Chủ đề này có 166 trả lời

[kytrieu]

 

tìm min của

$C=\frac{X^{2}+4X+4}{X}$

với x>0

 

ta có:

$\frac{x^{2}+4x+4}{x}=4+x+\frac{4}{x}$$\geq 8$

Min$\frac{x^{2}+4x+4}{x}$ =8

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kytrieu: 23-07-2017 - 08:09

[trinhhoangdung123456]

       Cho các số thực dương a, b,c. Chứng minh rằng :

               $\frac{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{abc}+\frac{9(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geqslant 33$

[LeCong Quoc Huy 8a 2002]

cho a,b >0 thõa mãn a+b=1

CMR: $\left ( 1+\frac{1}{a} \right )\left ( 1+\frac{1}{b} \right )\geq 9$

[trieutuyennham]

cho a,b >0 thõa mãn a+b=1

CMR: $\left ( 1+\frac{1}{a} \right )\left ( 1+\frac{1}{b} \right )\geq 9$

ta có

$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\geq 1+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{(a+b)^{2}}=9$

[HoangKhanh2002]

       Cho các số thực dương a, b,c. Chứng minh rằng :

               $\frac{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{abc}+\frac{9(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geqslant 33$

Dùng S.O.S như sau:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\dfrac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}-6+\dfrac{9(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}-27\geqslant 0\\ \iff \dfrac{2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{abc}+\dfrac{18(ab+bc+ca-a^2-b^2-c^2)}{a^2+b^2+c^2}\geqslant 0\\\iff \left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right ]\left ( \dfrac{a+b+c}{abc}-\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2} \right )\geqslant 0$

Mà: $\dfrac{a+b+c}{abc}-\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}-\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2}\\\geqslant \dfrac{9}{ab+bc+ca}-\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2}\geqslant 0$

Do đó: $\implies Q.E.D$

[nhuleynguyen]

$A=(x^2-2014x)^2+4026x^2-8108364x+4054183.$

Với giá trị nào của x thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

[Dragon Knight]

Bài 20 :

Bài 20: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để có bất đẳng thức: (a2+b2+c2)2≤n(a4+b4+c4)

Có: $\left ( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right ) = a^{4} + b^{4} + c^{4} + 2a^{2}b^{^{2}} + 2b^{2}c^{2} + 2c^{2}a^{2}$

Áp dụng BĐT Cauchy :

$2a^{4} + 2b^{4} + 2c^{4} \geq 2a^{2}b^{2} + 2b^{2}c^{2} + 2c^{2}a^{2}$

Suy ra để BĐT đúng thì n >= 3

Vậy n min = 3

[honglien]

Cho a,b,c là hai số không âm thỏa mãn:a+b=ab.Cmr:

$\frac{1}{a^{2}+2a}+\frac{1}{b^{2}+2b}+\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})}\geq \frac{21}{4}$

[honglien]

Cho $0\leq a,b,c\leq 3$ và a+b+c=4.Cmr:$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 10$

[trieutuyennham]

Cho $0\leq a,b,c\leq 3$ và a+b+c=4.Cmr:$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 10$

BĐT $\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 3$

Không giảm tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow \frac{4}{3}\leq a\leq 3$

Ta có $ab+bc+ca=bc+a(b+c)=bc+a(4-a)=bc+3+(a-1)(3-a)\geq 3$

suy ra đpcm

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c)=(3,1,0)$ và các hoán vị

[trieutuyennham]

Cho a,b,c là hai số không âm thỏa mãn:a+b=ab.Cmr:

$\frac{1}{a^{2}+2a}+\frac{1}{b^{2}+2b}+\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})}\geq \frac{21}{4}$

Từ gt $\Rightarrow a+b\geq 4$

Ta có

$VT\geq \frac{4}{a^{2}+b^{2}+2(a+b)}+1+ab=\frac{4}{(a+b)^{2}}+1+b+a=\frac{4}{(a+b)^{2}}+\frac{a+b}{16}+\frac{a+b}{16}+\frac{7}{8}(a+b)+1\geq \frac{21}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trieutuyennham: 08-11-2017 - 17:37

[eLcouQTai]

Cho a,b>0. tim GTNN cua P=$\frac{a^{2}+b^{2}+3ab}{\sqrt{ab}(a+b)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eLcouQTai: 04-11-2017 - 15:20

[kekkei]

Cho a,b>0. tim GTNN cua P=$\frac{a^{2}+b^{2}+3ab}{\sqrt{ab}(a+b)}$

$\frac{a^2+3ab+b^2}{(a+b)\sqrt{ab}}=\frac{(a+b)^2+ab}{(a+b)\sqrt{ab}}=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=(\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b})+\frac{3(a+b)}{4\sqrt{ab}}\geqslant 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b$

[kekkei]

$A=(x^2-2014x)^2+4026x^2-8108364x+4054183.$

Với giá trị nào của x thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

$A=(x^2-2014x)^2+4026(x^2-2014x)+4054183=(x^2-2014x+2013)^2+2014\geqslant 2014$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi$x=1 or x=2013$

[kekkei]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:

$$\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{9}{4}$$

 Từ điều kiện, ta đặt $x=tan\alpha ;y=tan\beta ;z=tan\gamma$

Khi đó:

$\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}=\frac{2}{\sqrt{1+tan^2\alpha }}+\frac{1}{\sqrt{1+tan^2\beta }}+\frac{1}{\sqrt{1+tan^2\gamma }}=2cos\alpha +cos\beta +cos\gamma$=tan\gamma$

$(\alpha ,\beta ,\gamma \in (0;\frac{\pi}{2}),\alpha +\beta +\gamma =\pi)$

Dễ thấy$2cos\alpha +cos\beta +cos\gamma \leqslant \frac{9}{4}\Leftrightarrow -4(sin^2(\frac{\alpha }{2})-\frac{1}{4})^2+\frac{9}{4}\leqslant \frac{9}{4}$

Dấu "=":

$(x,y,z)=(\frac{\sqrt{15}}{7};\sqrt{15};\sqrt{15})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kekkei: 05-11-2017 - 07:43

[kekkei]

Cho $x+y+z=3$. Tìm min $P=x^2+y^2+2z^2+2xyz$

điều kiện của x,y,z ?

[honglien]

Cho  $a,b,c\geq 0$ Cmr: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2ab+2bc+2ac$

[trieutuyennham]

Cho  $a,b,c\geq 0$ Cmr: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2ab+2bc+2ac$

Tại đây

https://diendantoanh...-đẳng-thức-phụ/

bđt 15

[nguyentiendat140603]

Giúp tôi giải quyết bài toán này! Xin cảm ơn rất nhiều!

[toanhoc2017]

Cho a,b,c không âm và thỏa a+b+c=1 .Chứng minh rằng 0 <= ab+bc+ca-2abc<=7/27