Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh AO vuông góc với PQ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 dance

dance

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\textbf{Tứ xứ :))}$
  • Sở thích:$\color{red}{\boxed{\boxed{\rightarrow \heartsuit Math \heartsuit \leftarrow }}}$

Đã gửi 03-07-2015 - 09:32

Cho tamgiác ABC. Vẽ ra ngoài tam giác các tam giác cân tại A và đồng dạng với nhau PAB, QAC. Gọi R là giao điểm của BQ và CP. O là tâm (BCR). Chứng minh AO vuông góc PQ


Chao moi nguoi ! :)


#2 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 04-07-2015 - 17:58

$\Delta APC = \Delta ABQ\Rightarrow APBR$ và $AQCR$ nội tiếp được. Giả sử $O_1, O_2$ lần lược là tâm $(APBR)$ và $(AQCR)$

Giả sử $AP$ giao $(AQCR)$ tại $P'$, $AQ$ giao $(APBR)$ tại $Q'$, dễ dàng chứng minh $PQ'P'Q$ nội tiếp được và $PQ'||CQ, QP'||BP$

Do đó $PQ'\perp AO_2$ và $QP'\perp AO_1$ và theo tính chất trục đẳng phương thì $PQ', QP', AR$ đồng quy. Mặt khác $AR\perp O_1O_2$

Do đó $\Delta AO_1O_2$ và $\Delta RQP$ trực giao. Do đó đường thẳng qua $A$ vuông góc với $PQ$ đi qua giao điểm của đường thẳng qua $O_1$ vuông góc với $BR$ và đường thẳng qua $O_2$ vuông góc với $CR$, và đó chính là $O$. Do đó $AO\perp PQ$

P.s. Nhìn sơ sơ tưởng bài này dễ lắm, ai ngờ nửa buổi chiều suy nghĩ mới ra @@


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3 mnguyen99

mnguyen99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 696 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán ,THPT chuyên Quốc Học Huế
  • Sở thích:Sherlock Holmes, người đàn ông chưa bao giờ sống và không bao giờ chết.

Đã gửi 05-07-2015 - 20:49

Làm sao để Cm $PQ'P'Q$ nội tiếp nhỉ


THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$??? 

 

TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026


#4 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 05-07-2015 - 21:17

$\widehat{PP'Q}=\widehat{AP'Q}=180^o-\widehat{ACQ}=180^o-\widehat{ABP}=\widehat{AQ'P}=\widehat{QQ'P}$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5 huypham2811

huypham2811

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The state of fun
  • Sở thích:—ナルト— Naruto Shippuden

Đã gửi 01-08-2015 - 13:02

ta dễ có: $\Delta PAC=\Delta BAQ$ suy ra $\widehat{APC}=\widehat{ABQ};\widehat{ACP}=\widehat{AQB}$

suy ra A,P,B,R đồng viên và A,Q,C,R đồng viên

gọi (O1) và (O2) là đtròn ngoại tiếp APBR và AQCR

ta sẽ có $OO_{1}\perp RQ;OO_{2}\perp RP$

Gọi d là đt qua A vuông góc PQ

Ta cần chứng minh d đi qua O.

áp dụng định lí carnot cho $\Delta RPQ$: d; O1O; O2O đồng quy <=> $O_{1}R^{2}-O_{1}Q^{2}+AQ^{2}-AP^{2}+O_{2}P^{2}-O_{2}R^{2}=0$

                                                                  <=> $O_{1}A^{2}+AQ^{2}-O_{1}Q^{2}=O_{2}A^{2}+AP^{2}-O_{2}P^{2}$

                                                                  <=> O1A. AQ. cos O1AQ=O2A. AQ. cos O2AP

                                                                  <=> $\frac{AP}{O_{1}A}=\frac{AQ}{O_{2}A}$

                                                                  <=> cos $\frac{1}{2}.\widehat{BAP}$= cos $\frac{1}{2}.\widehat{CAQ}$     (đúng)

Từ đây ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 01-08-2015 - 14:19





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh