Bạn có thể gấp đôi được tờ giấy không? Dĩ nhiên là có rồi, việc đó quá dễ, bạn chỉ cần gấp sao cho hai mép song song của nó trùng vào nhau.
Nhưng bạn có thể gấp được $\frac{1}{3}$ tờ giấy không? $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{7}$ thì sao?. Sau đây, tôi sẽ hướng dẫn các bạn gấp được tờ giấy thành một phần bất kì mà bạn muốn. Chính xác và nhanh chóng.
Gấp một phần ba
Bắt đầu, lấy một tờ giấy hình vuông, gấp để đánh dấu trung điểm của một cạnh. Gấp tiếp góc phía dưới bên trái trùng vào trung điểm vừa rồi.
Điều đầu tiên cần chú ý là một mối quan hệ thú vị giữa ba hình tam giác mà bạn đã tạo ra, một ở góc trên bên trái, một ở góc trên bên phải, và một ở phía dưới bên trái nhô ra phía bên của tờ giấy.
Các cặp góc $1$ & $2$, $3$ & $4$, $5$ & $6$ có tổng bằng $90^o$. Ngoài ra, góc $1$ và góc $3$ cùng phụ với góc $2$ nên chúng bằng nhau. Hai góc $4$ và $5$ đối đỉnh nên chúng bằng nhau. Do đó, cùng bằng góc $2$ (vì cùng phụ với góc $3$. Suy ra góc $6$ bằng góc $3$.
Do đó, ba tam giác này đồng dạng. Chúng ta sẽ sử dụng các tam giác đồng dạng và định lý Pythagore để gấp các phần của tờ giấy.
Đặt chiều dài cạnh của hình vuông ban đầu là 1, Tam giác góc trên bên trái có một cạnh góc vuông là $\frac{1}{2}$, cạnh góc vuông còn lại chưa biết, ta tạm gọi là $x$. Cạnh huyền của tam giác đó, chính là phần còn lại của cạnh hình vuông. Do đó nó có độ dài là $1-x$. Áp dụng định lý Pythagore, ta có
$$x^2+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 = (1-x)^2$$
Giải phương trình đó, ta có $x=\dfrac{3}{8}$
Bây giờ, gọi độ dài cạnh góc vuông chưa biết của tam giác góc trên bên phải là $y$. Vì hai tam giác đang xét đồng dạng nên ta có:
$$\dfrac{y}{\frac{1}{2 }}=\dfrac{\frac{1}{2}}{x}$$
Thay $x=\frac{3}{8}$, ta có $y=\frac{2}{3}$. Do đó ta có thể tạo ra $\frac{1}{3}$ bằng cách gấp đôi đoạn $y$.
Gấp được phần bất kì của tờ giấy
Kazuo Haga, một giáo sư sinh vật học người Nhật Bản đã đưa ra phương pháp khéo léo này. Mặc dù là một nhà sinh vật học, ông rất quan tâm đến việc sử dụng origami để khám phá toán học. Trong thực tế, Haga nhận ra rằng phương pháp này rất hữu ích.
Giả sử thay vì gập góc dưới bên trái của tờ giấy tới trung điểm cạnh trên, bạn hãy gập góc dưới cùng bên trái đến một điểm khoảng cách $ k $ dọc theo cạnh trên.
Khi đó, tam giác góc trên bên trái có các cạnh là $k,x$ và $1-x$. Khi đó, giống như ở trên, áp dụng định lý Pythagore, ta có:
$$x^2+k^2=(1-x)^2$$
Giải phương trình, ta thu được $x=\frac{1-k^2}{2}$. Lại sử dụng tam giác đồng dạng, ta có:
$$\dfrac{y}{1-k}=\frac{k}{x}$$
Thay giá trị của $x$, ta có:
$$y=\dfrac{2(1-k)k}{1-k^2} $$
Hay
$$\frac{y}{2}=\frac{k}{1+k}$$
Điều này còn được gọi là Định lý Haga. Nó giúp ta có thể gấp được một phần bất kì của tờ giấy.
Ta vừa từ $k=\frac{1}{3}$ để gấp được $\frac{1}{3}$. Nếu ta gấp góc trái bên dưới lên điểm $\frac{1}{3}$ của cạnh trên, theo định lý Haga, ta sẽ thu được:
$$\frac{y}{2}=\frac{1}{3} \div \frac{4}{3} = \frac{1}{4}$$
Xa hơn nữa, bắt đầu với $\frac{1}{2}$, sử dụng phương pháp của Haga, ta gấp được $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}$, thậm chí là một phân số bất kì, nếu ta bắt đầu với $k = \frac{1}{N}$, ta có:
$$\frac{y}{2}=\frac{1/N}{1+1/N}=\frac{1}{N+1}$$
Dưới đây là một vài phần của tờ giấy được gấp bởi phương pháp đó.
Theo plus.math.org
