Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[CHUYÊN ĐỀ] CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 166 trả lời

#161 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Đã gửi 19-11-2017 - 19:48

Anh em giúp tý nhé ,giải theo cấp 2 nhé

#162 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Đã gửi 20-11-2017 - 05:53

Cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=1 .Chứng minh rằng ab+bc+ca-2abc lớn hơn hoặc bằng O

#163 kekkei

kekkei

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 107 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Lê Khiết- Quảng Ngãi
  • Sở thích:ăn vịt

Đã gửi 07-02-2018 - 21:21

Cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=1 .Chứng minh rằng ab+bc+ca-2abc lớn hơn hoặc bằng O

 Nếu có một số bất kì =0, giả sử là c thì:

$ab+bc+ca-2abc=ab\geqslant 0$

Nếu trong 3 số a,b,c không có số nào=0:

$S=abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2)\geqslant abc(\frac{9}{a+b+c}-2)=7abc>0$


éc éc 

 


#164 honglien

honglien

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:-Moon-
  • Sở thích:_Sách <3

Đã gửi 04-03-2018 - 12:31

Cho $u\leq v$ . Cmr : $u^{3} - 3u \leq v^{3}-3v+4$


:icon12:  :icon12:  :icon12:  Nguyễn Thị Hồng Liên :icon12:  :icon12:  :icon12:

$\Omega \Omega \Omega$


#165 toantuoithotth

toantuoithotth

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Xứ sở nàng tiên
  • Sở thích:Màu hường

Đã gửi 02-06-2018 - 10:32

 

 Chứng minh bất đẳng thức là một trong những loại toán gây khó khăn cho học sinh THCS. Sau đây mình xin giới thiệu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và các ví dụ có liên quan đến căn thức. Mong rằng các bạn sẽ ủng hộ

 

 

I - PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

 

 

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

 

                                $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}<\sqrt{\frac{a+b}{2}}$     với $a>0;b>0; a\neq b$      (1)

 

Giải

 

 

$(1)\Leftrightarrow \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}<\frac{a+b}{2}$

 

$\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}<2a+2b$

 

$\Leftrightarrow 0

 

$0<(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$                     (2)

 

Do $a\neq b$ nên bất đẳng thức (2) đúng, vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.

 

 

Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức

 

                      $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$                       (1)

 

Giải

 

 

$(1)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq a^{2}+c^{2}+2ac+b^{2}+d^{2}+2bd$

 

$\Leftrightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq ac+bd$

 

Nếu ac + bd < 0 thì (2) được chứng minh

 

Nếu $ac+bd\geq 0$ thì (2) tương đương

 

                        $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+2abcd$

 

                        $(ad-bc)^{2}\geq 0$                 (3)

 

Bất đẳng thức (3) đúng, vậy đẳng thức (1) được chứng minh.

 

 

II - PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI, LÀM GIẢM

 

 

Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau với $n\in \mathbb{N},n\geq 2$

 

                  $2\sqrt{n}-3<\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2$

 

Giải

 

 

Đặt $A=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}$

 

a) Chứng minh $A>2\sqrt{n}-3$ bằng cách làm giảm mỗi số hạng của A

 

$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$   với mọi $k\in$ N*

 

Do đó $A>2[(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})+...+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})]=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{2})=2\sqrt{n+1}-2\sqrt{2}>2\sqrt{n+1}-3>2\sqrt{n}-3.$

 

b) Chứng minh $A<2\sqrt{n}-2$ bằng cách làm trội mối số hạng của A

 

$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$   với mọi $k\in$ N*

 

Do đó $A<2[(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})]+...+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{2}-\sqrt{1})=2(\sqrt{n}-\sqrt{1})=2\sqrt{n}-2$

 

 

III - PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ BIẾT

 

 

Ta nhắc lại ở đây ba bất đẳng thứ quan trọng

 

 

1. Tổng của hai số nghịch đảo nhau

 

                          $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$ với x, y là hai số cùng dấu

 

 

2. Bất đẳng thức Cô-si 

 

 

Cho a, b, c là các số không âm. Khi đó:

 

                                             $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

 

                                             $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

 

 

Tổng quát: Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc trung bình nhân của chúng

 

$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}$ với $a_{1}, a_{2},..., a_{n}$ là các số không âm.

 

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  $a_{1}= a_{2}=...= a_{n}$

 

 

3. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki 

 

 Cho hai bộ số a, b, c và x, y, z. Khi đó:

 

                                      $(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})\geq (ax+by)^{2}$

 

                                 $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (ã+by+cz)^{2}$

 

 

Tổng quát: Có hai bộ n số: $(a_{1}, a_{2},..., a_{n})$ và $(b_{1}, b_{2},..., b_{n})$.Tích của tổng các bình phương n số của bộ số này và tổng các bình phương n số của bộ số kia lớn hơn hoặc bằng bình phương của tổng n tích hai số tương ứng của hai bộ số đó.

 

 

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}+b_{n})^{2}$

 

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ và  $(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ là hai bộ số tỉ lệ với nhau tức là $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0.

 

 

Chứng minh

 

Đặt $A=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2},B=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2},C=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}$. Cần chứng minh $AB\geq C^{2}$

 

 

Nếu A = 0 thì $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$, bất đẳng thức được chứng minh. Cũng vậy nếu B = 0. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp A và B khác 0

 

Với mọi x ta có:

 

$(a_{1}x-b_{1})^{2}\geq 0\Rightarrow a_{1}^{2}x^{2}-2a_{1}b_{1}x+b_{1}^{2}\geq 0$

 

$(a_{2}x-b_{2})^{2}\geq 0\Rightarrow a_{2}^{2}x^{2}-2a_{2}b_{2}x+b_{2}^{2}\geq 0$

 

...

 

$(a_{n}x-b_{n})^{2}\geq 0\Rightarrow a_{n}^{2}x^{2}-2a_{n}b_{n}x+b_{n}^{2}\geq 0$

 

Cộng từng vế n bất đẳng thức trên được 

 

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})x^{2}-2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})x+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq 0$

 

tức là                                               $Ax^{2}-2Cx+B\geq 0$                               (1)

 

Vì (1) đúng với mọi x nên thay $x=\frac{C}{A}$vào (1) ta được

 

 $A.\frac{C^{2}}{A^{2}}-2.\frac{C^{2}}{A}+B\geq 0\Rightarrow B-\frac{C^{2}}{A}\geq 0\Rightarrow AB-C^{2}\geq 0\Rightarrow AB\geq C$

 

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi $a_{1}x=b_{1},a_{2}x=b_{2},...,a_{n}x=b_{n}$ tức là $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0

 

 

Ví dụ 4: Co a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:

 

                                    $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{b}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

 

Giải

 

Cách 1. Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

 

                $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=2.\frac{a}{2}=a$

 

 Suy ra  $\frac{a^{2}}{b+c}\geq a-\frac{b+c}{4}$

 

Tương tự $\frac{b^{2}}{a+c}\geq b-\frac{a+c}{4}$; $\frac{c^{2}}{a+b}\geq c-\frac{a+b}{4}$

 

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức ta được

 

 $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{b}}{a+b}\geq (a+b+c)-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}$

 

Cách 2. Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có

 

 $\left [ \left ( \frac{a}{\sqrt{b+c}} \right )^{2} + \left (\frac{b}{\sqrt{a+c}} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{\sqrt{a+b}} \right )^{2}\right ].[(\sqrt{b+c})^{2}+(\sqrt{a+c})^{2}+(\sqrt{a+b})^{2}]$

 

$\geq \left ( \frac{a}{\sqrt{b+c}}.\sqrt{b+c}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}.\sqrt{a+c}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}.\sqrt{a+b} \right )^{2}$

 

$\Rightarrow \left ( \frac{a^{2}}{b+c} +\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\right )[2(a+b+c)]\geq (a+b+c)^{2}$

 

$\Rightarrow$ $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{b}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

 

Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số không âm và a + b + c = 1. Chứng minh:

 

$a) \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5$

 

$b)\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$

 

 

Giải

 

 a) .Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

 

                              $\sqrt{a+1}=\sqrt{1(a+1)}\leq \frac{(a+1)+1}{2}=\frac{a}{2}+1$

 

Tương tự :  $\sqrt{b+1} \leq \frac{b}{2}+1$; $\sqrt{c+1} \leq \frac{c}{2}+1$

 

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được

 

        $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\leq\frac{a+b+c}{2}+3=3,5$

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a + 1 = b + 1 = c + 1 = 1 $\Leftrightarrow$  a = b = c = 0, Trái với giả thiết a + b + c = 1

 

 Vậy $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}<3,5$

 

b) 

 

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, có:

 

$(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{2}\leq 3(a+b+b+c+c+a)=3.2=6$

 

$\Rightarrow $ $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$

 

 

IV - PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG

 

 

Ví dụ 6. Cho a + b = 2. Chứng minh rằng

 

                                             $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\leq 2$

 

Giải

 

Đặt $\sqrt[3]{a}=m$; $\sqrt[3]{b}=n$. Ta có $m^{3}+n^{3}\leq 2$

 

Cần chứng minh $m+n\leq 2$

 

Giả sử m + n > 2 thì 

 

  $(m+n)^{3}>8\Rightarrow m^{3}+n^{3}+3mn(m+n)>8\Rightarrow 2+3mn(m+n)>8\Rightarrow mn(m+n)>2\Rightarrow mn(m+n)>m^{3}+n^{3}$

 

Chia hai vế cho số dương m + n ta có

 

              $mn>m^{2}-mn+n^{2}\Rightarrow 0>(m-n)^{2}$    (vô lí)

 

Vậy $m+n\leq 2$

 

 

Ví dụ 7. Chứng minh rằng $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$

 

 

Giải    (Mình làm bằng cách khác)

 

BĐT $\Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_n \geq n\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$

$\Leftrightarrow (a_1+a_2+...+a_n)-(\sqrt[n]{a_1a_2...a_n})\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}-...-\sqrt{a_n})^2 \geq 0$

BĐT cuối cùng luôn đúng với mọi số không âm

Dấu bằng xảy ra khi các số = nhau


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toantuoithotth: 02-06-2018 - 15:34

                                                                                                    Sĩ quan


#166 lehoahoa

lehoahoa

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 13-06-2018 - 15:46

Giúp mình giải bài này nhé. Thank

 

Cho a,b,c là hai số không âm thỏa mãn:a+b=ab.Cmr:

1a2+2a+1b2+2b+(1+a2)(1+b2)214

P/s: Xem thông tin chi tiết đăng ký thi Violympic Toán 2018-2019 tại http://violympicvietnam.com/


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoahoa: 14-06-2018 - 10:45


#167 Tuanmysterious

Tuanmysterious

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nowhere
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 13-06-2018 - 16:01

Cho $u\leq v$ . Cmr : $u^{3} - 3u \leq v^{3}-3v+4$


Do đk đề bài đặtv=u+x nên x không âm thay vào khai triển là được




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh