Đặt $\sqrt[3]{a}=x; \sqrt[3]{b}=y;\sqrt[3]{c}=z$
BĐT cần chứng minh trở thành: $x^3+y^3+z^3\geq 3xyz\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2)-3xy(x+y+z)\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\geq 0\Leftrightarrow (x+y+z)\left [ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \right ]\geq 0$
(Luôn đúng với $x,y,z$ không âm)
P/s: Mình nghĩ đề bài bài 22 sai, hình như giả thiết phải là $\sum \frac{1}{1+a}\geq 3$
Mình thấy giả thiết đúng rồi đó, cách giải như thế này:
Ta sẽ đặt:
$x=\frac{a}{1+a};y=\frac{b}{1+b};z=\frac{c}{1+c};t=\frac{d}{1+d}$
Khi đó rút a theo x, b theo y, c theo z, d theo t, ta được bài toán mới:
Cho $x+y+z+t\leq 1$ Chứng minh rằng:
$\frac{xyzt}{(1-x)(1-y)(1-z)(1-t)}\leq \frac{1}{81}$
$<=>81xyzt\leq (1-x)(1-y)(1-z)(1-t)$
Lại có:$x+y+z+t\leq 1=>\prod (1-x)\geq \prod (y+z+t)$
Đến đây áp dụng AM-GM cho vế phải suy ra điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 14-07-2015 - 09:05