Chủ đề này có 4 trả lời

[dance]

Cho tamgiác ABC. Vẽ ra ngoài tam giác các tam giác cân tại A và đồng dạng với nhau PAB, QAC. Gọi R là giao điểm của BQ và CP. O là tâm (BCR). Chứng minh AO vuông góc PQ

[dogsteven]

$\Delta APC = \Delta ABQ\Rightarrow APBR$ và $AQCR$ nội tiếp được. Giả sử $O_1, O_2$ lần lược là tâm $(APBR)$ và $(AQCR)$

Giả sử $AP$ giao $(AQCR)$ tại $P'$, $AQ$ giao $(APBR)$ tại $Q'$, dễ dàng chứng minh $PQ'P'Q$ nội tiếp được và $PQ'||CQ, QP'||BP$

Do đó $PQ'\perp AO_2$ và $QP'\perp AO_1$ và theo tính chất trục đẳng phương thì $PQ', QP', AR$ đồng quy. Mặt khác $AR\perp O_1O_2$

Do đó $\Delta AO_1O_2$ và $\Delta RQP$ trực giao. Do đó đường thẳng qua $A$ vuông góc với $PQ$ đi qua giao điểm của đường thẳng qua $O_1$ vuông góc với $BR$ và đường thẳng qua $O_2$ vuông góc với $CR$, và đó chính là $O$. Do đó $AO\perp PQ$

P.s. Nhìn sơ sơ tưởng bài này dễ lắm, ai ngờ nửa buổi chiều suy nghĩ mới ra @@

[mnguyen99]

Làm sao để Cm $PQ'P'Q$ nội tiếp nhỉ

[dogsteven]

$\widehat{PP'Q}=\widehat{AP'Q}=180^o-\widehat{ACQ}=180^o-\widehat{ABP}=\widehat{AQ'P}=\widehat{QQ'P}$

[huypham2811]

ta dễ có: $\Delta PAC=\Delta BAQ$ suy ra $\widehat{APC}=\widehat{ABQ};\widehat{ACP}=\widehat{AQB}$

suy ra A,P,B,R đồng viên và A,Q,C,R đồng viên

gọi (O₁) và (O₂) là đtròn ngoại tiếp APBR và AQCR

ta sẽ có $OO_{1}\perp RQ;OO_{2}\perp RP$

Gọi d là đt qua A vuông góc PQ

Ta cần chứng minh d đi qua O.

áp dụng định lí carnot cho $\Delta RPQ$: d; O₁O; O₂O đồng quy <=> $O_{1}R^{2}-O_{1}Q^{2}+AQ^{2}-AP^{2}+O_{2}P^{2}-O_{2}R^{2}=0$

                                                                  <=> $O_{1}A^{2}+AQ^{2}-O_{1}Q^{2}=O_{2}A^{2}+AP^{2}-O_{2}P^{2}$

                                                                  <=> O₁A. AQ. cos O₁AQ=O₂A. AQ. cos O₂AP

                                                                  <=> $\frac{AP}{O_{1}A}=\frac{AQ}{O_{2}A}$

                                                                  <=> cos $\frac{1}{2}.\widehat{BAP}$= cos $\frac{1}{2}.\widehat{CAQ}$     (đúng)

Từ đây ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 01-08-2015 - 14:19