Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[CHUYÊN ĐỀ] CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 166 trả lời

#21 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 14-07-2015 - 08:58

 Đặt $\sqrt[3]{a}=x; \sqrt[3]{b}=y;\sqrt[3]{c}=z$

BĐT cần chứng minh trở thành: $x^3+y^3+z^3\geq 3xyz\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2)-3xy(x+y+z)\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z)\left [ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \right ]\geq 0$

(Luôn đúng với $x,y,z$ không âm)

 

P/s: Mình nghĩ đề bài bài 22 sai, hình như giả thiết phải là $\sum \frac{1}{1+a}\geq 3$

Mình thấy giả thiết đúng rồi đó, cách giải như thế này:

Ta sẽ đặt:

$x=\frac{a}{1+a};y=\frac{b}{1+b};z=\frac{c}{1+c};t=\frac{d}{1+d}$

Khi đó rút a theo x, b theo y, c theo z, d theo t, ta được bài toán mới:

Cho $x+y+z+t\leq 1$ Chứng minh rằng:

$\frac{xyzt}{(1-x)(1-y)(1-z)(1-t)}\leq \frac{1}{81}$

$<=>81xyzt\leq (1-x)(1-y)(1-z)(1-t)$

Lại có:$x+y+z+t\leq 1=>\prod (1-x)\geq \prod (y+z+t)$

Đến đây áp dụng AM-GM cho vế phải suy ra điều phải chứng minh

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 14-07-2015 - 09:05

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#22 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 14-07-2015 - 09:02

 

 

BÀI 21

 

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} x^3=a & & & \\ y^3=b & & & \\ z^3=c & & & \end{matrix}\right. (x,y,z>0)$

AM-GM cho 2 số:

$x^3+y^3+z^3+xyz\geq 2\sqrt{x^3y^3}+2\sqrt{xyz^4}\geq 4\sqrt{\sqrt{x^4y^4z^4}}=4xyz\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\geq 3xyz\Leftrightarrow a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 14-07-2015 - 09:41


#23 Truong Gia Bao

Truong Gia Bao

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 511 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Vùng đất linh hồn
  • Sở thích:Đọc truyện, xem phim, xúc xích và TOÁN HỌC!

Đã gửi 14-07-2015 - 09:05

Ta phải tìm $n$ thỏa mãn:$n\geq \frac{(a^4+b^4+c^4)}{(a^2+b^2+c^2)^2}\geq \frac{(a^4+b^4+c^4)}{3(a^4+b^4+c^4)}=\frac{1}{3}\rightarrow n_{Min}=1/3$

Có nhầm không í nhỉ? Hình như bạn đổi tử cho mẫu mới đúng, mà như thế không ra được min $n$. Theo BĐT Cauchy Schwarz thì $n=3$ mà đúng không?


"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."

#24 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 14-07-2015 - 09:10

$(23)\frac{x}{y}=a;...\Rightarrow abc=1.Prove:a^2+b^2+c^2\geqslant a+b+c;have:\sum a^2+2abc+1\geqslant 2\sum a\Leftrightarrow \sum a^2\geqslant \sum a+\sum a-3\geqslant \sum a$


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#25 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 14-07-2015 - 09:10

 

Bài 22: Cho các số dương a, b, c, d. Biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$

 

Chứng minh rằng $abcd\leq \frac{1}{81}$

 

$\sum \frac{a}{1+a}\leq 1\Leftrightarrow 1-\frac{a}{1+a}\geq \sum \frac{b}{1+b}\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}\geq \frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(b+1)(c+1)(d+1)}}$

CMTT:$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{acd}{(a+1)(c+1)(d+1)}} & & & \\ \frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abd}{(a+1)(b+1)(c+1)}} & & & \\ \frac{1}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}} & & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}\geq \frac{81abcd}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}\Rightarrow abcd\leq \frac{1}{81}$



#26 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 14-07-2015 - 09:16

$(23)\frac{x}{y}=a;...\Rightarrow abc=1.Prove:a^2+b^2+c^2\geqslant a+b+c;have:\sum a^2+2abc+1\geqslant 2\sum a\Leftrightarrow \sum a^2\geqslant \sum a+\sum a-3\geqslant \sum a$

Bài này có cách khác:$3(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2})\geq (\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^2\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})$

=> ĐPCM


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#27 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 14-07-2015 - 09:21

Bài 20 sẽ thử lần lượt:

Với n=0 hoặc n=1 dễ thấy BĐT sai :D

Với n=2 thì BĐT trở thành: $2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\leq a^4+b^4+c^4$

Dễ thấy với $a^2,b^2,c^2$ là độ dài 3 cạnh tam giác thì BĐT sai

Ta sẽ chứng minh n=3

Thật vậy: BĐT tương đương:

$3(a^4+b^4+c^4)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

$<=>a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

P/s: Chú ý giả thiết n là số tự nhiên nhỏ nhất


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 14-07-2015 - 09:24

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#28 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 14-07-2015 - 15:49

Bài 26: Chứng minh $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}<2$      (vế trái có 100 dấu căn)

 

Bài 27: Chứng minh $\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}>\frac{1}{4}$

(tử có 100 dấu căn, mẫu có 99 dấu căn)

 

Bài 28: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta luôn có $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}<3$

 

Bài 29: Chứng minh rằng trong các số có dạng $\sqrt[n]{n}$ (n là số tự nhiên, $n\geq 2$) số $\sqrt[3]{3}$ có giá trị lớn nhất

 

Bài 30: Cho hai dãy số sắp thứ tự: $a\geq b\geq c;x\leq y\leq z$

 

Chứng minh bất đẳng thức $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz)$

 

Bài 31: Tìm 20 chữ số thập phân của số $\sqrt{0,99...9}$      (20 chữ số 9)

 

Bài 32: Chứng minh rằng: $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq abc(a+b+c)$

 

Bài 33: Chứng minh rằng: $(a^{10}+b^{10})(a^{2}+b^{2})\geq (a^{8}+b^{8})(a^{4}+b^{4})$

 

Bài 34: Chứng minh rằng: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$

 

Bài 35: Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{a^{2}+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanhnguyen10: 14-07-2015 - 16:12

"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#29 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 14-07-2015 - 15:50

 

Bài 25: Cho $a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}},b=2\sqrt[3]{3}$. CMR a<b

 

 

Đặt $x=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}},y=\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}\Rightarrow x^{3}+y^{3}=6$             (1)

Xét hiệu $b^{3}-a^{3}=24-(x+y)^{3}=24-(x^{3}+y^{3})-3xy(x+y)$

Thay (1) vào ta được $24-(x^{3}+y^{3})=4(x^{3}+y^{3})-(x^{3}+y^{3})=3(x^{3}+y^{3})$

Do đó: $b^{3}-a^{3}=3(x^{3}+y^{3})-3xy(x+y)=3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}-xy)=3(x+y)(x-y)^{2}>0$

Suy ra ĐPCM


"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#30 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 14-07-2015 - 17:00

 Cách này hay nhá!! Độc luôn  >:)  >:)  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
Đặt $A= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}; M= \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}; N= \frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b} \Rightarrow M+N= \frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}+\frac{a+b}{a+b}=1+1+1+1=4$
Ta có: $A+M= \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}$
Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho 4 số không âm:
$\Rightarrow A+M= \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b} \geq 4\sqrt[4]{\frac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}{(b+c)(c+d)(d+a)(a+b)}} \Leftrightarrow A+M \geq 4$
Chứng minh tương tự: $A+N \geq 4 \Rightarrow 2A+M+N\geq 8 \Leftrightarrow 2A \geq 4(Do M+N=4)\Leftrightarrow A \geq 2$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d$

Mk có cách khác nè:

$\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a}=\frac{a^{2}+ad+bc+c^{2}}{(b+c)(a+d)}\geq \frac{4(a^{2}+ad+bc+c^{2})}{a+b+c+d}^{2}$     (1)

Tương tự $\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b}\geq \frac{4(b^{2}+ab+cd+d^{2})}{(a+b+c+d)^{2}}$             (2)

Cộng (1) và (2) được:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 4B$

Cần chứng minh $2B\geq 1\Leftrightarrow (a-c)^{2}+(b-d)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Suy ra đpcm


"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#31 HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp , Quảng Bình
  • Sở thích:đi phượt

Đã gửi 14-07-2015 - 18:01

Bài 26: Chứng minh $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}<2$      (vế trái có 100 dấu căn)

Bài 30: Cho hai dãy số sắp thứ tự: $a\geq b\geq c;x\leq y\leq z$

 

Chứng minh bất đẳng thức $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz)$

Bài 26:đặt $P=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

ta có $P< \sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2+2}}}}=2$

=>Đpcm

Bài 30: đây là bđt cheybyshev

c/m: $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz)\Leftrightarrow (y-x)(a-b)+(x-z)(c-a)+(z-y)(b-c)\geq 0$ (hiển nhiên đúng)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 14-07-2015 - 20:29

Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#32 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 14-07-2015 - 18:08

đặt $P=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

ta có $P< \sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2+2}}}}=2$

=>Đpcm

Cần nói rõ hơn một tí:

Ta có:$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}=A$

Khi đó: $A^2=2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}=2+A$

Do đó:$A^2-A-2=0<=>(A-2)(A+1)=0$

=> $A=2$

Từ đó suy ra ĐPCM

Bài 35: Áp dụng AM-GM ta cần chứng minh:

$\sum \frac{1}{2a\sqrt{bc}}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

Nhân $abc$ cho cả 2 vế thu được BĐT quen thuộc:

$\sum \sqrt{ab}\leq \sum a$


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#33 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 14-07-2015 - 18:14

Bài 31:Ta sẽ đặt: $0,999...9=a$

Ta sẽ chứng minh: $a<\sqrt{a}<1$

Thật vậy: Vì a<1 nên $a(a-1)<0$. Do đó $a^2<a$

Từ $a^2<a<1$ suy ra: $a<\sqrt{a}<1$

Do đó 20 chữ số đầu cần tìm là các chữ số 9 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 14-07-2015 - 18:21

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#34 HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp , Quảng Bình
  • Sở thích:đi phượt

Đã gửi 14-07-2015 - 18:14

bài 32: ta có $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{abc}=\sum \frac{a^{3}}{bc}$

áp dụng AM-GM ta có: $\frac{a^{3}}{bc}+b+c\geq 3a$

thiết lập các bđt khác ta được $\sum \frac{a^{3}}{bc}+2(a+b+c)\geq 3(a+b+c)\Leftrightarrow \sum \frac{a^{3}}{bc}\geq a+b+c$

=>đpcm


Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#35 HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp , Quảng Bình
  • Sở thích:đi phượt

Đã gửi 14-07-2015 - 18:21

bài 33: $a^{12}+b^{12}+a^{10}b^{2}+a^{2}b^{10}\geq a^{12}+b^{12}+a^{8}b^{4}+a^{4}b^{8}\Leftrightarrow a^{4}b^{2}(a^{6}-b^{6})-a^{2}b^{4}(a^{6}-b^{6})\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})(a^{6}-b^{6})\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(a+b)^{2}(a^{2}-ab+b^{2})(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0$

(hiển nhiên đúng)

=>dpcm


Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#36 ngocanhnguyen10

ngocanhnguyen10

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 14-07-2015 - 20:00

p/s: bài 27 đề bị sai :(

Đề bài 27 đúng đó bạn  -_-

 

Lời giải:

Gọi: $a_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$     (có n dấu căn)

Ta có: $a_{1}=\sqrt{2}<2$

           $a_{2}=\sqrt{2+a_{1}}<\sqrt{2+2}=2$

           $a_{3}=\sqrt{2+a_{2}}<\sqrt{2+2}=2$

           ...

           $a_{100}=\sqrt{2+a_{99}}<\sqrt{2+2}=2$           (1)

$\Rightarrow$ $a_{99}=a_{100}^{2}-2$                (2)

Đăt a100 = a              (3) 

Thay (1) ; (2) và (3) vào đẳng thức cần chứng minh, ta có:  $\frac{2-a}{4-a^{2}}>\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{2-a}{4(2+a)}>0$  (luôn đúng)

$\Rightarrow$ $ĐPCM$     


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanhnguyen10: 14-07-2015 - 20:01

"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"


#37 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 14-07-2015 - 20:22

 

Bài 34: Chứng minh rằng: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$

 

Bài 35: Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{a^{2}+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$

Bài 34: Ta có 

+)$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

+)$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$

Ta có đpcm

Bài 35:$\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}\leq \frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}$

Ta cần cm $\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\Leftrightarrow a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\Leftrightarrow 2(a+b+c)\geq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức đã được cm



#38 HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp , Quảng Bình
  • Sở thích:đi phượt

Đã gửi 14-07-2015 - 20:26

Đề bài 27 đúng đó bạn  -_-

 

Lời giải:

Gọi: $a_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$     (có n dấu căn)

Ta có: $a_{1}=\sqrt{2}<2$

           $a_{2}=\sqrt{2+a_{1}}<\sqrt{2+2}=2$

           $a_{3}=\sqrt{2+a_{2}}<\sqrt{2+2}=2$

           ...

           $a_{100}=\sqrt{2+a_{99}}<\sqrt{2+2}=2$           (1)

$\Rightarrow$ $a_{99}=a_{100}^{2}-2$                (2)

Đăt a100 = a              (3) 

Thay (1) ; (2) và (3) vào đẳng thức cần chứng minh, ta có:  $\frac{2-a}{4-a^{2}}>\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{2-a}{4(2+a)}>0$  (luôn đúng)

$\Rightarrow$ $ĐPCM$     

nhìn nhầm. xin lỗi. bài này mình còn có cách khác :3

nhân lượng liên hợp ta có $P=\frac{1}{ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} }$ (100 dấu căn)

từ Bài 26 ta thấy $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< 2\Leftrightarrow 2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< 4\Leftrightarrow \frac{1}{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}> \frac{1}{4}\Leftrightarrow P> \frac{1}{4}$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 14-07-2015 - 20:28

Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#39 honmacarong100

honmacarong100

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trực
  • Sở thích:Bất đẳng thức, khoa học tự nhiên, toán học,...

Đã gửi 15-07-2015 - 12:45

 

 

Bài 30: Cho hai dãy số sắp thứ tự: $a\geq b\geq c;x\leq y\leq z$

 

Chứng minh bất đẳng thức $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz)$

 

Ta có: $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz) \Leftrightarrow a(x+y+z)-3ax +b(x+y+z)-3by+c(x+y+z)-3cz\geq 0 \Leftrightarrow a(y+z-2x)+ b(x+z-2y)+ c(x+y-2z)\geq 0 \Leftrightarrow a\left [ (y-x)+(z-x) \right ]+b\left [ (x-y)+(z-y) \right ]+ c\left [ (x-z)+ (y-z) \right ]\geq0 \Leftrightarrow a(y-x)+a(z-x)-b(y-x)+b(z-y)-c(z-x)-c(z-y)\geq 0 \Leftrightarrow (a-b)(y-x)+(a-c)(z-x)+(b-c)(z-y)\geq0$

 Ta thấy bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi $a\geq b\geq c; x\leq y\leq z$ vì $(a-b); (b-c); (a-c); (z-y); (z-x); (y-x) \geq 0$
$\Rightarrow$ đpcm

  :ukliam2:  Chúa không chơi trò xúc xắc  :ukliam2:

             God doesn't play die

                             -Albert Einstein-                 

 


#40 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 15-07-2015 - 13:24

 
 

Bài 22: Cho các số dương a, b, c, d. Biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$

 

Chứng minh rằng $abcd\leq \frac{1}{81}$

 

 

Từ gt ta có: $\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d} \leq 1-\frac{a}{1+a}$

$\Leftrightarrow \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d} \leq \frac{1}{1+a}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:
$\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d} \geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(1+b)(1+c)(1+d)}}$
$\Rightarrow \frac{1}{1+a} \geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(1+b)(1+c)(1+d)}}$
$Tương Tự \frac{1}{1+b} \geq 3\sqrt[3]{{\frac{acd}{(1+a)(1+c)(1+d)}}}$
         $\frac{1}{1+c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{abd}{(1+b)(1+a)(1+d)}}$
          $\frac{1}{1+d} \geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+b)(1+c)(1+a)}}$
$\Rightarrow \frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)} \geq 81 \sqrt[3]{\frac{(abcd)^{3}}{[(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)]^{3}}}$
$\Leftrightarrow  \frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)} \geq 81 \frac{abcd}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}$
$\Leftrightarrow 1\geq 81abcd$
$\Leftrightarrow \frac{1}{81}\geq abcd (Đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 15-07-2015 - 13:25





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh


    Google (1)