Chủ đề này có 3 trả lời

[kimchitwinkle]

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c = 1. CMR : 

$\frac{a^{2}}{6a^{2}-4a+1}+\frac{b^{2}}{6b^{2}-4b+1}+\frac{c^{2}}{6c^{2}-4c+1}\leq 1$

 

[tuananh2000]

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c = 1. CMR : 

$\frac{a^{2}}{6a^{2}-4a+1}+\frac{b^{2}}{6b^{2}-4b+1}+\frac{c^{2}}{6c^{2}-4c+1}\leq 1$

Mình nhầm , mod xóa hộ   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuananh2000: 03-07-2015 - 08:52

[vta00]

Khong on lam,Chi Chuppy quy dong thoi

[dogsteven]

Ta cm $\frac{a^{2}}{6a^{2}-4a+1}\leq \frac{1}{3}+2(a-\frac{1}{3})$ hay $(3a-1)^{2}(\frac{4a-1}{6a^{2}-4a+1})\geq 0$

Nếu $a\geq \frac{1}{4}$ thì thiết lập các bđt tt rồi cộng theo vế được $ĐPCM$

Nếu $a< \frac{1}{4}$ thì $\frac{a^{2}}{6a^{2}-4a+1}=\frac{1}{6-\frac{4}{a}+\frac{1}{a^{2}}}$ 

Đặt $x=\frac{1}{a}$ thì nếu $0< a<\frac{1}{4}$ thì $x>4$ nên $\frac{1}{6-\frac{4}{a}+\frac{1}{a^{2}}}< \frac{1}{3}$

Nếu $a<0$ thì cũng đc $TH$ tt

Nếu $a=0$ thì giả sử $b\geq c$ cũng ra

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

 

Bài giải này hoàn toàn sai.

Thứ nhất ở trường hợp đầu, $a\geqslant \dfrac{1}{4}$ chứ chưa chắc $b,c$ đã không bé hơn $\dfrac{1}{4}$

Do đó trường hợp đầu tiên sai ở "thiết lập các bất đẳng thức tương tự". Từ đó mà sai toàn bài.

Lời giải.

Xét ba bất đẳng thức:

$2(6a^2-4a+1)\geqslant (6b^2-4b+1)+(6c^2-4c+1) (\star)$

$2(6b^2-4b+1)\geqslant (6c^2-4c+1)+(6a^2-4a+1)$

$2(6c^2-4c+1)\geqslant (6a^2-4a+1)+(6b^2-4b+1)$

Cộng ba bất đẳng thức này lại ta được $0\geqslant 0$ nên sẽ có một trong số ba bất đẳng thức trên là đúng. Không mất tính tổng quát, giả sử $(\star)$ đúng.

Bất đẳng thức tương đương với: $\sum \dfrac{(2a-1)^2}{6a^2-4a+1}\geqslant 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\sum \dfrac{(2a-1)^2}{6a^2-4a+1}\geqslant \dfrac{(2a-1)^2}{6a^2-4a+1}+\dfrac{4a^2}{(6b^2-4b+1)+(6c^2-4c+1)}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $\dfrac{(2a-1)^2}{6a^2-4a+1}+\dfrac{4a^2}{(6b^2-4b+1)+(6c^2-4c+1)} \geqslant 1$

Hay là chứng minh bất đẳng thức: $\dfrac{2a^2}{(6b^2-4b+1)+(6c^2-4c+1)}\geqslant \dfrac{a^2}{6a^2-4a+1}$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo $(\star)$