IMO 2015
Ngày 11-07-2015
Thời gian bắt đầu: 9am
Thời gian làm bài: 4 tiếng
Bài 4. Kí hiệu $\mathbb{R}$ là tập các số thực. Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$$ với mọi số thực $x,y$.
Cho $x=y=0$ ta có $f(f(0))=0$
Cho $x=0,y=f(0)$ ta có $f(f(f(0)))+f(0)=f(f(0))+(f(0))^2\Rightarrow f(0)(f(0)-2)=0$
$\Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(0)=2$
-Với TH $f(0)=2$
Thay $x,y$ lần lượt bằng $x-1,1$ ta được $f(x+f(x)-1)=x+f(x)-1$
Đặt $g(x)=x+f(x)-1\Rightarrow f(g(x))=g(x)\Rightarrow f(f(g(x)))=f(g(x))$
Thay $x,y$ lần lượt bằng $0,g(x)$ ta được $f(f(g(x)))+2=f(g(x))+2g(x)$
$\Rightarrow g(x)=1\Rightarrow x+f(x)-1=1\Rightarrow f(x)=2-x$
-Với TH $f(0)=0$
Cho $x=0$ ta có $f(f(y))=f(y)$
Cho $y=0$ ta có $f(f(x)+x)=f(x)+x$
Cho $y=-x$ ta có $f(x)+f(-x^2)=x(1-f(x))$ (1)
Thay $x$ bằng $-x$ ở $(1)$ ta có $f(-x)+f(-x^2)=-x(1-f(-x))$ (2)
Lấy $(1)-(2)$ ta có $f(x)-f(-x)=2x-x(f(x)+f(-x)$ (3)
Giả sử tồn tại một vài số $t$ thỏa $f(t)=t$ thì theo $(3)$ suy ra được $f(-t)=-t$
Vậy ta sẽ có $f(-f(x))=-f(x),f(-x-f(x))=-x-f(x)$
Thay $x,y$ lần lượt là $-x,x-f(x)$ ta được $f(-x+f(-f(x)))+f(x(f(x)-x))=-x+f(-f(x))+(x-f(x))f(-x)$
$\Rightarrow f(x(f(x)-x))=(x-f(x))f(-x)$ (4)
Thay $x,y$ lần lượt bằng $x,f(x)-x$ ta được $f(x+f(f(x)))+f(x(f(x)-x))=x+f(f(x))+(f(x)-x)f(x)$
$\Rightarrow f(x(f(x)-x))=(f(x)-x)f(x)$ (5)
Từ $(4)$ và $(5)$ suy ra $(x-f(x))f(-x)=(f(x)-x)f(x)$
$\Rightarrow f(x)-x=0$ hoặc $f(x)=-f(-x)$
Nếu $f(x)=-f(-x)$ thay vào $(3)$ ta được $f(x)=x$
Vậy kết luận chung có 2 hàm thỏa đề $f(x)=x$ và $f(x)=2-x$
PS: Quên không thử lại