác đều thôi bạn, còn $n=4$ nếu dựng như bạn thì được hai tam giác đều

mình cũng thử dựng tam giác đều nhưng đến $n=8$ là cụt

nếu $n$ lẻ thì chỉ cần đa giác đều là đủ
tuy nhiên bạn cố gắng phát triển ý tưởng xem sao :lol:



#13 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 10-07-2015 - 20:09

Vì bài đầu tiên nên có lẽ sẽ là không quá khó với các bạn đó,ít nhất là câu a/

a/ Với bài toán tổng quát thế này thì ý tưởng dễ đoán nhất là quy nạp

$n=3$ là hiển nhiên đúng ( tam giác đều )

Giả sử đúng đến $n$ $(n\in \mathbb{N*})$ ta chia 2 TH

- đúng với $n=2k$,tức là $2k$ điểm này thuộc $S$. Ta chứng minh trường hợp $2k+1$

Ta xét một điểm O thuộc S,$2k$ điểm còn lại khác O

Xét các tam giác đều có tâm O,có đỉnh là $2k$ điểm này và các đỉnh của tam giác phải khác nhau,chỉ chung đỉnh O,ta thấy thỏa mãn điều kiện đề bài ( lưu ý các tam giác này có cạnh phải bằng nhau )

Trường hợp $n=2k$ cũng vậy,nhưng trong đó có 2 tam giác có chung 2 đỉnh là O và 1 đỉnh nào đó,các tam giác còn lại chỉ chung đúng 1 đỉnh O là được


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#14 Johan Liebert

Johan Liebert

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11T THPT chuyên Lam Sơn
  • Sở thích:Đọc truyện

Đã gửi 10-07-2015 - 20:30

Bài 1: 

b) Số các đoạn thẳng là $\dfrac{n(n-1)}{2}$

Xét n lẻ dễ thấy các n giác đều đều thỏa mãn

Xét n chẵn.Đặt n=2k. Theo Dirichlet ta thấy phải có 1 điểm nằm trên trung trực của $k$ đoạn thẳng (gọi là điểm O)

Do tập các điểm là không tâm nên trung trực 2 đoạn thẳng $AB,AC$ không thể đi qua cùng 1 điểm

Vì vậy k đoạn thẳng có trung trực đi qua điểm O đó không thể có chung đầu mút

Suy ra phải có ít nhất $2k$ điểm

Mà chỉ còn lại $2n-1$ điểm. Vô lý

Vậy n lẻ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 10-07-2015 - 20:31


#15 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 10-07-2015 - 21:46

Nếu bạn đã làm được TH1 thì ta giả thiết các lũy thừa của 2 là chẵn. Dễ thấy trong trường hợp này $a,b,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Ta có $(c-1)(a+b)=2^y+2^z$. Nếu ta giả sử $x\geq y\geq z$ thì a+b=$2^z$(a+b chẵn còn c-1 lẻ). Tương tự ta có $b+c=2^z$ (lạ là cùng $2^z$, do ta giả thiết z nhỏ nhất). Như vậy a=c, ta được ab-a=$2^x$, điều chỉ xảy được nếu x=0, mâu thuẫn với giả thiết nên a,b,c cùng lẻ. Nếu ý tưởng của bạn đúng thì chắc bài này ok rồi.

dạ hình như cách đó hơi dài đó anh,em nghĩ chỉ cần chặn được $c\leq 3$ là được,em xin lỗi vì xót 1 nghiệm là (6,11,2) nữa,làm nhanh nên sơ xuất quá


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#16 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 11-07-2015 - 11:01

IMO ngày 2 ( ai đó dịch giúp với )

 

Hình gửi kèm

  • 11659417_10153023704901094_92936320329040965_n.jpg

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#17 hungchng

hungchng

    Sĩ quan

  • Điều hành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-07-2015 - 11:05

Hình bài 3

Untitled.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungchng: 11-07-2015 - 17:49

Hình đã gửi

#18 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 11-07-2015 - 11:06

lâu lắm rồi mới thấy lại PTH ở IMO


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#19 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 11-07-2015 - 12:19

IMO 2015

Ngày 11-07-2015

Thời gian bắt đầu: 9am

Thời gian làm bài: 4 tiếng

 

Bài 3. Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\Omega$ có tâm $O$. Một đường tròn $\Gamma$ với tâm $A$ cắt cạnh $BC$ tại $D$ và $E$ sao cho $B,D,E,C$ phân biệt và nằm trên đường thẳng $BC$ theo đúng thứ tự này. $F,G$ là giao điểm của $\Omega$ và $\Gamma$ sao cho $A,F,B,C,G$ nằm trên $\Omega$ theo đúng thứ tự này. $K$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp $\triangle BDF$ và cạnh $AB$. $L$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp $\triangle CGE$ và cạnh $CA$.

 

Giả sử đường thẳng $FK$ và $GL$ phân biệt và cắt nhau tại $X$. Chứng minh rằng $X$ nằm trên đường thẳng $AO$.

 

Bài 4. Kí hiệu $\mathbb{R}$ là tập các số thực. Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$$ với mọi số thực $x,y$.

 

Bài 5. Cho dãy $a_1,a_2, \cdots $ các số nguyên thoả mãn điều kiện sau:

 

(i) $1 \le a_j \le 2015$ với mọi $j \ge 1$;

(ii) $k+a_k \ne l+a_l$ với mọi $1 \le k<l$.

 

Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương $b$ và $N$ thoả mãn $$\left | \sum_{j=m+1}^n(a_j-b) \right | \le 1007^2$$ với mọi số nguyên $m,n$ thoả mãn $n>m \ge N$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#20 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 11-07-2015 - 13:50

Bài 2. Tìm mọi số nguyên dương $(a,b,c)$ thoả mãn $ab-c,bc-a,ca-b$ đều là luỹ thừa của $2$.

Lời giải. Đặt $ab-c=2^x,bc-a=2^y,ca-b=2^z \; (x,y,z \in \mathbb{N})$.

 

Trường hợp 1. Đầu tiên ta đi xét trường hợp mà $a,b,c$ khác tính chẵn lẻ. Khi đó ít nhất một trong ba số $x,y,z$ bằng $0$. Không mất tính tổng quát, giả sử $x=0$. Khi đó $c=ab-1$ Do đó

\begin{equation} \label{pt1} 2^y+2^z= 2^z \left( 2^{y-z}+1 \right)= (a+b)(c-1)=(a+b)(ab-2). \end{equation}

Ở đây, ta hoàn toàn có thể giả sử $z \le y$. Ta xét các trường hợp nhỏ hơn sau:

 

Khả năng 1

 

Khả năng 2.

 

Khả năng 3.

 

Khả năng 4

 

Trường hợp 2. Nếu $a,b,c$ cùng tính chẵn lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sử $a \le b \le c$ thì ta suy ra $2^x+c \le 2^z+b \le 2^y+a$ suy ra $x \le z \le y$. Ta xét hai trường hợp nhỏ:

 

Khả năng 1

 

Khả năng 2

Vậy $(a,b,c)=(2,2,2),(2,2,3),(3,5,7),(2,6,11)$ và các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 11-07-2015 - 16:15

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: imo 2015, imo

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh