Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[CHUYÊN ĐỀ] CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 166 trả lời

#1 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 03-07-2015 - 09:09

 Chứng minh bất đẳng thức là một trong những loại toán gây khó khăn cho học sinh THCS. Sau đây mình xin giới thiệu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và các ví dụ có liên quan đến căn thức. Mong rằng các bạn sẽ ủng hộ

 

I - PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

 

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

                                $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}<\sqrt{\frac{a+b}{2}}$     với $a>0;b>0; a\neq b$      (1)

Giải

 

$(1)\Leftrightarrow \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}<\frac{a+b}{2}$

$\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}<2a+2b$

$\Leftrightarrow 0

$0<(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$                     (2)

Do $a\neq b$ nên bất đẳng thức (2) đúng, vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.

 

Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức

                      $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$                       (1)

Giải

 

$(1)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq a^{2}+c^{2}+2ac+b^{2}+d^{2}+2bd$

$\Leftrightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq ac+bd$

Nếu ac + bd < 0 thì (2) được chứng minh

Nếu $ac+bd\geq 0$ thì (2) tương đương

                        $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+2abcd$

                        $(ad-bc)^{2}\geq 0$                 (3)

Bất đẳng thức (3) đúng, vậy đẳng thức (1) được chứng minh.

 

II - PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI, LÀM GIẢM

 

Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau với $n\in \mathbb{N},n\geq 2$

                  $2\sqrt{n}-3<\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2$

Giải

 

Đặt $A=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}$

a) Chứng minh $A>2\sqrt{n}-3$ bằng cách làm giảm mỗi số hạng của A

$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$   với mọi $k\in$ N*

Do đó $A>2[(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})+...+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})]=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{2})=2\sqrt{n+1}-2\sqrt{2}>2\sqrt{n+1}-3>2\sqrt{n}-3.$

b) Chứng minh $A<2\sqrt{n}-2$ bằng cách làm trội mối số hạng của A

$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$   với mọi $k\in$ N*

Do đó $A<2[(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})]+...+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{2}-\sqrt{1})=2(\sqrt{n}-\sqrt{1})=2\sqrt{n}-2$

 

III - PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ BIẾT

 

Ta nhắc lại ở đây ba bất đẳng thứ quan trọng

 

1. Tổng của hai số nghịch đảo nhau

                          $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$ với x, y là hai số cùng dấu

 

2. Bất đẳng thức Cô-si 

 

Cho a, b, c là các số không âm. Khi đó:

                                             $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

                                             $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

 

Tổng quát: Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc trung bình nhân của chúng

$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}$ với $a_{1}, a_{2},..., a_{n}$ là các số không âm.

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  $a_{1}= a_{2}=...= a_{n}$

 

3. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki 

 Cho hai bộ số a, b, c và x, y, z. Khi đó:

                                      $(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})\geq (ax+by)^{2}$

                                 $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (ã+by+cz)^{2}$

 

Tổng quát: Có hai bộ n số: $(a_{1}, a_{2},..., a_{n})$ và $(b_{1}, b_{2},..., b_{n})$.Tích của tổng các bình phương n số của bộ số này và tổng các bình phương n số của bộ số kia lớn hơn hoặc bằng bình phương của tổng n tích hai số tương ứng của hai bộ số đó.

 

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}+b_{n})^{2}$

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ và  $(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ là hai bộ số tỉ lệ với nhau tức là $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0.

 

Chứng minh

Đặt $A=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2},B=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2},C=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}$. Cần chứng minh $AB\geq C^{2}$

 

Nếu A = 0 thì $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$, bất đẳng thức được chứng minh. Cũng vậy nếu B = 0. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp A và B khác 0

Với mọi x ta có:

$(a_{1}x-b_{1})^{2}\geq 0\Rightarrow a_{1}^{2}x^{2}-2a_{1}b_{1}x+b_{1}^{2}\geq 0$

$(a_{2}x-b_{2})^{2}\geq 0\Rightarrow a_{2}^{2}x^{2}-2a_{2}b_{2}x+b_{2}^{2}\geq 0$

...

$(a_{n}x-b_{n})^{2}\geq 0\Rightarrow a_{n}^{2}x^{2}-2a_{n}b_{n}x+b_{n}^{2}\geq 0$

Cộng từng vế n bất đẳng thức trên được 

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})x^{2}-2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})x+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq 0$

tức là                                               $Ax^{2}-2Cx+B\geq 0$                               (1)

Vì (1) đúng với mọi x nên thay $x=\frac{C}{A}$vào (1) ta được

 $A.\frac{C^{2}}{A^{2}}-2.\frac{C^{2}}{A}+B\geq 0\Rightarrow B-\frac{C^{2}}{A}\geq 0\Rightarrow AB-C^{2}\geq 0\Rightarrow AB\geq C$

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi $a_{1}x=b_{1},a_{2}x=b_{2},...,a_{n}x=b_{n}$ tức là $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0

 

Ví dụ 4: Co a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:

                                    $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{b}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

Giải

Cách 1. Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

                $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=2.\frac{a}{2}=a$

 Suy ra  $\frac{a^{2}}{b+c}\geq a-\frac{b+c}{4}$

Tương tự $\frac{b^{2}}{a+c}\geq b-\frac{a+c}{4}$; $\frac{c^{2}}{a+b}\geq c-\frac{a+b}{4}$

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức ta được

 $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{b}}{a+b}\geq (a+b+c)-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}$

Cách 2. Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có

 $\left [ \left ( \frac{a}{\sqrt{b+c}} \right )^{2} + \left (\frac{b}{\sqrt{a+c}} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{\sqrt{a+b}} \right )^{2}\right ].[(\sqrt{b+c})^{2}+(\sqrt{a+c})^{2}+(\sqrt{a+b})^{2}]$

$\geq \left ( \frac{a}{\sqrt{b+c}}.\sqrt{b+c}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}.\sqrt{a+c}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}.\sqrt{a+b} \right )^{2}$

$\Rightarrow \left ( \frac{a^{2}}{b+c} +\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\right )[2(a+b+c)]\geq (a+b+c)^{2}$

$\Rightarrow$ $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{b}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số không âm và a + b + c = 1. Chứng minh:

$a) \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5$

$b)\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$

 

Giải

 a) .Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

                              $\sqrt{a+1}=\sqrt{1(a+1)}\leq \frac{(a+1)+1}{2}=\frac{a}{2}+1$

Tương tự :  $\sqrt{b+1} \leq \frac{b}{2}+1$; $\sqrt{c+1} \leq \frac{c}{2}+1$

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được

        $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\leq\frac{a+b+c}{2}+3=3,5$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a + 1 = b + 1 = c + 1 = 1 $\Leftrightarrow$  a = b = c = 0, Trái với giả thiết a + b + c = 1

 Vậy $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5$

b) 

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, có:

$(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{2}\leq 3(a+b+b+c+c+a)=3.2=6$

$\Rightarrow $ $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$

 

IV - PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG

 

Ví dụ 6. Cho a + b = 2. Chứng minh rằng

                                             $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\leq 2$

Giải

Đặt $\sqrt[3]{a}=m$; $\sqrt[3]{b}=n$. Ta có $m^{3}+n^{3}\leq 2$

Cần chứng minh $m+n\leq 2$

Giả sử m + n > 2 thì 

  $(m+n)^{3}>8\Rightarrow m^{3}+n^{3}+3mn(m+n)>8\Rightarrow 2+3mn(m+n)>8\Rightarrow mn(m+n)>2\Rightarrow mn(m+n)>m^{3}+n^{3}$

Chia hai vế cho số dương m + n ta có

              $mn>m^{2}-mn+n^{2}\Rightarrow 0>(m-n)^{2}$    (vô lí)

Vậy $m+n\leq 2$

 

V - PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

 

Ví dụ 7. Chứng minh rằng $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$

 

Giải

Hiển nhiên mệnh đề dúng với n = 2

Giả sử mệnh đề đúng với n = k. Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1

Giả sử $a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{k}\leq a_{k+1}$ thì $a_{k+1}\geq \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}{k}$

Đặt $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}{k}=x$ thì $x\geq 0$, ta có $a_{k+1} =x+y$ với $y\geq0$ và 

$x^{k}\geq a_{1}a_{2}...a_{k}$ (do giả thiết quy nạp). Ta có:

$\left ( \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}+a_{k+1}}{k+1} \right )^{k+1}=\left ( \frac{kx+x+y}{k+1} \right )^{k+1}=\left ( x+\frac{y}{k+1} \right )^{k+1}\geq x^{k+1}+(k+1).\frac{y}{k+1}.x^{k}=x^{k+1}+x^{k}y=k^{k}(x+y)\geq a_{1}a_{2}...a_{k}a_{k+1}$

Suy ra  $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}+a_{k+1}}{k+1}\geq \sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}...a_{k+1}}$

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên $n\geq 2$

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi $a_{1}=a_{2}=...a_{n}$


"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#2 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 03-07-2015 - 09:09

Trên đây là một số bài tập áp dụng để các bạn cùng thảo luận!

 

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

 

$a)x^{2}+x\sqrt{2}+1>0$

$b)\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}<2\sqrt{a}$ với a > b > 0

 

Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

 

$a)(x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

$b)a^{3}+b^{3}+abc\geq ab(a+b+c)$ với các số dương a, b, c

 

Bài 3. Cho $a=\sqrt{2004}-\sqrt{2003},b=\sqrt{2005}-\sqrt{2004}$

So sánh a và b

 

Bài 4. Cho $A=\frac{1}{\sqrt{1.1999}}+\frac{1}{\sqrt{2.1998}}+\frac{1}{\sqrt{3.1997}}+...+\frac{1}{\sqrt{1999.1}}$

CMR: A > 1.999

 

Bài 5: Chứng minh với mọi số nguyên dương n:

 

$a)\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}<1$

$b) \frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2$

 

Bài 6: Chứng minh với mọi số tự nhiên $n\geq 2$ đều có

            $\sqrt{n}<\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}$

 

Bài 7: Cho 25 số tự nhiên  $a_{1},a_{2},...,a_{25}$ thỏa mã điều kiện

               $\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}=9$ 

Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau

 

Bài 8: Chứng minh với mọi số nguyên dương n

          $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\leq n\sqrt{\frac{n+1}{2}}$

 

Bài 9: Cho $a=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1+2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{3+4}+...+\frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{24+25}$

Chứng minh rằng $a<\frac{2}{5}$

 

Bài 10: Cho $A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2n-1}{2n}$         $(n\in N, n\geq 2)$

Chứng minh rằng 

$a) A<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

$b) A<\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$

 

Còn nhiều lắm nhưng cứ làm hết thế này đã nhé!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanhnguyen10: 03-07-2015 - 09:40

"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#3 O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Làm BĐT, Hình học phẳng, Tổ hợp

Đã gửi 03-07-2015 - 18:46

Trên đây là một số bài tập áp dụng để các bạn cùng thảo luận!

 

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

 

$a)x^{2}+x\sqrt{2}+1>0$

$b)\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}<2\sqrt{a}$ với a > b > 0

 

Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

 

$a)(x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

$b)a^{3}+b^{3}+abc\geq ab(a+b+c)$ với các số dương a, b, c

 

Bài 3. Cho $a=\sqrt{2004}-\sqrt{2003},b=\sqrt{2005}-\sqrt{2004}$

So sánh a và b

 

 

Bài $1:$ $a) x^{2}+x\sqrt{2}+1=(x+\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}+\frac{1}{2}>0$.

              $b)$ Do $a>b>0$ nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})^{2}<4a\Leftrightarrow 2a+2\sqrt{a+b}.\sqrt{a-b}<4a\Leftrightarrow a>\sqrt{a^{2}-b^{2}}\Leftrightarrow a^{2}>a^{2}-b^{2}\Leftrightarrow b^{2}>0$ (Luôn đúng). Bất đẳng thức được chứng minh.

Bài $2:$ $a) (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\geq 0\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+zx)\Leftrightarrow (x+y+z)^{2}\geq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$.

              $b) a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+abc\geq a^{2}b+ab^{2}+abc=ab(a+b+c)$.

Bài $3:$ Đặt $2004=x$.

$a=\sqrt{x}-\sqrt{x-1},b=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\Leftrightarrow a-b=2\sqrt{x}-(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})$

$(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^{2}< (x+1+x-1)(1+1)=4x\Leftrightarrow 2\sqrt{x}>\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\Leftrightarrow a-b>0\Leftrightarrow a>b$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-07-2015 - 08:21

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#4 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 03-07-2015 - 19:01

Câu 10: Ta chứng minh bằng cách làm trội mỗi phân số của A bằng cách sử dụng BĐT

$\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}$

Khi đó $A<\frac{2}{3}.\frac{4}{5}...\frac{2n}{2n+1}$

Do đó: $A^2<(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2n-1}{2n}).(\frac{2}{3}.\frac{4}{5}...\frac{2n}{2n+1})=\frac{1}{2n+1}$

=> ĐPCM


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#5 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 03-07-2015 - 20:02

Bài 4. Cho $A=\frac{1}{\sqrt{1.1999}}+\frac{1}{\sqrt{2.1998}}+\frac{1}{\sqrt{3.1997}}+...+\frac{1}{\sqrt{1999.1}}$

CMR: A > 1.999

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{\sqrt{ab}}>\frac{2}{a+b}$ với a; b > 0 ta có

$\frac{1}{\sqrt{1.1999}}>\frac{2}{2000}=0,001$

$\frac{1}{\sqrt{2.1998}}>\frac{2}{2000}=0,001$

...

$\frac{1}{\sqrt{1999.1}}>\frac{2}{2000}=0,001$

Cộng theo từng vế của các bđt ta có

$\frac{1}{\sqrt{1.1999}}+\frac{1}{\sqrt{2.1998}}+\frac{1}{\sqrt{3.1997}}+...+\frac{1}{\sqrt{1999.1}}>1,999$

Hay A > 1,999 (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanhnguyen10: 03-07-2015 - 20:04

"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#6 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 04-07-2015 - 08:21

 

Bài 5: Chứng minh với mọi số nguyên dương n:

 

$a)\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}<1$

$b) \frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2$

 

a) Ta có: $\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

Tương tự ta có: $\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}$

                          $\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$

                          $\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}$

                          ...

Cộng theo từng vế ta có:

$\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}< 1$         (đpcm)

b) Ta có $\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n(n+1)}=\sqrt{n}\left ( \frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \right )=\left ( 1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \right )<2\left ( \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \right )$

Đến đây thì tương tự câu a)


"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#7 O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Làm BĐT, Hình học phẳng, Tổ hợp

Đã gửi 04-07-2015 - 12:17

Bài 8: Chứng minh với mọi số nguyên dương n

          $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\leq n\sqrt{\frac{n+1}{2}}$

Bài $8:$ Case 1: Với $n$ chẵn thì áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2}.\sqrt{a+b}$, ta có:

$\sqrt{1}+\sqrt{n}\leq \sqrt{2}.\sqrt{n+1}$,

$\sqrt{2}+\sqrt{n-1}\leq \sqrt{2}.\sqrt{n+1}$

...

$\sqrt{\frac{n}{2}}+\sqrt{\frac{n}{2}+1}\leq \sqrt{2}.\sqrt{n+1}$

Cộng vế với vế thu được:

$LHS\leq \frac{n}{2}.\sqrt{2}.\sqrt{n+1}=n.\sqrt{\frac{n+1}{2}}$.(Đpcm).

Case 2: Với $n$ lẻ thì làm tương tự.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 04-07-2015 - 12:24

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#8 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 05-07-2015 - 08:30

 

Bài 7: Cho 25 số tự nhiên  $a_{1},a_{2},...,a_{25}$ thỏa mã điều kiện

               $\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}=9$ 

Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau

 

Giả sử $a_{1}<a_{2}<...<a_{25}$

$\Rightarrow a_{1}\geq 1,a_{2}\geq 2;...,a_{25}\geq 25$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}\leq \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{25}}$

Dễ dàng chứng minh được $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{25}}<2\sqrt{25}-1=9$

Suy ra trái với giả thiết $\Rightarrow$ đpcm


"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#9 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 12-07-2015 - 09:27

 

Bài 9: Cho $a=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1+2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{3+4}+...+\frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{24+25}$

Chứng minh rằng $a<\frac{2}{5}$

 

Dễ dàng chứng minh được $a\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{24}}-\frac{1}{\sqrt{25}} \right )=\frac{2}{5}$


"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#10 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 12-07-2015 - 09:40

Bài 6: Chứng minh với mọi số tự nhiên $n\geq 2$ đều có

            $\sqrt{n}<\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}$

Đặt $a=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}$

Ta có $\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}>...>\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{n}$

Nên $a<n.\frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}$

Ta có $\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

Nên $a<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}+...+\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{1}-\sqrt{0})=2\sqrt{n}$


"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#11 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 12-07-2015 - 09:59

Các bạn bàn luận không được sôi nổi lắm nhỉ! Tiếp nhé!

 

Bài 11: Với các số dương a, b, c, d. CMR:

                    

                              $\sqrt{(a+b)(c+d)}\geq \sqrt{ac}+\sqrt{bd}$

 

Bài 12: Chứng minh các bđt sau với các số dương a, b, c, d:

 

a) $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

b) $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+d}+\frac{d^{2}}{d+a}\geq \frac{a+b+c+d}{2}$

 

Bài 13: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. CMR:

 

     $\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}<\sqrt{3}(a+b+c)$

 

Bài 14: Với các số a, b không âm. CMR:

 

                      $\frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{2}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$

 

Bài 15: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

 

                    $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$

 

Bài 16: Cho các số dương a, b, c, d. CMR:

 

                  $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$

 

Bài 17: Chứng minh bất đẳng thức:

        

                                   $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4\geq 3\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )$

 

Bài 18: Với a > b > 0. Chứng minh bất đẳng thức:

         

                      $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}<\frac{(a-b)^{2}}{8b}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanhnguyen10: 12-07-2015 - 10:00

"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#12 honmacarong100

honmacarong100

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trực
  • Sở thích:Bất đẳng thức, khoa học tự nhiên, toán học,...

Đã gửi 12-07-2015 - 16:03

 

Bài 16: Cho các số dương a, b, c, d. CMR:

 

                  $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$

 

 Cách này hay nhá!! Độc luôn  >:)  >:)  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
Đặt $A= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}; M= \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}; N= \frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b} \Rightarrow M+N= \frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}+\frac{a+b}{a+b}=1+1+1+1=4$
Ta có: $A+M= \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}$
Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho 4 số không âm:
$\Rightarrow A+M= \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b} \geq 4\sqrt[4]{\frac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}{(b+c)(c+d)(d+a)(a+b)}} \Leftrightarrow A+M \geq 4$
Chứng minh tương tự: $A+N \geq 4 \Rightarrow 2A+M+N\geq 8 \Leftrightarrow 2A \geq 4(Do M+N=4)\Leftrightarrow A \geq 2$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d$


  :ukliam2:  Chúa không chơi trò xúc xắc  :ukliam2:

             God doesn't play die

                             -Albert Einstein-                 

 


#13 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 12-07-2015 - 17:01

Các bạn bàn luận không được sôi nổi lắm nhỉ! Tiếp nhé!

Bài 15: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

 

                    $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$

 

 
    Giải: 
Ta chứng minh được bài toán nhỏ :$\sqrt{\frac{a}{b+c}}$ $\geq$ $\frac{2a}{a+b+c}$ (1)
Thật vậy (1) $\Leftrightarrow$ $\sqrt{a}$(a+b+c) $\geq$ 2a$\sqrt{b+c}$ 
a,b,c $\geq$ 0 $\Rightarrow$ a+b+c$\geq$2$\sqrt{a}$$\sqrt{b+c}$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{\frac{a}{b+c}}$ $\geq$ $\frac{2a}{a+b+c}$ 
Vậy (1) đã được chứng minh 
tương tự $\sqrt{\frac{b}{a+c}}$ $\geq$ $\frac{2b}{a+b+c}$(2)
         $\sqrt{\frac{c}{a+b}}$ $\geq$ $\frac{2c}{a+b+c}$ (3)
Cộng 3 vế (1)(2)(3)$\Leftrightarrow$ $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$ $\geq$ 2
Dấu = xảy ra  $\Leftrightarrow$ a=b+c và b=c+a và c=a+b  $\Leftrightarrow$ a+b+c=0 trái với giả thiết a,b,c dương 
vậy $\sqrt{\frac{a}{b+c}}$+$\sqrt{\frac{b}{a+c}}$+$\sqrt{\frac{c}{a+b}}$ >2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 12-07-2015 - 17:07


#14 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 13-07-2015 - 19:25

Các bạn bàn luận không được sôi nổi lắm nhỉ! Tiếp nhé!

 

Bài 11: Với các số dương a, b, c, d. CMR:

                    

                              $\sqrt{(a+b)(c+d)}\geq \sqrt{ac}+\sqrt{bd}$

 

Bài 12: Chứng minh các bđt sau với các số dương a, b, c, d:

 

a) $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

b) $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+d}+\frac{d^{2}}{d+a}\geq \frac{a+b+c+d}{2}$

 

Bài 11:$\sqrt{(a+b)(c+d)}\geq \sqrt{ac}+\sqrt{bd}\Leftrightarrow (\sqrt{(a+b)(c+d)})^{2}\geq (\sqrt{ac}+\sqrt{bd})^{2}\Leftrightarrow (ac+ad+bc+bd)\geq (ac+2\sqrt{abcd}+bd)\Leftrightarrow (\sqrt{ad}-\sqrt{bc})^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Bất đẳng thức đã được cm

Bài 12: Áp dụng bất đẳng thức Schwarzt ta có 

a)$\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2} (đpcm)$

b)$\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+d}+\frac{d^{2}}{d+a}\geq\frac{(a+b+c+d)^{2}}{2(a+b+c+d)}=\frac{a+b+c+d}{2}$ (đpcm)



#15 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 13-07-2015 - 22:07

Các bạn bàn luận không được sôi nổi lắm nhỉ! Tiếp nhé!

 

Bài 13: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. CMR:

 

     $\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}<\sqrt{3}(a+b+c)$

 

Bài 14: Với các số a, b không âm. CMR:

 

                      $\frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{2}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$

 

 

Bài 18: Với a > b > 0. Chứng minh bất đẳng thức:

         

                      $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}<\frac{(a-b)^{2}}{8b}$

Bài 13:

Ta có $\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geq \sqrt{\frac{(a+b)^{2}}{2}}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}\rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{a+b+b+c+c+a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}(a+b+c)$

Bài 14:

$\frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{2}=\frac{a+b}{2}(\frac{a+b}{2}+1)=\frac{a+b}{2}(\frac{a+1}{2}+\frac{b+1}{2})\geq \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a\sqrt{b}+b\sqrt{a}(đpcm)$

Bài 18: $\Leftrightarrow \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}< \frac{(a-b)^{2}}{8b}\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}< \frac{(a-b)^{2}}{4b}\Leftrightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b}< \frac{a-b}{2\sqrt{b}}\Leftrightarrow 2\sqrt{ab}-2b< a-b\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức đã được cm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 13-07-2015 - 22:14


#16 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 14-07-2015 - 07:28

Bài 17: Chứng minh bất đẳng thức:

        

                                   $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4\geq 3\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )$

Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a \Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+2=a^{2}$

Theo bđt Côsi $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\geq 2\sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}}.\frac{y^{2}}{x^{2}}}=2\Rightarrow a^{2}\geq 4\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq 2 & \\ a\leq -2 & \end{matrix}\right.(1)$

Bđt phải CM tương đương

             $a^{2}-2+4\geq 3a\Leftrightarrow a^{2}-3a+2\geq 0\Leftrightarrow (a-1)(a-2)\geq 0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq 2 & & \\ a\leq 1 & & \end{matrix}\right.(2)$ 

Từ (1) và (2) suy ra đpcm


"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#17 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 14-07-2015 - 07:40

Bài 19: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}<0,01$

 

Bài 20: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để có bất đẳng thức: $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\leq n(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

 

Bài 21: Chứng minh bđt Côsi với a, b, c không âm: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

 

Bài 22: Cho các số dương a, b, c, d. Biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$

 

Chứng minh rằng $abcd\leq \frac{1}{81}$

 

Bài 23: Chứng minh bất đẳng thức với các số dương x; y; z

 

                $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$

 

Bài 24: Cho $x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1$. CMR: $x^{2}+y^{2}=1$

 

Bài 25: Cho $a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}},b=2\sqrt[3]{3}$. CMR a<b


"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#18 Truong Gia Bao

Truong Gia Bao

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 511 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Vùng đất linh hồn
  • Sở thích:Đọc truyện, xem phim, xúc xích và TOÁN HỌC!

Đã gửi 14-07-2015 - 07:48

Bài 24: Cho $x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1$. CMR: $x^{2}+y^{2}=1$

Áp dụng Cauchy Schwarz: $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\leq \sqrt{(x^2+1-x^2)(1-y^2+y^2)}=1$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x^2+y^2=1$ (đpcm)


"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."

#19 Truong Gia Bao

Truong Gia Bao

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 511 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Vùng đất linh hồn
  • Sở thích:Đọc truyện, xem phim, xúc xích và TOÁN HỌC!

Đã gửi 14-07-2015 - 07:56

Bài 23: Chứng minh bất đẳng thức với các số dương x; y; z

 

                $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương: $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^2y^2z^2}{y^2z^2x^2}}=3$

Áp dụng Cauchy Schwarz: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\leq \sqrt{(1+1+1)(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2})}=\sqrt{3(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2})}\leq \sqrt{(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2})^2}=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2} \square$


"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."

#20 Truong Gia Bao

Truong Gia Bao

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 511 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Vùng đất linh hồn
  • Sở thích:Đọc truyện, xem phim, xúc xích và TOÁN HỌC!

Đã gửi 14-07-2015 - 08:13

Bài 21: Chứng minh bđt Côsi với a, b, c không âm: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

 Đặt $\sqrt[3]{a}=x; \sqrt[3]{b}=y;\sqrt[3]{c}=z$

BĐT cần chứng minh trở thành: $x^3+y^3+z^3\geq 3xyz\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2)-3xy(x+y+z)\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z)\left [ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \right ]\geq 0$

(Luôn đúng với $x,y,z$ không âm)

 

P/s: Mình nghĩ đề bài bài 22 sai, hình như giả thiết phải là $\sum \frac{1}{1+a}\geq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Truong Gia Bao: 14-07-2015 - 08:24

"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh