Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN

tham khảo

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 04-07-2015 - 22:58

ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN

Phần 1: Thầy Bói Xem Voi

 

How can a part know the whole? (Blaise Pascal)

 

Khoa học đang đứng trước hàng loạt câu hỏi thách thức:

-Liệu có thể có một “Lý thuyết về mọi thứ” của vật lý không?

-Robots có thể thông minh như con người không?

-Bản chất vật chất của tinh thần là gì?

-Máy móc có thể thay thế con người trong dịch thuật không?

-Giả thuyết Goldbach là một tiên đề hay một định lý?

-Vũ trụ trước Big Bang là gì?

-Tồn tại chăng một lý thuyết dự báo tương lai chính xác?

Và rất nhiều câu hỏi khác nữa. Mỗi câu hỏi là một thách đố lớn chưa từng có – một “Chiếc Chén Thánh” (The Holy Grail)[1] của khoa học, mà câu trả lời thường dẫn tới sự chia rẽ quan điểm, một bên nói “có”, một bên “không”. Chưa bao giờ khoa học bị rơi vào tình trạng ngã ba đường như hiện nay. Dường như dự cảm được điều đó nên từ lâu Kurt Gödel đã lưu ý: “Ý nghĩa của cuộc sống là ở chỗ biết phân biệt Ước Muốn với Hiện Thực[2].

Những ai biết rõ lịch sử toán học thế kỷ 20 đều hiểu ngay rằng Gödel ngụ ý nhắc nhở nhân loại không được phép quên bài học thất bại cay đắng của Chương trình Hilbert – một chương trình có tham vọng khám phá ra “Lý thuyết về mọi thứ” của toán học, tức là không hiểu nguyên lý giới hạn của nhận thức mà truyện ngụ ngôn “Thầy Bói Xem Voi” đã nói từ xa xưa.

Thậm chí đến khi Gödel công bố Định lý bất toàn (Theorem of Incompleteness), khẳng định nguyên lý giới hạn của nhận thức dưới dạng toán học, vẫn có nhiều người không muốn thừa nhận nguyên lý này. Đó là lý do để nhiều nhà triết học khoa học Tây phương hiện nay thích nhắc lại tích “Thầy Bói Xem Voi”, như một gợi ý để từ đó đề cập tới Định lý bất toàn nói riêng và vấn đề giới hạn của nhận thức nói chung[3].

 

1] “Thầy Bói Xem Voi”:

 

“Thầy Bói Xem Voi” là một truyện ngụ ngôn bằng thơ nhan đề “The Blind Men and the Elephant” (Những anh mù và con Voi), hoặc “Six Men of Indostan” (Sáu anh chàng ở xứ Indostan[4]), của John Godfrey Saxe, một nhà thơ triết lý nổi tiếng người Mỹ thế kỷ 19. Nhưng thực ra tích “Thầy Bói Xem Voi” “đã được ghi chép từ xa xưa trong Kinh Đại Bát Niết Bàn 大般涅槃经 do ngài Đàm Vô Sấm 昙无谶 (Dharmaraksa), pháp sư người Ấn, dịch ra Hoa ngữ , đồng thời cũng đã được ghi chép trong Kinh Trường A Hàm của Phật Giáo”[5].

 

Thầy Bói Xem Voi

(Sáu anh mù ở xứ Indostan)

 

John Godfrey Saxe

(1816 – 1887)

 

Sáu anh mù ở xứ

In-đốt-xtan nóng bỏng

Rủ nhau đi xem Voi

Vì rất ham hiểu biết

Nên thi nhau quan sát

Cho thoả nỗi khát mong

 

Đầu tiên là anh Nhất

Sờ tấm thân vừa rộng,

Vừa cứng ráp, vừa thô

Miệng oang oang tuyên bố:

“Con Voi, ôi lạy Chúa!

Giống bức tường y chang”

 

Tiếp đến là anh Nhị,

Sờ ngà Voi, nói lớn:

“Tròn, nhọn, lại mịn trơn?

Kỳ quan này rõ thấy,

Rằng Voi như ngọn giáo,

Đó mới thật là Voi!”

 

Anh Tam bèn tiến đến

Tay ôm vòi uốn éo,

Ngẫm nghĩ và luận suy,

Rồi tự tin anh nói:

“Con Voi như tôi thấy

Giống con rắn, con trăn”

 

Đôi bàn tay anh Tứ

Sờ vào chân, háo hức,

“Kỳ lạ nhất của Voi,

Như ta vừa nhận thấy,

Một thân cây thẳng đứng,

Mới giống hình con Voi!”

 

Rồi đến phiên anh Ngũ,

Sờ tai Voi, tuyên bố:

“Mù nhất chính là ta,

Nhưng nào ai dám cãi,

Rằng Voi như quạt giấy,

Phe phẩy, phẩy gió bay!”!

 

Cuối cùng là anh Lục,

Dò dẫm, anh vội túm

Chỗ ve vẩy cái đuôi,

Cảm nhận, thốt lên lời:

“Voi như ta đã thấy

Giống y chiếc dây thừng!”

 

Thế là sáu anh mù

Cãi vã nhau ỏm tỏi ,

Ai cũng cho mình giỏi,

Anh nào cũng hung hăng.

Mỗi anh đúng một phần,

Nhưng đều sai tất cả!

 

 

The Blind Men and the Elephant

(Six Men of Indostan)

 

John Godfrey Saxe

(1816 – 1887)

 

It was six men of Indostan

To learning much inclined,

Who went to see the Elephant

Though all of them were blind

That each by observation

Might satisfy his mind.

 

The First approached the Elephant

And happening to fall

Against his broad and sturdy side

At once began to bawl:

“God bless me! But the Elelephant

Is very like a wall”

 

The Second, feeling of the tusk,

Cried, “Ho! What have we here

So very round & smooth & sharp?

To me ‘tis mighty clear

This wonder of an Elephant

Is very like a spear!”

 

The Third approached the animal,

And happening to take

The squirming trunk within his hands,

Thus  boldly up and spake :

“I see”, quoth he, “the Elephant

Is very like a s"từ cấm"!”

 

The Fourth reached out an eager hand,

And felt about the knee.

“What most this wondrous  beast  is like

Is mighty plain”, quoth he;

“ ‘Tis clear enough the Elephant

Is very like a tree!”

 

The Fifth who chanced to touch the ear,

Said: “E’en the blindest man

Can tell what this resembles most:

Deny the fact who can,

This marvel of an Elephant

Is very like a fan!”

 

The Sixth the sooner had begun

About the beast to grope,

Than, seizing on the swinging tail

That fell  within his scope ,

“I see”, qouth he, “the Elephant

Is very like a rope!”

 

And so these men of Indostan

Disputed loud and long,

Each in his own opinion

Exceeding stiff and strong,

Though each was partly in the right

And all were in the wrong!

 

 

Ý tưởng của John Saxe thật dễ hiểu: Nhận thức của con người vốn phiến diện và bị giới hạn – nhận thức dù tiến bộ đến mấy cũng chỉ đúng một phần chứ không bao giờ đầy đủ và hoàn thiện.thay-boi-xem-voi-1b.jpg?w=300&h=170

Nhưng phỏng có ích gì khi nhắc lại triết lý giới hạn của nhận thức trong thời buổi khoa học đang tăng trưởng với tốc độ hàm mũ như hiện nay? Phải chăng đó là một nghịch lý? Sau đây sẽ là câu trả lời.

 

2] Nghịch lý lớn về nhận thức:

 

Điều bất ngờ thú vị cần thông báo ngay với độc giả là tích “Thầy Bói Xem Voi” – một chuyện tưởng như đã “biết rồi, khổ lắm, nói mãi” – lại đã và đang tái xuất hiện trên các diễn đàn khoa học tây phương hiện đại với một tầm vóc và bình diện mới! Thật vậy, dưới ánh sáng của những sự kiện khoa học trọng đại nhất trong thế kỷ 20, đặc biệt nhờ những tiến bộ vượt bậc của khoa học computer trong mấy thập kỷ qua, nhân loại đã và đang tái khám phá ra nguyên lý về bản chất giới hạn của nhận thức – một nguyên lý tự nhiên mà tích “Thầy Bói Xem Voi” đã nói từ lâu nhưng dần dần bị lãng quên!Nguyên lý này khẳng định rằng NHẬN THỨC, mặc dù mỗi ngày một tiến hoá, nhưng không bao giờ đạt tới chỗ BIẾT HẾT, BIẾT MỌI THỨ, BIẾT ĐẦY ĐỦ, BIẾT TẬN CÙNG …

Tham vọng biết mọi thứ, xét cho cùng, là … “ngây thơ” – không hiểu hoặc không muốn hiểu một quy luật của nhận thức mà John Saxe đã trình bầy từ lâu dưới dạng thơ ngụ ngôn!

Sự “ngây thơ” đó đáng được thông cảm: Khi khát vọng nhận thức bùng cháy mãnh liệt, con người có xu hướng muốn biết hết, biết tới tận cùng! Đó là một khát vọng chính đáng, tự nhiên theo bản năng, và nhờ đó con người mới khám phá hết bí mật này đến bí mật khác. Đó chính là động lực của tiến hoá. Nếu khát vọng đó đôi khi (hoặc nhiều khi) trở nên thái quá, chẳng qua con người sinh ra vốn bản chất đã hướng ngoại, thích quan sát các đối tượng khách thể bên ngoài hơn là quan sát chính chủ thể nhận thức. Trẻ em thể hiện rất rõ điều này. Một em bé 6 tháng sẽ tuyệt đối không có “ý thức về bản ngã”, nhưng đã có thể có những nhận thức nhất định về thế giới xung quanh. Ý thức hướng nội chỉ tới khi con người trưởng thành hơn. Quá trình trưởng thành về nhận thức của một đời người chính là tấm gương phản chiếu quá trình trưởng thành về nhận thức của toàn thể loài người. Đó chính là lý do để khoa học về nhận thức ra đời quá muộn màng: Trong khi các khoa học khác đã có tới hàng ngàn hoặc hàng trăm năm tuổi, khoa học về nhận thức dường như mới ra đời gần đây. Nói cách khác: Trong khi nền văn minh của nhân loại đã trưởng thành và già dặn qua hàng ngàn năm lịch sử, con người dường như vẫn còn quá ngây thơ trong việc tự hiểu biết mình.

Nhưng hơn bất kỳ một giai đoạn lịch sử nào khác, thế kỷ 20 đã làm cho con người bừng tỉnh: Song song với nhận thức hướng ngoại, con người đã đặc biệt quan tâm tới chính chủ thể nhận thức – nghiên cứu bản chất của nhận thức như nghiên cứu bất kỳ một đối tượng khách quan nào khác!

Nhưng tại sao lại là thế kỷ 20, thay vì thế kỷ 19 hay 21?

Đơn giản vì nhận thức đã phải trả giá rất đắt để hiểu được 3 bài học tưởng như không sao hiểu được trong thế kỷ 20: Thuyết Tương Đối của Einstein + Nguyên Lý Bất Định của Heisenberg + Bài học về cuộc khủng hoảng trầm trọng trong nền tảng Toán Học đầu thế kỷ 20.

Thuyết Tương Đối phải mất vài năm rồi nhân loại mới hiểu.

Nguyên Lý Bất Định cũng phải mất vài chục năm: Ra đời từ 1921 nhưng chưa bao giờ được nhà vật lý lớn nhất thế kỷ 20 là Einstein công nhận, ngay cả trước khi ông mất năm 1955.

Nhưng sự trả giá cho bài học thứ ba còn đắt hơn rất nhiều: Phải mất gần một thế kỷ, tức là đến cuối thế kỷ 20, nhân loại mới bắt đầu hiểu được lý do thực sự của cuộc khủng hoảng Toán Học đầu thế kỷ này. Hơn bất kỳ một bài học nào khác, bài học thứ ba này để lộ giới hạn của nhận thức.

Nếu chọn ngẫu nhiên 100 nhà khoa học và giáo dục để phỏng vấn, có lẽ 100% biết rõ bài học thứ nhất (Thuyết Tương Đối), 75% (hoặc 50%?) biết rõ bài học thứ hai (Nguyên Lý Bất Định), nhưng sẽ có bao nhiêu % biết rõ bài học thứ ba (cuộc khủng hoảng về nhận thức bản chất Toán Học)? Tôi ngờ rằng tỷ lệ này rất thấp, vì thông qua phương pháp giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông hiện nay, tôi thấy người ta đã hiểu sai bản chất và ý nghĩa của Toán Học, từ đó suy ra rằng người ta không học được bài học nào từ cuộc khủng hoảng nói trên. Bằng chứng?

Vâng, sẽ có bằng chứng, nhưng xin để dành cho bài viết kỳ sau. Bây giờ là lúc cần quay lại tích “Thầy Bói Xem Voi”, vì chính sự trả giá về nhận thức trong thế kỷ 20 đã làm cho nhân loại bừng tỉnh để “ngộ” ra triết lý sâu xa của truyện ngụ ngôn này: Nhận thức, bản thân nó chứa đựng một NGHỊCH LÝ LỚN – Khát vọng vô hạn về nhận thức mâu thuẫn với bản chất giới hạn của nhận thức!

Làm thế nào để một bộ phận có thể nhận thức được cái toàn thể?” (How can a part know the whole?), đó chính là nỗi băn khoăn từ thế kỷ 17 của Blaise Pascal – một trong những nhà khoa học và triết học sâu sắc nhất của mọi thời đại.

Một người như Pascal có lẽ có thừa óc tưởng tượng và suy luận để hình dung ra cái tổng thể mà ông khao khát muốn biểt, nhưng dường như cái đầu triết học quá sâu sắc của ông lại khuyên ông nên thận trọng. Phải chăng vì thế mà ông băn khoăn?

Trong thời đại của chúng ta, nỗi băn khoăn của Pascal vẫn mang tính thời sự. Thật vậy, dù khoa học tiến bộ đến mấy, kính viễn vọng có thể nhìn xa đến mấy, kính hiển vi điện tử có thể nhìn sâu đến mấy, cũng chẳng bao giờ nhìn thấy cái tổng thể. Khoa học chỉ suy đoán ra cái tổng thể dựa trên những quan sát bộ phận, rồi lại dùng những quan sát bộ phận để tái kiểm chứng cái mô hình tổng thể đã suy đoán. Dù cho suy đoán dựa trên những phương pháp toán học chính xác bậc nhất, nó vẫn chỉ là kết quả của suy đoán, và do đó nó luôn luôn bị thử thách nghiệt ngã bởi thực tiễn. Thực tiễn luôn luôn là ông thầy chỉ ra lỗi trong các mô hình của con người, buộc con người phải sửa chữa mô hình của mình để phù hợp với hiện thực hơn. Nhưng dù sửa chữa phù hợp đến mấy đi chăng nữa thì cũng chỉ là phù hợp với hiện thực cục bộ có thể quan sát được, thay vì chính cái hiện thực tổng thể tồn tại khách quan, độc lập với mọi suy luận và quan sát của con người.

Chẳng hạn có một thời, Mô Hình Vũ Trụ dựa trên Cơ Học Newton đã thống trị “tuyệt đối” trong tâm thức các nhà khoa học, đến nỗi Joseph Louis Lagrange, nhà toán học lỗi lạc người Pháp trong thế kỷ 18, đã phải thốt lên lời buồn phiền rằng “Newton đã tìm ra hết mọi bí mật rồi, chẳng còn gì lớn cho chúng ta làm nữa”. Nhưng may thay, Albert Einstein đã chứng minh rằng Lagrange sai!

Một số học giả tây phương hiện đại cho rằng nhận thức là một hàm tăng theo thời gian, nhưng không tăng tới vô cùng, mà bị chặn trên bởi một tiệm cận ngang – một cái ngưỡng (threshold): Hàm nhận thức ngày càng tiệm cận tới cái ngưỡng đó nhưng không bao giờ chạm tới và vượt qua!

 

thay-boi-xem-voi-2b.jpg?w=300&h=245

 

Thậm chí một số còn cho rằng khoa học ngày nay đã tiến gần đến cái ngưỡng đó. Thời gian sẽ trả lời nhận định này đúng hay sai.

Tuy nhiên, sự tồn tại của một cái ngưỡng là có thật, ít nhất điều này đã được chứng minh trong Toán Học và trong Khoa Học Computer: Đó là “Định Lý Bất Toàn” (Theorem of Incompleteness) của Kurt Godel và “Sự Cố Dừng” (The Halting Problem) của Alan Turing.

Cái ngưỡng đó làm cho một số người nản lòng, thậm chí cảm thấy khó chịu, vì không thể chấp nhận một cái ngưỡng ngáng trở nhận thức. Xin nói ngay rằng những người đó đã hiểu lầm: Chính cái ngưỡng đó làm cho cuộc sống của chúng ta có ý nghĩa hơn, hạnh phúc hơn, và khoa học sẽ đâm chồi nẩy lộc nhiều hơn, đơm hoa kết trái nhiều hơn!

Thật vậy, vì nhận thức có giới hạn, nó không bao giờ đạt tới đích cuối cùng, vì thế khát vọng khám phá sẽ được nuôi dưỡng mãi mãi, niềm vui khám phá sẽ không bao giờ cạn, trí tưởng tượng của con người sẽ tha hồ bay bổng, … điều này làm nên một trong những ý nghĩa căn bản của cuộc sống.

Immanuel Kant vĩ đại từng nói: “Mỗi câu trả lời lại đặt ra một câu hỏi mới”. Bạn nghĩ sao nếu chúng ta tìm ra một câu trả lời cho mọi thứ để rồi không còn gì đáng hỏi nữa? Cuộc sống khi đó sẽ ra sao? Nhưng chính vì không bao giờ có một câu trả lời cuối cùng nên con người tha hồ tưởng tượng để tìm câu trả lời cho những gì mình chưa biết. Nhà toán học kiêm triết học nổi tiếng Bertrand Russell đã an ủi những người lo xa: “Khoa học có thể tạo ra giới hạn đối với sự hiểu biết, nhưng không tạo ra giới hạn đối với trí tưởng tượng[6].

Nói cách khác, Bà Mẹ Tự Nhiên (The Mother Nature) không bao giờ mở cánh cửa bí mật cuối cùng cho chúng ta, mà luôn để dành những bí mật tiếp theo cho chúng ta khám phá, nhằm nuôi dưỡng chúng ta không chỉ phần xác, mà cả phần hồn!

Bí mật của Tự Nhiên giống như “Chiếc Hộp Trung Hoa” (Chinese Box) hoặc những con búp-bê Matryoshka của Nga – mỗi lần mở ra lại thấy một chiếc hộp bên trong (một con búp-bê bên trong). Mỗi chúng ta đều giống như một đứa trẻ tò mò, trông thấy chiếc hộp bên trong lại muốn mở ra xem, và lại thấy một chiếc hộp bên trong nữa. Albert Einstein chính là một đứa trẻ điển hình như thế, ông nói: “Cái đẹp nhất mà chúng ta có thể chiêm nghiệm chính là sự BÍ ẨN. Đó là ngọn nguồn của nghệ thuật và khoa học chân chính[7].

Vậy thay vì chống đối nguyên lý giới hạn của nhận thức, chúng ta nên cảm ơn nó, vì nhờ nó chúng ta luôn sống với những khát vọng lãng mạn!

Nhưng cần phải tỉnh táo, vì nếu tham vọng nhận thức trở thành vô chừng vô độ, bất chấp giới hạn thì đó lại là một vấn đề hoàn toàn khác!

 

3] Khi tham vọng trở nên vô chừng vô độ:

 

Khi đó, nhận thức có nguy cơ rơi vào không tưởng, lầm đường lạc lối, thay vì tiến lên, nhận thức trở thành một cái vòng luẩn quẩn, hoặc thậm chí thụt lùi.

Lịch sử đã từng chứng kiến phản ứng của những người nhìn xa trông rộng trước những kiểu tham vọng vô chừng vô độ như thế. Một trong những trường hợp đáng để cho chúng ta phải suy ngẫm nghiêm túc lại  là Albert Einstein. Bạn nghĩ sao khi một người như Einstein – một người có khát vọng hiểu biết cháy bỏng hơn ai hết, một đứa trẻ từng say đắm Hình Học Euclid như một kỳ quan, một nhà vật lý cần toán học như chúng ta cần không khí và nước – đã có lúc phải thốt lên:

Tôi không tin vào Toán Học[8]!

Thoạt nghe, có vẻ như đó là một chuyện bịa đặt, nhưng than ôi, đó lại là một sự thật! Xin bạn hãy bình tâm tìm hiểu sự thật này, và tôi tin rằng bạn sẽ hết ngạc nhiên nếu biết rõ rằng ấy là lúc Einstein phản ứng với những thứ toán học sáo rỗng, hình thức chủ nghĩa, toán học siêu hình (meta-mathematics), toán học tách rời thực tiễn, toán học thuần tuý suy diễn logic mà không đếm xỉa đến ý nghĩa thực tế.

Bạn sẽ dễ dàng thông cảm với Einstein nếu biết rõ rằng thứ toán học siêu hình đó đã ra đời từ một tham vọng vô chừng vô độ và không tưởng của một số nhà toán học cùng thời với ông. Những người này tin rằng tồn tại những chân lý logic hình thức tuyệt đối, độc lập với thế giới hiện thực xung quanh, và tin rằng với những phương pháp nghiên cứu đúng đắn, trước sau họ cũng sẽ tìm ra những chân lý tuyệt đối đó.

Nhưng Einstein, với trực giác siêu việt, ngay từ đầu đã không tin họ, không tin vào tham vọng ngông cuồng của họ, không tin vào hệ thống toán học thuần lý bất chấp thực tiễn của họ, và lịch sử đã đứng về phía Einstein!

Chẳng riêng Einstein, một vĩ nhân khác mà tài năng chẳng kém gì Einstein là Henri Poincaré, người được coi là Mozart của Toán Học, cũng chống đối quyết liệt thứ toán học sính hình thức đó.

Nhưng than ôi! Sức ỳ của bộ não cũng “vĩ đại” chẳng kém gì sức sáng tạo của nó: Bất chấp những người như Einstein và Poincaré, tư tưởng sính hình thức trong giới toán học, và đặc biệt trong giới giảng dạy toán học, vẫn cứ tiếp tục sống dai dẳng cho đến tận hôm nay.

Nếu đọc giả để ý quan sát, sẽ chẳng mấy khó khăn để nhận thấy bóng dáng những loại toán học này trong hệ thống giáo dục hiện nay. Đó là hậu quả tàn dư của thứ toán học hình thức mà Einstein và Poincaré chán ghét. Đó là lý do để nhiều học giả trên thế giới ngày nay phải lên tiếng cảnh báo: Hãy tỉnh táo để nhận thức nguyên lý giới hạn của nhận thức!

Trong bối cảnh đó, tích “Thầy Bói Xem Voi” tất yếu mang ý nghĩa thời sự và được làm sống lại một cách sinh động dưới nhiều hình thức, điển hình là những “mô hình bất khả” (Impossible Models), hay những “cấu trúc phi lý” (Inconsistent Structures).

 

4] Mô Hình Bất Khả:

 

Điển hình của những mô hình này là Tam Giác Penrose hoặc Bậc Thang Penrose của Sir Roger Penrose, một trong những nhà vật-lý-toán-học lớn nhất ngày nay. Ông có những đóng góp vô cùng đa dạng trong vật lý và toán học, đoạt rất nhiều giải thưởng danh giá bậc nhất về vật lý và toán. Cùng với Stephen Hawking, ông được coi là một trong những tác giả của Lý thuyết về hốc đen, như Wikipedia nhận định: “Công trình sâu sắc của ông về tính Tương Đối Tổng Quát đóng vai trò chủ yếu trong nhận thức của chúng ta về các hốc đen”. Nhưng khác với Stephen Hawking, ông không mấy tin tưởng vào khả năng “Hiểu được ý Chúa” của Einstein trước đây và của Hawking hiện nay. Bản thân những “mô hình bất khả” của ông đã nói lên điều đó.

thay-boi-xem-voi-3b.jpg?w=300&h=129

Ngắm kỹ hai mô hình trên, dễ nhận thấy chúng chỉ “khả dĩ”  (possible) hoặc “hợp lý” (consistent) trong từng cục bộ (local part), nhưng “bất khả” (impossible) hoặc “phi lý” (inconsistent) trên tổng thể (the whole), đúng như triết lý của “Thầy Bói Xem Voi”: Mỗi anh đúng một phần, Nhưng đều sai tất cả!

Tuy nhiên sẽ là bất công nếu gán cho các nhà khoa học công lao sáng tạo ra những “mô hình bất khả”. Chính các hoạ sĩ mới là những người đi tiên phong trong lĩnh vực này. Hãy ngắm bức tranh sau đây:thay-boi-xem-voi-4b.jpg?w=256&h=300

Đó là cấu trúc “Cầu thang bất khả” (Impossible Staircase) cuả hoạ sĩ Thụy Điển Oscar Reutersvard (1915-2002) được vẽ từ nửa đầu thế kỷ 20! Với hàng trăm mô hình tương tự, Reutersvard được coi là cha đẻ của ngành “hội hoạ ảo ảnh” (Illusionary Art), và chính hội hoạ đó đã tạo cảm hứng cho Penrose sáng tạo ra những mô hình của mình.

 

Tuy nhiên phải thừa nhận rằng, từ khi những nhà khoa học lớn như Penrose sử dụng các mô hình bất khả để nói lên nguyên lý bất khả trong việc nhận thức CÁI TOÀN BỘ, thì nguyên lý này mới được nhìn nhận một cách thực sự nghiêm túc, không chỉ dưới hình thức văn chương, nghệ thuật, hoặc triết học, mà ngay cả trong lĩnh vực khoa học và công nghệ. Điều này rất có lợi cho cuộc sống, vì nó hướng khoa học vào những công trình thực dụng hơn, thiết thực hơn. Sự chuyển hướng này bộc lộ rất rõ trong những Giải Nobel khoa học từ cuối thế kỷ 20 tới nay (trước đây thường dành cho những đề tài thuần tuý lý thuyết).

Tóm lại, đã có một sự bừng tỉnh về nhận thức đối với triết lý “Thầy Bói Xem Voi”. Để cảm nhận được điều đó, bạn chỉ cần ngồi vào computer rồi gõ “impossible models”, hoặc “artistic illusions”, “inconsistent art”, v.v. bạn sẽ có hàng trăm, hàng nghìn mô hình “bất khả” kỳ lạ khác nhau, trong đó rất nhiều mô hình vừa được công bố chỉ vài ngày trước khi bài báo này đến tay bạn. Điều đó nói lên rằng chủ đề này nóng hổi đến chừng nào.

Tuy nhiên, nếu bạn thật sự muốn biết các nhà khoa học và giáo dục ngày nay nghĩ gì về triết lý “Thầy Bói Xem Voi”, xin bạn hãy đọc ngay một cuốn “best-seller” của năm 1998: “What is Mathematics, Really?” (Thực ra Toán Học là gì?) cuả Reuben Hersh, một nhà toán học rất nổi tiếng ở Mỹ, trong đó tác giả đã dẫn  nguyên văn truyện Sáu anh mù ở xứ Indostan để nói về một “giấc mơ vĩ đại” của các nhà toán học trong thế kỷ 20 – Giấc mơ tìm thấy “Con Voi Toán Học”!

 

5] Thay lời kết:

 

Câu chuyện về giấc mơ tìm kiếm Con Voi Toán Học là một trong những chương có ý nghĩa nhất và quan trọng nhất trong lịch sử toán học – quan trọng đến nỗi nếu không biết gì về nó thì không những sẽ vô cùng thiệt thòi vì đã bỏ qua một trong những chương hay nhất, hấp dẫn nhất của lịch sử khoa học, mà còn có nguy cơ bị thiếu hụt một bài học vô giá về khoa học nhận thức và khoa học giáo dục.

Sự thiếu hụt ấy sẽ dẫn tới hậu quả không hiểu rõ bản chất của toán học, và do đó sẽ áp dụng một phương pháp sai lầm trong giảng dạy toán học.Đó chính là điều Reuben Hersh muốn nói, và cũng là điều mà loạt bài viết về chủ đề “Thầy Bói Xem Voi” muốn nói.

Quả thật là đang tồn tại tình trạng hiểu sai bản chất toán học, và đó là lý do căn bản dẫn tới tình trạng “dạy giả” và “học giả” tràn lan: Chưa bao giờ tình trạng học sinh không hiểu Toán, đối phó với Toán, chán Toán, sợ Toán, … ngày càng trở nên phổ biến như hiện nay.

Công bằng mà nói, tình trạng này không chỉ xẩy ra tại Việt Nam, mà đã từng xẩy ra ở ngay tại một số quốc gia  phát triển, khi những quốc gia này áp dụng một phương pháp dạy Toán mà họ tưởng là “mới”. Nhưng lịch sử giáo dục đã chứng minh rằng những phương pháp gọi là “mới” đó thực chất chỉ là sản phẩm của một tham vọng không tưởng – tham vọng tìm kiếm Con Voi Toán Học. Chính vì không tưởng nên nó đã đổ vỡ tan tành!

Tại sao một tham vọng đã đổ vỡ mà vẫn còn ảnh hưởng đến nền giáo dục hôm nay? Đó là một ẩn số cần được trả lời, và sẽ được trả lời trong bài kỳ sau: “Con Voi Toán Học & Chiếc Chén Thánh của Chủ Nghĩa Hình Thức”.

Sydney ngày 01 tháng 01 năm 2009

 

Phạm Việt Hưng

 

[1] Nghĩa đen là chiếc chén Chúa Jesus dùng trong bữa tiệc ly với các môn đệ, trước ngày Chúa bị hành hình. Nhưng trong nền văn hoá Tây phương hiện đại, thuật ngữ này thường được dùng với ý bóng, ám chỉ một tham vọng rất lớn lao nhưng không dễ gì đạt được, thậm chí chỉ là một giấc mơ không tưởng và con người không bao giờ với tới.

 

[2] Dẫn theo cuốn “Impossibility” của John Barrow.

[3] Thí dụ như Reuben Hersh ở Mỹ và Michio Kaku ở Nhật Bản.

[4] Indostan là một tên gọi cổ được sử dụng nhiều trong các thế kỷ 17, 18, 19, để gọi một vùng địa lý mà ngày nay ta gọi là Nam Á, bao gồm Ấn Độ, Pakistan, Bangladesh, Sri Lanka, Maldives, Bhutan và Nepal (những quốc gia nói chung có khí hậu nóng và chịu nhiều ảnh hưởng của nền văn minh Ấn Độ).

[5] Trích bài của La Thiếu Bình, nhan đề “Ý nghĩa sâu xa của truyện Người Mù Sờ Voi”, Khoa Học & Tổ Quốc tháng 08-2009.

[6] Nguyên văn: “Science may set limits to knowledge, but should not set limits to imagination”

[7] Xem “Phương trình của Chúa” của Phạm Việt Hưng trên Khoa Học & Tổ Quốc, số 3+4/2005

[8] Nguyên văn: “I don’t believe in Mathematics”. Xem “Impossibility” của John Barrow.

 

Nguồn: viethungpham.com


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 08-07-2015 - 20:36


#2 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 04-07-2015 - 23:20

ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN

 

Phần 2: "CON VOI TOÁN HỌC" hay "CHIẾC CHÉN THÁNH

CỦA CHỦ NGHĨA HÌNH THỨC"

 
1-henri-poincare-21.jpg?w=300&h=158

 

Bà Mẹ Tự Nhiên (The Mother Nature) đẻ ra không biết bao nhiêu đứa con kỳ lạ, nhưng kỳ lạ nhất vẫn là con người, bởi vì chỉ có con người mới nhận thức được sự tồn tại của chính Bà Mẹ đã đẻ ra nó. Nếu không có con người, Tự Nhiên sẽ trở nên vô nghĩa. Nói cách khác, nhận thức là đặc đặc trưng phân biệt con người với toàn bộ phần còn lại của vũ trụ. Chẳng thế mà Pascal đã định nghĩa “Con người là một cây sậy, một thứ yếu ớt nhất trong tự nhiên, nhưng là một cây sậy có tư tưởng[1], còn Descartes thì tuyên bố: “Tôi tư duy, vậy tôi tồn tại[2].

Nhưng dù nhận thức đóng vai trò đặc biệt đến mấy đi chăng nữa, nó vẫn chỉ là một sản phẩm của tự nhiên, và do đó nó phải tuân thủ các định luật của tự nhiên. Một trong các định luật cơ bản của tự nhiên mà nhận thức phải tuân thủ là định luật về giới hạnNhận thức không bao giờ đạt tới cái tuyệt đối, cái toàn bộ, cái tận cùng – lý lẽ không thể đi tới cùng kỳ lý! Đó chính là điều John Saxe đã nói ngay từ thế kỷ 19 bằng truyện ngụ ngôn “Thầy Bói Xem Voi”, và đã được Reutersvard hoặc Penrose nhắc lại trong thế kỷ 20 dưới dạng “những mô hình bất khả” (impossible models)[3].

Tuy nhiên, khát vọng nhận thức vốn là một lẽ sống, một hòn than vĩnh cửu cháy âm ỉ trong lòng người, nên nhiều lúc nó bùng lên thành một ngọn lửa lớn, đẩy con người vào những cuộc phiêu lưu đầy tham vọng – tham vọng “biết hết mọi thứ”, “biết đến cùng kỳ lý của sự vật”! Điển hình là cuộc phiêu lưu của Chủ Nghĩa Hình Thức (Formalism) trong toán học đầu thế kỷ 20 hòng khám phá ra “Con Voi Toán Học”, y như chuyện Sáu anh chàng ở xứ Indostanmuốn khám phá ra con voi của họ.

“Con Voi Toán Học” là gì? Xin tạm trả lời vắn tắt: Đó là một hệ thống chân lý tuyệt đối của toán học (tuyệt đối logic, tuyệt đối phi mâu thuẫn)!

Hệ thống chân lý ấy nếu tồn tại, ắt phải rất “thiêng liêng”, rất “vĩ đại”. Nhưng chính toán học đã chứng minh rằng “Con Voi Toán Học” chỉ là một giấc mơ không tưởng, và do đó nó đã được mệnh danh là “Chiếc Chén Thánh[4] của Chủ Nghĩa Hình Thức” (The Holy Grail of Formalism).

Nhưng mặc dù không tưởng, Chủ Nghĩa Hình Thức vẫn như một “bóng ma” ám ảnh mọi nền giáo dục cho đến tận ngày hôm nay.

 

1] “Bóng ma” của Chủ Nghĩa Hình Thức:

 

Nếu Chủ Nghĩa Hình Thức chỉ đóng khung trong phạm vi nghiên cứu toán học thì đó là chuyện riêng của các nhà toán học, nhưng vì nó đã xâm nhập vào giáo dục, làm méo mó hệ thống giáo dục, vì thế nó đã trở thành một vấn đề xã hội!

Thật vậy, Chủ Nghĩa Hình Thức vốn coi toán học là một hệ logic hình thức thuần tuý, hoàn toàn tách rời khỏi thế giới hiện thực, nên một khi đã xâm nhập vào giáo dục, nó biến thành một căn bệnh:

Bệnh sính hình thức, sính biến cái đơn giản thành phức tạp, sính sử dụng ký hiệu và ngôn ngữ “hàn lâm” trừu tượng thay cho ngôn ngữ đời sống, đề cao ngôn ngữ này như “tiêu chuẩn” của chân lý, đến nỗi dám coi thường truyền thống giảng dạy của cha ông, tuỳ tiện vứt bỏ hoặc đảo lộn các chương trình kinh điển, rồi chủ quan áp đặt lên trẻ em một chương trình được gọi là “mới” nhưng thực chất chẳng có gì mới, mà chỉ là một sự nhồi nhét hàng đống kiến thức hình thức sáo rỗng, biến môn toán thành một môn học khó hiểu, nặng nề, đẩy học sinh tới chỗ mất kiến thức cơ bản, phải lao đi học thêm lu bù nhằm đối phó với thi cử, miễn sao giành được “miếng cơm manh áo”. Đó chính là tình trạng “dạy giả + học giả” tràn lan hiện nay.

Để chấn chỉnh giáo dục, phải học kỹ lại bài học lịch sử về Chiếc Chén Thánh của Chủ Nghĩa Hình Thức. Học lịch sử chính là học cách nhận thức!

Đó là nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của giáo dục mà Henri Poincaré đã từng nhắc nhở chúng ta ngay từ đầu thế kỷ 20: Nhiệm vụ của nhà giáo dục là phải tạo điều kiện để cho nhận thức của trẻ em được trải nghiệm lại tất cả những gì mà tổ tiên của các em đã từng trải qua. Sự trải nghiệm lại phải tiến hành một cách nhanh chóng thông qua những chặng nhất định, nhưng tuyệt nhiên không được lấp liếm bỏ sót một chặng nào cả. Với quan điểm đó, lịch sử khoa học chính là người dẫn đường cho chúng ta[5].

Trong những chặng đường của Chủ Nghĩa Hình Thức, có một chặng rất đặc biệt, không thể lấp liếm bỏ qua, đó là chặng đường của Gottlob Frege, người từng được coi là “Ngọn đèn pha của Chủ Nghĩa Hình Thức”.

 

2] Ngọn đèn pha của Chủ Nghĩa Hình Thức:

 

Ngay từ thế kỷ 18, Immanuel Kant đã nói: “Hình học dựa trên trực giác không gian; Số học dựa trên trực giác thời gian[6].

Bước vào thế kỷ 20, David Hilbert phủ nhận Kant một cách tuyệt đối. Ông cho rằng toán học thực chất là các quan hệ logic, do đó những quan hệ này càng được hình thức hoá cao bao nhiêu thì toán học càng chính xác bấy nhiêu. Nói cách khác, toán học không phải là một khoa học thực dụng như vật lý, hoá học, bởi nó không nghiên cứu bản chất vật chất của các đối tượng, mà chỉ nghiên cứu mối quan hệ logic giữa các đối tượng đó mà thôi. Nếu toán học vấp phải nghịch lý, ấy là vì toán học trước đây vẫn còn vướng quá nhiều “bụi trần”, tức là chưa thật sự toán học, chưa thật sự là một hệ logic thuần tuý hình thức. Muốn có một nền toán học chân chính, phải giải phóng toán học một cách tuyệt đối khỏi thế giới hiện thực, phải hình thức hoá toán học một cách tuyệt đối từ nền móng cho tới thượng tầng. Muốn vậy, phải xây dựng lại toàn bộ cơ sở của toán học, hướng tới mục tiêu cuối cùng là hệ thống “siêu-toán-học” (metamathematics) – một hệ thống logic tuyệt đối siêu hình, hoàn toàn độc lập với thế giới hiện thực, cho phép giải thích và chứng minh mọi mệnh đề toán học cho tới cùng kỳ lý, loại trừ hoàn toàn mọi nghịch lý, mâu thuẫn. Hilbert tin chắc rằng với một phương pháp nghiên cứu đúng đắn, trước sau toán học sẽ đạt tới mục tiêu đó. Câu châm ngôn nổi tiếng của ông, “Chúng ta phải biết, Chúng ta sẽ biết” (Wir müssen wissen, wir werden wissen), được khắc trên bia mộ ông đã nói lên tham vọng “vá trời lấp biển” của ông.

Để chứng minh tư tưởng của mình là đúng và khả thi, bản thân Hilbert đã bỏ công xây dựng lại Hình Học Euclid. Xuất phát từ một hệ 20 tiên đề[7], ông đã xây dựng nên một thứ hình học thuần tuý hình thức, không cần hình vẽ, được gọi là Hình Học Hilbert, ra mắt năm 1899 dưới tên gọi Cơ Sở Hình Học(Grundlagen der Geometrie). Nhưng không thoả mãn với những gì đã làm được, Hilbert kêu gọi toàn thế giới toán học cùng bắt tay vào việc tái thiết toà lâu đài toán học theo “thiết kế” của Chủ Nghĩa Hình Thức.

Mục tiêu tiếp theo là Số Học: Hãy xây dựng cho số học một hệ tiên đề hình thức đầy đủ, độc lập, phi mâu thuẫn, để từ đó xây dựng nên một lý thuyết số học tuyệt đối hình thức. Đó chính là nội dung cơ bản của Bài Toán Số 2 trong số những bài toán ông nêu lên tại Hội Nghị Toán Học Thế Giới ở Paris năm 1900, như một thách thức đối với toán học thế kỷ 20.

Với uy tín lừng lẫy của bản thân, Hilbert đã tập hợp được phần lớn các nhà toán học đương thời dưới ngọn cờ của mình, bao gồm cả một kẻ thù vốn không đội trời chung với ông về hình học, đó là Gottlob Frege.

Thật vậy, Frege đồng ý với Kant rằng hình học dựa trên trực giác, và do đó đã quyết liệt chống đối Hilbert trong ý tưởng biến hình học thành một mớ logic hình thức thuần tuý. Nhưng trớ trêu thay, Frege lại đồng quan điểm với Hilbert khi cho rằng số học dựa trên logic, do đó đã trở thành cứu tinh của Hilbert về mặt số học: Frege đã lao vào làm một cuộc cách mạng về số học, nhằm biến số học thành một hệ logic hình thức thuần tuý, đúng như Hilbert mong muốn!

Để làm cuộc cách mạng đó, Frege bắt đầu xây dựng lại số học từ nền móng – định nghĩa lại khái niệm về số. Với Frege, từ nay số 2 không được hiểu một cách “tầm thường” là 2 con gà, 2 con vịt, … mà phải hiểu là tập hợp của các cặp đôi (pairs); 3 là tập hợp của các “bộ 3” (triples), một cách tổng quát, số là tập hợp của các tập hợp.

Định nghĩa ấy thể hiện tham vọng chính xác hoá các khái niệm toán học đến vô chừng vô độ: Frege đã tìm mọi cách “tẩy rửa”, vứt bỏ mọi ý nghĩa dính dáng đến vật chất cụ thể của số, vì chừng nào số còn gắn với ý nghĩa vật chất cụ thể thì chừng ấy số vẫn chứa đựng bên trong nó những “hạt sạn phi-toán-học” – nguồn gốc dẫn tới nghịch lý mâu thuẫn. Một nhà toán học đã bình luận rằng với  Frege, 3 không phải là “number three” (số 3), mà là “the threeness” (cái 3) (!).

Sau khi thanh tẩy và hình thức hoá tuyệt đối các khái niệm cơ sở của của số học, Frege đã xây dựng nên hàng trăm định lý của số học dưới dạng hình thức tuyệt đối. Toàn bộ lý thuyết của ông đã được công bố trong bộ sách đồ sộ mang tên Cơ Sở Số Học (Grundlagen der Arithmetik), một bộ sách đã làm rung chuyển thế giới toán học. Thật vậy, các nhà toán học theo Chủ Nghĩa Hình Thức đã thật sự bị choáng ngợp trước “vẻ đẹp siêu thoát tinh tuyền hình thức” trong lý thuyết của Frege. Họ phấn chấn đến mức tưởng rằng sắp tìm thấy “Chiếc Chén Thánh”, và tưởng rằng “thiên đường của chủ nghĩa hình thức” đã lấp ló đâu đó ở phía chân trời!

Đó là lúc cuộc đời Frege đạt tới tột đỉnh vinh quang. Tên tuổi của ông nổi lên như sóng cồn. Người ta gọi ông là “ngọn đèn pha của Chủ Nghĩa Hình Thức”. Cuốn Cơ Sở Số Học của ông được tôn vinh như một kiệt tác toán học, sánh vai với những tác phẩm toán học vĩ đại khác, như bộ Cơ Sở của Euclid chẳng hạn, và thậm chí được ca ngợi như cuốn “Kinh Koran của chủ nghĩa logic hình thức”, … (!)

Nếu câu chuyện dừng lại ở đây, thì quả thật không sao nói hết được sự thán phục mà người đời đã dành cho ông, và từ đó cũng có thể hiểu được vì sao Frege đã có một ảnh hưởng sâu đậm và lâu dài trong giới toán học và giáo dục toán học đến như thế: Sâu đậm và lâu dài đến nỗi sau khi lý thuyết của ông sụp đổ, ảnh hưởng của ông vẫn tiếp tục tồn tại – tồn tại không chỉ trong thời của ông và tại quê hương ông, mà tồn tại kéo dài cho tới tận ngày nay trên khắp thế giới, ngay cả trong những nền giáo dục xa lắc xa lơ với ông về mặt không gian lẫn thời gian, trong đó có nền giáo dục Việt Nam.       Ảnh hưởng ấy phổ biến đến nỗi được coi như một thứ chủ nghĩa, được gọi là “chủ nghĩa Frege mới” (Neo-Fregeanism), hoặc chủ-nghĩa-lý-thuyết-logic-tập-hợp(logic-set theoreticism), vì công cụ chủ yếu Frege sử dụng để xây dựng Cơ Sở Số Học là logic và lý thuyết tập hợp.

 

3] Chủ nghĩa Frege mới:

 

Cách đây hơn 40 năm, tôi thấy chủ-nghĩa-lý-thuyết-logic-tập-hợp chỉ mới xuất hiện trên trường đại học, mặc dù không nghe thấy vị giáo sư nào nhắc đến cái tên Gottlob Frege. Nhưng hiện nay chủ nghĩa này đã tràn xuống trường phổ thông, mặc dù hầu như không thầy cô giáo dạy toán nào ý thức được rằng mình đang thực hành cái chủ nghĩa do Frege khởi xướng từ một thế kỷ trước đây.

Có lẽ các nhà biên soạn sách giáo khoa và các thầy cô giáo dạy toán của chúng ta hiện nay không ý thức được rằng họ đang hàng ngày sử dụng những ký hiệu và ngôn ngữ của một lý thuyết đã sụp đổ, chẳng hạn ký hiệu ” (mọi), $ (tồn tại), v.v. vì đó chính là những ký hiệu và ngôn ngữ do Frege sáng tác ra khi ông biên soạn bộ Cơ Sở Số Học. Cũng có thể các nhà biên soạn sách giáo khoa và các thầy cô giáo dạy toán của chúng ta càng không ý thức được rằng họ đang bắt chước Frege trong cách trình bầy toán học, sính diễn đạt toán học bằng những ký hiệu trừu tượng hình thức, xa rời ngôn ngữ đời sống, mà hoàn toàn không biết rằng chính Frege cuối cùng đã tự phủ nhận tư tưởng toán học của bản thân mình.

Đó là một sự thật trớ trêu, quá trớ trêu, bởi vì người ta đua nhau bắt chước một phong cách của một tác giả mà chính tác giả ấy đã tự chê bai và từ bỏ. Sự trớ trêu ấy đã làm cho nhà toán học Philip Kitcher phải chua chát thốt lên rằng: “Triết học toán học 30 năm qua chỉ là một chuỗi những ghi chú cho Frege”. Một nhà toán học khác là Reuben Hersh[8], tác giả cuốn “What is Mathematics, Really?” (Thực ra Toán Học là gì?), cũng buồn rầu thừa nhận: “Bất chấp sự thất bại về mặt triết học, chủ nghĩa lý thuyết logic tập hợp vẫn thống trị nền triết học toán học ngày nay”.

Thật vậy, bất chấp những lời trăng trối do chính Frege để lại, hậu thế vẫn tiếp tục đi theo vết xe đổ của ông. Đó là một hiện tượng kỳ quái, khó hiểu, và có thể là độc nhất vô nhị trong lịch sử khoa học nói chung và toán học nói riêng. Để “giải mã” hiện tượng kỳ quái đó, có người vội đặt dấu hỏi nghi vấn: Phải chăng trong di sản của Frege vẫn có cái hay cái đẹp đáng bắt chước, vì thế mới có “chủ nghĩa Frege mới”?

Xin trả lời ngay rằng KHÔNG!

Những ai còn nghĩ như thế thì chỉ chứng tỏ rằng người đó không biết gì về Frege, không biết gì về những lời trăng trối của Frege, không biết gì về lịch sử toán học thế kỷ 20, không biết gì về những bài học đã được rút ra từ lịch sử đó. Những người này có thể từng được coi là “giỏi toán”, có một vốn liếng toán học tiếp thu từ những thập kỷ cách đây vài chục năm, nhưng sau đó chỉ đem những vốn liếng đó ra hành nghề giảng dạy mà không chịu tiếp tục học hỏi mở mang thêm, không biết rằng thế giới đã thay đổi, đặc biệt từ cuối thế kỷ 20 cho đến nay, do đó vẫn tiếp tục “nằm trong chăn” để tụng niệm ngôn ngữ của Frege, coi đó là ngôn ngữ chân chính và duy nhất của toán học, và do đó vô tình tiếp tục nuôi dưỡng Chủ Nghĩa Hình Thức.

Với những người mê ngủ đó, cần phải gõ lên tiếng kẻng báo động: Chủ Nghĩa Hình Thức đã lỗi thời rồi, thậm chí đã chết rồi, chỉ còn cái “bóng ma” của nó vẫn cứ ám ảnh những nhà giáo dục mê ngủ mà thôi!

Thật vậy, cả Hilbert lẫn Frege đều đã bị chứng minh là nhầm lẫn. Định Lý Bất Toàn (Theorem of Incompleteness) của Kurt Gödel đã phủ nhận toàn bộ chương trình Hilbert, phủ nhận toàn bộ công trình hình thức hoá số học của Frege.

kant_hilbert_frege.jpg?w=300&h=132

Kết luận trên có thể làm cho một số “học giả” dẫy nẩy lên phản ứng: Phủ nhận hình thức hoá là phủ nhận toán học, vì hình thức hoá là một phương tiện không thể thiếu của toán học, nhờ hình hức hoá mới có toán học ngày nay, chẳng hạn, nếu không hình thức hoá thì làm gì có số ảo i = , làm gì có lý thuyết số phức, làm gì có khoa học logic, và do đó làm gì có khoa học computer ngày nay, v.v. Vậy phủ nhận hình thức hoá tức là chống lại toán học, chống lại khoa học (!).

Với những “học giả” đó, cần phải nhắc lại điệp khúc “biết rồi, khổ lắm, nói mãi”, và đặc biệt, phải trích ý kiến của Reuben Hersh trong cuốn “Thực ra Toán Học là gì?” (đã dẫn). Hersh viết:

Logic là gì?          Phải chăng đó là những quy luật tư duy chính xác? Kinh nghiệm thường ngày và những nghiên cứu phong phú của các nhà tâm lý học cho thấy phần lớn tư duy của chúng ta không tuân theo logic. Từ đó suy ra rằng, hoặc phần lớn tư duy của con người là sai, hoặc logic chỉ tác động trong một phạm vi quá hẹp. Computers chính là những chiếc máy tuân thủ logic, đó chính là câu trả lời! Logic là những quy tắc của máy tính! Logic cũng áp dụng cho con người khi con người cố gắng biến mình thành những chiếc máy tính!

Xin nói rõ thêm: Bài viết này không phản đối nhu cầu hình thức hoá trong nghiên cứu toán học, nhưng phản đối việc hình thức hoá, máy móc hoá, chương trình hoá bộ não của học sinh! Học sinh là con người chứ không phải những chiếc máy tính, đúng như Hersh đã nói! Xin đừng cố gắng biến học sinh thành máy tính! Xin các nhà giáo dục hiểu cho rằng đối tượng của giáo dục là con người chứ không phải những chiếc máy! Nghệ thuật của sư phạm có những đặc điểm riêng mà một người “giỏi toán” có thể không hiểu, bởi vì bản chất của giáo dục là KHAI TÂM chứ không phải là nhồi nhét kiến thức! Ngay cả đối với sinh viên đại học chứ đừng nói tới học sinh, việc khai tâm vẫn quan trọng hơn khai trí, bởi vì một khi tâm đã động thì học sinh và sinh viên có thể tự học, tự nghiên cứu, tự mở mang, và sẽ trở thành một trí thức chân chính, trong khi những con vẹt được điểm 10 trong thi cử sẽ chỉ trở thành những chiếc máy tính loại xoàng. Rất tiếc là lối dạy học nhồi nhét hình thức ngày nay chủ yếu chỉ tạo ra những con vẹt nhiều hơn là những trí thức chân chính!

 

4] Thay lời kết:

 

Riêng Frege, không cần đợi đến khi Định Lý Bất Toàn ra đời, ông đã thay đổi quan điểm, tự ông đã phê phán tính hão huyền của Chủ Nghĩa Hình Thức. Tại sao bỗng nhiên Frege thay đổi, và Frege đã thay đổi như thế nào? Đó là một bí mật lý thú cần phải làm sáng tỏ, và sẽ được làm sáng tỏ.

Rất tiếc là nhiều nhà giáo dục hiện nay đang bắt chước Frege lại không hề biết điều đó, và do đó họ không ý thức được rằng việc ra sức nhồi nhét vào đầu trẻ em những khái niệm trừu tượng xa rời thực tiễn không những chứng tỏ sự thiếu hiểu biết về lịch sử toán học, đồng thời còn tỏ ra thiếu hiểu biết về nghệ thuật sư phạm.

Sydney ngày 12 tháng 02 năm 2009

 

Phạm Việt Hưng

 

[1] L’homme est un roseau, le plus faible de la naturemais c’est un roseaupensant.

[2] Je pense, donc je suis.

[3] Xem “Thầy Bói Xem Voi” (Phần 1) của Phạm Việt Hưng, Khoa Học & Tổ Quốc số Tháng 02-2009.

[4] “Chiếc Chén Thánh” (The Holy Grail) là một thuật ngữ  có nghĩa đen là chiếc ly Chúa Jesus đã dùng trong bữa tiệc cuối cùng với các môn đệ trước khi Chúa bị hành hình. Nhưng thuật ngữ này thường được dùng trong nền văn hoá tây phương với nghĩa bóng, ám chỉ những khát vọng có thể rất thiêng liêng, vĩ đại, nhưng quá xa vời, rất khó với tới, thậm chí không bao giờ với tới.

[5] Trích “L’enseignement mathématique”, Henri Poincaré, 1899

[6] Xem “What is Mathematics, Really?”, Reuben Hersh, Chapter 7, Immanuel Kant

[7] Xem thêm: “Hệ tiên đề Hilbert có hoàn hảo?”, Phạm Việt Hưng, Tia Sáng tháng 08-2002.

[8] Giáo sư danh dự Đại học New Mexico, nổi tiếng vì những công trình triết học toán học, từng đoạt Giải Thưởng Sách Quốc Gia Mỹ năm 1983 nhờ cuốn “Mathematical Experience”. Cuốn “What is Mathematics, Really?” được đánh giá là một “outstanding book” (một cuốn sách nổi bật) của năm 1998.

 

Nguồn: viethungpham.com


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 05-07-2015 - 15:07


#3 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 04-07-2015 - 23:38

ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN

Phần 3: LỜI SÁM HỐI của một nhà toán học

hình thức

 

dlbt-3_gottlob-frege.jpg?w=600

 

Gottlob Frege: “Nghịch lý tập hợp đã huỷ hoại lý thuyết tập hợp”

 

Nếu lòng dũng cảm và tính trung thực là thước đo nhân cách của một nhà khoa học thì Gottlob Frege (1848-1925) phải được coi là một trong những nhà khoa học có nhân cách vĩ đại nhất: Mặc dù cay đắng đến tột cùng khi tác phẩm để đời của ông – cuốn Cơ Sở Số Học(1) – bị sụp đổ tan tành chỉ vì một nghịch lý đã được phát hiện ngay trong nền tảng lý thuyết, nhưng Frege không tìm cách né tránh hoặc ngụy biện, mà ngược lại, đã xử sự như một người quân tử: Công khai thừa nhận sai lầm và rứt khoát từ bỏ lý tưởng toán học hình thức mà ông đã ấp ủ cả cuộc đời. Một năm trước khi mất, ông để lại những lời trăng trối vô cùng cảm động, như một lời sám hối về nhận thức sai lầm đối với bản chất của toán học.

“Lời của kẻ sắp mất là lời khôn”: Năm 1931, Kurt Godel công bố Định Lý Bất Toàn (Theorem of Incompleteness), cho thấy lý tưởng của Chủ Nghĩa Hình Thức chỉ là một ảo tưởng hão huyền – một cái vòng luẩn quẩn của kẻ đi tìm điểm cuối trên một đường tròn!

Trớ trêu thay, người vạch ra sai lầm của Frege lại là người vốn ngưỡng mộ Frege hết lòng: Đó là Bertrand Russell (1872-1970), một người luôn luôn khao khát tìm kiếm chân lý tuyệt đối của toán học như một con chiên ngoan đạo khao khát đức tin tôn giáo.

 

1] “Tôn giáo” của Bertrand Russell:

dlbt-3_russell.jpg?w=262&h=300

Trong cuốn “Portraits from Memory” (Những chân dung qua trí nhớ) Russell viết: “Tôi khao khát tìm kiếm cái chắc chắn (certainty) giống như người ta khao khát đức tin tôn giáo. Tôi nghĩ tính chắc chắn dường như có trong toán học nhiều hơn ở bất kỳ nơi nào khác(2). Nhưng ông không thoả mãn với những thứ toán học mà ông đã biết: “Tôi khám phá ra rằng nhiều chứng minh toán học, mà các thầy giáo của tôi muốn tôi chấp nhận, chứa đựng đầy rẫy sai lầm(3), Russell viết. Vì thế, ông cho rằng cần phải xây dựng lại toán học, sao cho toán học trở thành một hệ thống chân lý thật sự đáng tin cậy: “Nếu tính chắc chắn thật sự có thể tìm thấy trong toán học thì đó sẽ là một lĩnh vực mới của toán học, với những nền tảng vững chắc hơn những nền tảng mà cho tới nay người ta tưởng là đã vững chắc lắm rồi(4).

Với tư tưởng đó, Russell đã nghiễm nhiên gia nhập “phái nền tảng” (foundationism) – trường phái đòi xét lại nền tảng của toán học đầu thế kỷ 20. Phái này cũng chính là “phái hình thức” (formalism), bởi họ cho rằng muốn xây dựng lại toán học, phải triệt để hình thức hoá toàn bộ toán học, biến toán học thành một hệ logic tuyệt đối siêu hình, hoàn toàn tách rời thế giới hiện thực, như Russell tuyên bố: “Toán học là một khoa học mà trong đó người ta không bao giờ biết người ta đang nói về cái gì, miễn là cái điều người ta nói là đúng(5). Chẳng hạn, khi xét mệnh đề  2 + 3 = 5, toán học “chân chính” không cần biết ý nghĩa vật chất cụ thể của các số 2, 3, 5 là cái gì, miễn là có được những định nghĩa và tiên đề nào đó về số cho phép kiểm tra mệnh đề đã cho là đúng hay sai. Nói cách khác, Russell coi bản chất toán học là logic, toán học đồng nghĩa với logic-học: Đó chính là chủ nghĩa logic (logicism) mà Frege đã áp dụng để xây dựng bộ Cơ Sở Số Học và David Hilbert cũng đã áp dựng trước đó để xây dựng cuốn Cơ Sở Hình Học(6).

Chủ nghĩa ấy giống như một thứ “tôn giáo thiêng liêng”: “Tôi tin rằng toán học là nguồn chủ yếu của niềm tin vào chân lý vĩnh cửu và chính xác, cũng như vào một thế giới siêu việt có thể nhận biết được bằng trí óc(7), Russell viết. Chính vì khao khát nhận biết được cái “thế giới siêu việt” ấy nên Russell đã bàng hoàng xúc động khi đọc Cơ Sở Số Học của Frege, coi Frege như một ngôi sao dẫn đường của toán học hình thức.

Nhưng ngưỡng mộ Frege bao nhiêu, ông cũng lo lắng cho Frege bấy nhiêu, vì ông cảm thấy một nghịch lý do chính ông khám phá ra trước đó có thể huỷ hoại công trình của Frege. Đó là “Nghịch Lý Russell” (Russell’s Paradoxe), một nghịch lý đã đi vào lịch sử toán học như một trong những nghịch lý nổi tiếng nhất!

 

2] Nghịch lý Russell:

 

Russell chia tập hợp thành hai loại:

1* Tập thông thường (ordinary set), là tập hợp sao cho nó không phải là phần tử của chính nó (nó không thuộc chính nó). Thí dụ: Tập hợp những chiếc xe máy là một tập thông thường, vì tập hợp ấy không thể là một chiếc xe máy.

2* Tập lạ thường (extraordinary set), là tập hợp sao cho nó là phần tử của chính nó (nó thuộc chính nó). Thí dụ: Tập hợp của tất cả những gì không phải là chiếc xe máy. Dễ thấy tập hợp này là một phần tử của chính nó, vì tập hợp này không phải là một chiếc xe máy.

dlbt-3_motobikes.jpg?w=300&h=171

Có rất nhiều tập thông thường khác nhau cũng như có rất nhiều tập lạ thường khác nhau. Russell đề nghị xét một tập hợp đặc biệt, đó là Tập hợp của tất cả các tập thông thường. Ngay lập tức, cái đầu logic sắc sảo của Russell dẫn ông tới một câu hỏi lạ lùng nhưng lý thú:

Tập hợp của tất cả các tập thông thường là một tập thông thường hay lạ thường?

Câu hỏi trên dài quá, có thể làm mệt một số độc giả. Vậy xin rút gọn bằng cách gọi tập hợp của tất cả các tập thông thường là Tập Russell.

Khi đó, câu hỏi của Russell sẽ là:

Tập Russell là một tập thông thường hay lạ thường?

Giả sử Tập Russell là tập thông thường, lập tức suy ra nó là một phần tử của chính nó (vì Tập Russell chứa tất cả các tập thông thường). Nhưng nếu nó là một phần tử của chính nó thì nó phải là tập lạ thường, vậy Tập Russell là tập lạ thường, mâu thuẫn với giả thiết!

Giả sử ngược lại cũng dẫn tới mâu thuẫn. Tóm lại:

· Nếu Tập Russell là tập thông thường thì nó sẽ là tập lạ thường.

· Nếu Tập Russell là tập lạ thường thì nó sẽ là tập thông thường.

Đó chính là Nghịch lý Russell, được trình bầy dưới dạng ký hiệu như trong minh hoạ sau:

thayboixemvoi302.jpg

Hình bên trái: Một cái hộp chứa chính nó - một sản phẩm phi thực tế. Hình bên phải: Một tập hợp chứa chính nó - một sản phẩm của logic hình thức thuần tuý.

Logic hình thức thừa nhận một khái niệm phi hiện thực – nguồn gốc của mâu thuẫn nghịch lý

“Thủ phạm” dẫn tới nghịch lý là Tập Russell, tức tập hợp của tất cả các tập thông thường. Đó cũng chính là “thủ phạm” gây ra BẤT ỔN ngay từ trong nền móng lý thuyết của Frege, bởi Frege đã xây dựng toà lâu đài số học của mình dựa trên khái niệm nền tảng là “tập hợp của các tập hợp”: 2 là tập hợp của các cặp đôi; 3 là tập hợp của các “bộ ba”, …

Vốn ngưỡng mộ Frege hết lòng, Russell vội tìm cách cứu Frege. Ông viết thư thông báo cho Frege biết nghịch lý của mình, hy vọng Frege có thể sửa chữa được công trình, nhưng không ngờ lá thư ấy đã đẩy Frege xuống vực thẳm thất vọng, để cuối cùng dẫn ông tới một cuộc sám hối sâu sắc về nhận thức bản chất của toán học.

 

3] Lá thư quyết định số phận của Frege:

 

Ngày 16-06-1902, Bertrand Russell gửi tới Frege một lá thư, trong đó có đoạn viết: “Trong công trình của ngài, tôi tìm thấy những lý thuyết đẹp đẽ nhất trong thời đại của chúng ta mà tôi biết, và do đó tôi tự cho phép mình bầy tỏ một sự kính trọng sâu xa đối với ngài(8).

Russell không chỉ viết thư cho cá nhân Frege, mà còn giới thiệu công trình của Frege với toàn thế giới, mà trước đó hầu như nó không được ai biết đến. Có lẽ tính hình thức quá nặng nề làm cho nó trở nên khô khan, khó hiểu, không hấp dẫn. Nhưng Russell “tiêu hoá” được nó, ngưỡng mộ nó, vì chính ông cũng đang cùng với Alfred Whitehead viết một công trình tương tự: Principia Matematica (Nguyên Lý Toán Học). Nhưng tại sao Russell đã khám phá ra nghịch lý của ông từ một năm trước khi gửi thư tới Frege, mà trong thư ông vẫn coi công trình của Frege là một đột phá, một lý thuyết đẹp đẽ nhất? Đơn giản vì Russell không bao giờ từ bỏ khát vọng tìm kiếm một hệ thống chân lý tuyệt đối của toán học. Có thể ông cho rằng về căn bản Frege đã đi đúng hướng, vấn đề là Frege chỉ cần xem xét lại, sửa chữa công trình sao cho hoàn chỉnh hơn mà thôi!

Hoá ra tác giả của một trong những nghịch lý nổi tiếng nhất của toán học cũng không ý thức được rằng bản chất của toán học cũng như mọi hệ thống nhận thức khác vốn bất toàn – không tồn tại một hệ logic tuyệt đối phi mâu thuẫn – như 29 năm sau đó Godel đã chứng minh.

Đó là lý do để Russell thông báo cho Frege biết nghịch lý của mình với một thái độ rất tao nhã, khiêm tốn: “Tôi tán thành với ngài về mọi điểm, nhưng chỉ có một điểm tôi gặp phải khó khăn …(9).

Nhưng trong khi Russell khiêm tốn như thế thì chính Frege lại nhanh chóng nhận thấy nguy cơ sụp đổ toàn bộ công trình của đời mình.

Với bản chất trung thực, thẳng thắn hiếm có, ông lập tức viết thư trả lời Russell, và viết ngay một phụ lục bổ xung vào Tập 2 của bộ Cơ Sở Số Học đúng vào lúc nó chuẩn bị được đem in, như một sự công khai thừa nhận thất bại của mình: “Không còn gì tồi tệ hơn có thể xẩy đến với một nhà khoa học khi phải chứng kiến nền tảng lý thuyết của mình sụp đổ đúng vào lúc công trình được hoàn thành. Tôi đã bị đặt vào tình thế này do vừa nhận được một lá thư từ ngài Bertrand Russell(10).

Nhà khoa học có thể gặp nhiều nỗi cay đắng, nhưng hiếm có nỗi cay đắng nào giống như của Frege: Ông mất năm 1925 với tâm trạng của một kẻ tin rằng công trình của cả cuộc đời mình chỉ dẫn tới sự vô ích. Cái chết của ông không được cộng đồng khoa học biết tới(11).

Thật là đau đớn, chua chát, nhưng có lẽ nỗi chua chát lớn nhất đối với Frege là sự vô tình của người đời trước những lời trăng trối vô cùng tha thiết của ông – những lời sám hối mà lẽ ra mọi người phải biết rõ.

 

4] Những lời sám hối của Frege:

 

Năm 1924, tức một năm trước khi mất, Frege trăng trối: “Nghịch lý tập hợp đã huỷ hoại lý thuyết tập hợp”. Rồi ông nói tiếp: “Tôi càng suy nghĩ về điều này thì tôi càng đi đến chỗ tin rằng số học và hình học đều nẩy sinh từ cùng một nền tảng, thực ra là từ nền tảng hình học; Do đó toàn bộ toán học thực ra là hình học(12).

Nghĩa là ông đã vĩnh biệt giấc mơ hão huyền của chủ nghĩa hình thức để trở về với cái nôi hiện thực – cái nôi đã đẻ ra toán học. Để thấu hiểu cuộc “lột xác” này, xin độc giả nhớ lại quan điểm của Frege về hình học:

Về hình học, ngay từ đầu Frege đã là một môn đệ trung thành của trường phái Kant, coi hình học là khoa học dựa trên trực giác, tức là dựa trên thực tiễn, và do đó đối kháng 100% với David Hilbert khi Hilbert muốn biến hình học thành một hệ logic hình thức thuần tuý.

Hilbert vốn đã nổi tiếng nhưng lại càng nổi tiếng hơn vì một tuyên bố “bất hủ” của ông: “Bất kể lúc nào người ta cũng có thể nói về điểm, đường, mặt như là nói về cái bàn, cái ghế, và cốc bia(13). Có nghĩa điểm, đường, mặt trong thực tế là cái gì cũng không quan trọng, điều quan trọng là chúng có thoả mãn các mệnh đề logic (tiên đề, định lý) của hình học hay không.

Ngược lại, đối với Frege, ý nghĩa của một mệnh đề hình học gắn chặt với ý nghĩa của những đối tượng hình học nằm trong mệnh đề đó. Nếu không hiểu hoặc hiểu sai những đối tượng này thì mệnh đề hình học cũng bị hiểu sai hoặc trở nên vô nghĩa. Ông viết: “Chừng nào mà tôi hiểu những từ như “đường thẳng”, “song song”, “giao điểm” như tôi vẫn hiểu, thì chừng ấy tôi không thể không chấp nhận tiên đề đường song song. Nếu ai đó không chấp nhận nó, tôi chỉ có thể cho rằng người ấy hiểu những từ ngữ này không giống tôi. Ý nghĩa của những từ ngữ đó gắn chặt với tiên đề đường song song(14). Điều đó có nghĩa là Hilbert hoàn toàn sai khi không đếm xỉa đến ý nghĩa thực tế của các đối tượng hình học như điểm, đường, mặt.

Trong thực tế, mâu thuẫn quan điểm hình học giữa Frege và Hilbert đã bùng nổ thành một cuộc tranh cãi không thể thoả hiệp, như Reuben Hersh đã kể lại như sau:

Quan điểm theo trường phái Kant của Frege về hình học đã dẫn ông tới chỗ tấn công Hilbert. Ông nói với Hilbert rằng Hilbert không biết phân biệt một định nghĩa với một tiên đề. Hilbert đã trả lời thư đầu tiên của Frege hoặc hai thư. Sau đó Hilbert lờ đi. Nhưng Frege tiếp tục lớn tiếng. Thậm chí ông nói xa nói gần rằng Hilbert không dám tiếp tục tranh cãi nữa vì sợ những kết quả của mình có thể sai!(15)

 

5] Kết:

 

Henri Poincaré, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại, ngay từ đầu đã quyết liệt chống đối chủ nghĩa logic hình thức. Khi Nghịch Lý Russell ra đời, ông không cần che giấu sự thoả mãn khi công khai bình luận ý nghĩa tích cực của nghịch lý này với một giọng đầy giễu cợt đối với chủ nghĩa logic hình thức: “Chủ nghĩa logic cuối cùng cũng đã chứng minh được rằng nó không hoàn toàn vô ích. Phút chót nó cũng đã sinh đẻ được, nhưng lại đẻ ra một nghịch lý(16).

dlbt-3_young-poincare.jpg?w=600

Có lẽ Frege cũng nghĩ như vậy nên mới đi đến chỗ sám hối và “lột xác” 100% trong những năm cuối đời. Sự sám hối của ông là bài học vô giá, giúp chúng ta nhận ra rằng:

· Nghịch lý Russell đã huỷ hoại lý thuyết tập hợp. Nếu nó chưa đủ sức khai tử Chương Trình Hilbert như 29 năm sau Định Lý Bất Toàn của Godel sẽ làm, thì ít nhất nó cũng đã cho thấy lý thuyết tập hợp thực ra cũng chẳng phải “lý tưởng”, “chính xác”, và “tuyệt đối” như người ta đã kỳ vọng quá nhiều vào nó – kỳ vọng đến nỗi coi nó là nền tảng của toán học, muốn dùng nó làm cơ sở để diễn đạt toàn bộ toán học, và thậm chí, ra sức nhồi nhét ngôn ngữ tập hợp vào đầu học sinh phổ thông.

Thiết tưởng lời giễu cợt của Poincaré nói trên và sự sám hối của Frege cũng đã quá đủ để cho những ai có những kỳ vọng đó phải hồi tâm suy nghĩ lại. Nếu uy tín của Poincaré và Frege chưa đủ để “lay chuyển” sức ỳ của những bộ não sính hình thức chủ nghĩa thì xin cung cấp thêm một nhận định của Bách Khoa Toàn Thư Triết Học Stanford (Stanford Encyclopedia of Phylosophy) của Đại Học Stanford ở Mỹ như sau:

Ý nghĩa của Nghịch Lý Russell có thể cảm nhận được rõ ràng một khi hiểu ra rằng dựa trên logic cổ điển, mọi mệnh đề đều dẫn tới mâu thuẫn. Do đó trong con mắt của nhiều người, dường như không có một chứng minh toán học nào đáng tin cậy, một khi logic và lý thuyết tập hợp vốn là nền tảng của toán học lại là mâu thuẫn(17).

Điều này có nghĩa là gì? Có nghĩa là toán học cũng chỉ chính xác đến một mức độ tương đối nào đó mà thôi, thay vì có thể đạt tới sự chính xác tuyệt đối như nhiều người vẫn tưởng. Sự đề cao thái quá ngôn ngữ logic và tập hợp như “cây đũa thần” của toán học chỉ để lộ ra sự thiếu hiểu biết về bản chất của toán học! Nếu bài học của Frege vẫn chưa đủ để nhắc nhở những người mắc bệnh sính hình thức trong giáo dục cần xem xét lại phương pháp giảng dạy của mình thì có lẽ nên nói thêm về Định Lý Bất Toàn của Kurt Godel, Sự Cố Dừng của Alan Turing, Số Omega của Gregory Chaitin. Nhưng xin dành những chuyện đó cho bài kỳ sau.

Sydney ngày 21 tháng 04 năm 2009

 

Phạm Việt Hưng

 

Ghi Chú:

 

(1) “Die Grundlagen der Arithmetik”, Gottlob Frege, Tập I ra mắt năm 1884, Tập II ra mắt vào năm 1902, ngay sau khi Frege được biết Nghịch Lý Russell.

(2) (3) (4) (7) “What is Mathematics, Really?”, Reuben Hersh, Vintage, London, 1998, Trang 151.

(5) “Pour la SCIENCE, Les Génies de la Science, Henri Poincaré, Phylosophe et Mathématicien”, T.21

(6) “Die Grundlagen der Geometrie”, David Hilbert, xuất bản lần đầu năm 1899, tái bản và sửa chữa rất nhiều lần. Để hiểu thêm tài liệu này, xin đọc thêm “Hệ tiên đề Hilbert có hoàn hảo?” của Phạm Việt Hưng, Tia Sáng Tháng 08-2002.

(8) (9) (10) “Engines of Logic, Mathematicians & the Origin of the Computer”, Martin Davis, WW Norton & Company, New York, London 2000, T.41

(11) Tài liệu ghi chú (8) T.43

(12) (15) Tài liệu ghi chú (2) T.150

(13) (14) “Frege and Hilbert on the Foundations of Geometry”, Susan G. Sterrett

(16) Tài liệu ghi chú (2) T.200

(17) Stanford Encyclopedia of Philosophy, Russell’s Paradoxe

http://stanford.libr...ussell-paradox/

 

Nguồn: viethungpham.com


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 08-07-2015 - 21:25


#4 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 05-07-2015 - 15:13

ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN

Phần 4: Mr Why, nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ XX

 

Kurt Gödel: “My God, the mazes must be enormous”

 

kurt-godel1.jpg?w=300&h=252

Bất chấp mọi cảnh báo về sự suy thoái của chất lượng giáo dục, lối dạy học ngày nay vẫn nặng về khoa trương chữ nghĩa, hình thức sáo rỗng, nhồi nhét kiến thức nặng nề chẳng khác gì “tọng gà tọng vịt” để mang ra chợ bán. Đây là sự trộn lẫn tàn dư của truyền thống “tầm chương trích cú” trong nền giáo dục hủ nho ở Đông phương ngày xưa với ảnh hưởng tai hại của Chủ Nghĩa Hình Thức trong giáo dục ở Tây phương những năm 1960.        Lối dạy học đó đã từng bị Albert Einstein lên án không thương tiếc:

Giáo dục nhồi nhét tất yếu dẫn tới sự nông cạn và vô văn hoá(1).

Với Einstein, một nền giáo dục tốt phải biết gợi mở để người học đặt câu hỏi, vì đó là dấu hiệu khởi đầu của óc sáng tạo. Ông từng nói với sinh viên: “Điều quan trọng là người ta không ngừng hỏi(2).

Có một tấm gương không ngừng hỏi: Một cậu bé hỏi nhiều đến nỗi cha mẹ cậu phải lấy làm đau đầu rồi đặt cho cậu biệt danh “Mr Why” (Ông Tại Sao). Sau này lớn lên, “Mr Why” đã trở thành “nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20(3). Đó chính là Kurt Gödel, tác giả Định Lý Bất Toàn (Theorem of Incompleteness) – “một trong những định lý quan trọng nhất đã được chứng minh trong thế kỷ 20, sánh ngang với Thuyết Tương Đối của Einstein và Nguyên Lý Bất Định của Heisenberg(4).

Nhưng Einstein và Heisenberg nổi tiếng bao nhiêu thì tên tuổi của Gödel lại bị che khuất bấy nhiêu! Đó là một sự thật trớ trêu – ẩn số lớn nhất trong lịch sử khoa học thế kỷ 20. Giải mã ẩn số này là một việc cần thiết, vì nó không những làm sáng tỏ ý nghĩa vô cùng trọng đại của Định Lý Bất Toàn, mà còn giải thích vì sao “bóng ma” của Chủ Nghĩa Hình Thức vẫn có thể tiếp tục ám ảnh nhiều nền giáo dục trên thế giới, gây nên những hỗn loạn và tổn thất không thể đo đếm được, mặc dù chủ nghĩa này đã chính thức bị Định lý Gödel khai tử từ năm 1931.

 

1] Một gương mặt vĩ đại bị che khuất:

 

Thế kỷ XX có 3 lý thuyết cách mạng gây nên những cuộc đảo lộn triệt để chưa từng có về nhận thức: 1-Thuyết Tương Đối của Einstein, 2-Nguyên Lý Bất Định của Heisenberg, và 3-Định Lý Bất Toàn của Gödel.

Tuy nhiên, “số phận” của Định Lý Bất Toàn “bi đát” hơn hai lý thuyết kia rất nhiều: Mặc dù Thuyết Tương Đối chưa bao giờ được trao Giải Nobel nhưng nó nhanh chóng chiếm được niềm tin của giới vật lý, đưa tên tuổi Einstein lên hàng “Copernicus của thế kỷ 20(5); Nguyên Lý Bất Định tuy bị Einstein chống đối đến cùng, nhưng được Niels Bohr và rất nhiều nhà vật lý hàng đầu ủng hộ, sớm làm cho lý thuyết của Heisenberg có ảnh hưởng lớn trong vật lý.   Trong khi đó, Gödel chủ yếu chỉ được giới học thuật gần gũi với ông biết đến. Định lý của ông trong một thời gian rất dài không được phổ biến rộng rãi. Trừ một vài nhân vật xuất chúng sớm nhận thấy tầm quan trọng của định lý này, còn đại đa số các nhà toán học khác vẫn nuối tiếc lý tưởng của Chủ Nghĩa Hình Thức, mặc dù lý tưởng ấy đã bị Định Lý Gödel chứng minh là huyễn hoặc, không tưởng. Trước khi Định Lý Gödel ra đời, trường phái hình thức gần như thống trị toán học, khuynh đảo tư tưởng toán học, vì thế thói tự phụ của nó rất lớn, sức ỳ của nó cũng rất lớn. Nó không dễ giơ tay đầu hàng như một võ sĩ quân tử bị đấm gục trên sàn đấu. Tính bảo thủ trong khoa học đôi khi lớn hơn rất nhiều so với những gì chúng ta vẫn kỳ vọng vào tính khách quan của khoa học! Hậu quả là Định Lý Gödel bị rất nhiều nhà toán học tảng lờ, nếu không muốn nói là ngấm ngầm chống đối. Trong bối cảnh ấy, tên tuổi của Gödel bị che khuất là điều dễ hiểu. Sự thật này đã được John Casti & Werner DePauli nhấn mạnh ngay trong Lời Nói Đầu của cuốn “Gödel, A Life of Logic” (Gödel, một cuộc đời cho Logic):

Trong dịp lễ chào mừng thiên niên kỷ mới, tạp chí Time đã công bố danh sách 100 nhân vật vĩ đại nhất của thế kỷ 20. Kurt Gödel được liệt trong danh sách đó như là nhà toán học vĩ đại nhất. Tuy nhiên, nếu bạn lựa chọn ngẫu nhiên 100 người và hỏi họ “Quý vị có biết Kurt Gödel là ai không?”, thì dường như chắc chắn là quý vị sẽ nhận được câu trả lời không đồng nhất. Tình hình sẽ hoàn toàn khác nếu bạn hỏi ai là nhà vật lý vĩ đại nhất thế kỷ 20, câu trả lời sẽ đồng nhất: Einstein, …Năm 1965, trong thư gửi ngài bộ trưởng ngoại giao Áo Bruno Kreysky (sau này làm thủ tướng), nhà kinh tế học đáng kính người Áo Oskar Morgenstern viết: “Tuyệt đối chẳng còn gì để nghi ngờ rằng Gödel là nhà logic vĩ đại nhất đang còn sống; thật vậy, những nhà tư tưởng xuất chúng như Hermann Weyl và John Von Neumann đều đã tuyên bố Gödel rứt khoát phải là nhà logic vĩ đại nhất kể từ Leibniz, hoặc thậm chí kể từ Aristotle. Nhưng dường như trong toàn bộ lịch sử của Đại học Vienna, không có tên tuổi của một gương mặt nào từng giảng dạy ở đó lại bị che khuất như tên tuổi của Gödel …Có lần Einstein nói với tôi rằng công trình nghiên cứu riêng của ông không còn có ý nghĩa nhiều đối với ông nữa, và rằng ông đến Viện nghiên cứu(6) đơn giản chỉ để có đặc ân được đi bộ về nhà cùng với Gödel mà thôi”.

Hoá ra “nhà logic vĩ đại nhất kể từ Aristotle”, người mà Einstein “đến Viện nghiên cứu đơn giản chỉ để có đặc ân được cùng đi bộ về nhà” lại chẳng được giới toán học hưởng ứng nhiệt liệt như giới vật lý đã dành cho Thuyết Tương Đối và Nguyên Lý Bất Định. Tại sao vậy? Vì Định Lý Gödel đã làm tan “giấc mộng vàng” của Chương Trình Hilbert – giấc mộng làm mê hoặc lòng người vì nó hứa hẹn sẽ dẫn toán học tới “thiên đường hoàn mỹ”!

 

2] “Giấc mộng vàng” của Chương Trình Hilbert:

 

Giấc mộng ấy xuất phát từ một nhận thức bản năng cố hữu rằng toán học là một cái gì đó xác định, tuyệt đối chặt chẽ, không thể có kẽ hở logic. Kiểu nhận thức ấy lộ rõ trong “mốt” dạy toán hiện nay: Chú trọng thái quá vào những biện luận tiểu tiết mà bỏ quên việc nhấn mạnh và khơi gợi ý nghĩa thực tiễn của bài toán. Nhận thức ấy càng “vững chắc” bao nhiêu thì càng dễ khủng hoảng bấy nhiêu trước những “sự cố bất định” trong toán học. Chẳng hạn: Tổng S = 1 – 1 + 1 – 1 + … = ? Dễ dàng chứng minh S = 0 hoặc S = 1 hoặc S = ½ . Hoá ra toán học cũng “bất định” ư? Đó là một nghịch lý, và toán học không thể chấp nhận nghịch lý!

Nhưng “bất hạnh” thay, đầu thế kỷ 20, toán học đã lâm vào khủng hoảng nghịch lý (paradoxe crisis) trầm trọng chưa từng có, trong đó Nghịch Lý Russell là “cơn địa chấn 8 độ richter”, đe doạ làm sụp đổ toà lâu đài toán học vì nó đã chỉ ra những vết rạn nứt ngay từ trong nền móng(7).

Thay vì linh cảm mách bảo nghịch lý chính là tín hiệu báo động bản chất bất toàn của mọi hệ logic (như sau này Định lý Gödel đã chỉ rõ), phần lớn các nhà toán học đã tập hợp lại dưới ngọn cờ của David Hilbert để lo sửa chữa, tái thiết lại toà lâu đài toán học, với nhiệm vụ cấp bách là làm “vệ sinh” cho toán học – “tẩy rửa” mọi nghịch lý ra khỏi toán học!

Đó là lý do ra đời Chương Trình Hilbert, với tham vọng “vá trời lấp biển”: Xây dựng một hệ thống siêu-toán-học (meta-mathematics) – một hệ thống toán học tuyệt đối siêu hình, tuyệt đối thoát ly khỏi thế giới hiện thực, cho phép XÁC ĐỊNH tính trắng/đen, đúng/sai của bất kỳ một mệnh đề toán học nào và chứng minh tính phi mâu thuẫn của toàn bộ toán học.

Để xây toà lâu đài siêu-toán-học, cần có những công cụ lý tưởng, nhằm đảm bảo tuyệt đối loại bỏ các “tạp chất phi-toán-học” ra khỏi toán học. Công cụ “lý tưởng” ấy đã sẵn có: Logic và lý thuyết tập hợp, như Hermann Weyl mô tả : “Logic là phép vệ sinh mà các nhà toán học thực hành nhằm giữ cho tư tưởng của họ được khoẻ mạnh và chắc chắn(8). Kể từ đó, chủ nghĩa tôn sùng logic và tập hợp ra đời, nghiễm nhiên trở thành tư tưởng thống trị toán học, rồi dần dần trở thành một “mốt thời thượng”, cứ như là nếu không có logic và tập hợp thì toán học sẽ tiêu vong (!?).

Cũng chính từ đó, nhận thức về bản chất của toán học bắt đầu bị méo mó: Toán học bị đồng nhất với Logic hình thức (Logic thuần tuý suy diễn bằng ký hiệu, bất chấp ý nghĩa thực tế của các đối tượng toán học).

Sự méo mó ấy đạt tới mức tột đỉnh khi người ta hạ thấp vai trò thực dụng của toán học, để dồn mọi nỗ lực vào việc tìm kiếm hệ thống siêu-toán-học – thực chất là tìm kiếm một thứ TOE (Theory of Everything) của toán học), tức một “Lý Thuyết Về Mọi Thứ” của toán học! Nỗ lực ấy được cổ vũ mạnh mẽ bởi tuyên bố chắc nịch của Hilbert:

Chúng ta phải biết; Chúng ta sẽ biết

(Wir müssen wissen; wir werden wissen)

Nhưng “lúc vui nhất là lúc nên về(9) – “Lễ hội tưng bừng” của Chương Trình Hilbert bị chấm dứt đột ngột vào năm 1931, khi Gödel công bố Định Lý Bất Toàn: “Năm 1931, một nhà toán học mới có 25 tuổi đã công bố một công trình vĩnh viễn phá huỷ niềm hy vọng của Hilbert. Kurt Gödel đã buộc các nhà toán học phải chấp nhận rằng toán học sẽ không bao giờ hoàn thiện về mặt logic, …Đây là một đòn trí mạng giáng vào chương trình Hilbert(10). Hoá ra “giấc mộng vàng” của Chương Trình Hilbert chỉ là một giấc mơ không tưởng, y như giấc mơ của “Sáu anh chàng ở xứ Indostan(11) muốn khám phá ra Con Voi của họ. Và hoá ra siêu-toán-học chỉ là một “Con Voi Toán Học” hay “Chiếc Chén Thánh của Chủ Nghĩa Hình Thức(12) mà thôi. Vậy đã đến lúc cần biết rõ nội dung Định Lý Gödel, để hiểu vì sao nó lại trở thành “đòn trí mạng” đối với Chủ Nghĩa Hình Thức của Hilbert.

 

3] Nội dung của Định Lý Bất Toàn:

 

Nguyên văn Định Lý Gödel được trình bầy bằng ngôn ngữ logic hình thức, rất khó hiểu đối với những người không chuyên ngành. Nhưng may thay, nó đã được phiên dịch sang ngôn ngữ thông thường để bất cứ ai cũng có thể hiểu được. Gọi chung là Định Lý Bất Toàn nhưng thực ra có hai định lý. Cả hai đều chỉ ra rằng toán học về bản chất là bất toàn (không đầy đủ), vì nó luôn chứa đựng những mệnh đề không quyết định được (undecidable), tức những mệnh đề không thể chứng minh và cũng không thể bác bỏ.

Định lý 1: Nếu một lý thuyết dựa trên một hệ tiên đề phi mâu thuẫn thì trong lý thuyết ấy luôn luôn tồn tại những mệnh đề không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ.

Định lý 2: Không tồn tại bất cứ một quy trình suy diễn nào cho phép chứng minh tính phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề.

Chẳng hạn, hãy xét mệnh đề được đóng khung sau đây:

Mệnh đề này không có bất cứ một chứng minh nào

Chú ý rằng đó là một mệnh đề nói về chính nó.

Nếu mệnh đề trên sai, suy ra phủ định của nó đúng, tức là nó có thể chứng minh được, nhưng kết luận này trái với nội dung của chính nó. Vậy buộc nó phải đúng, tức là không thể chứng minh được.

Phiên dịch ngược mệnh đề trên sang ngôn ngữ của logic toán, chúng ta sẽ có một mệnh đề toán học đúng nhưng không thể chứng minh được.

Đặc trưng của loại mệnh đề này là ở chỗ nó nói về chính nó, vì thế chúng được gọi là “mệnh đề tự quy chiếu” (self-referential statements).

Từ xa xưa, khoảng 600 năm trước CN, một nhà thơ kiêm triết gia cổ Hy Lạp là Epimenides ở xứ Cretan cũng đã nêu lên một mệnh đề về một kẻ tự nói về mình, “Ta là kẻ nói dối!” (I am a liar!), để khuyến cáo các nhà thông thái về cái vòng logic luẩn quẩn của những mệnh đề tự nói về mình. Mệnh đề này rất nổi tiếng và đã đi vào lịch sử triết học, ngôn ngữ học, logic học với tên gọi “Nghịch lý Cretan” hay “Nghịch lý Epimenides”.

Siêu Toán Học xét cho cùng chính là một hệ thống toán học tự quy chiếu, bởi vì nó dùng toán học để phán xét chính bản thân toán học!

Vậy Chương Trình Hilbert ắt phải sa vào cái vòng logic luẩn quẩn, như một kẻ đi tìm điểm cuối cùng trên một đường tròn vậy. Chính Nghịch Lý Russell đã chỉ ra cái vòng luẩn quẩn trong Số Học của Frege, nhưng đáng tiếc là Russell lại không nhận ra bản chất bất toàn của logic toán học, nên ông lại tìm mọi cách “khắc phục” sai lầm của Frege, hòng tiếp tục giương cao ngọn cờ của Chủ Nghĩa Hình Thức. Phải đợi đến khi Định Lý Gödel ra đời thì Chủ Nghĩa Hình Thức mới thật sự bị khai tử! Thật vây:

● Nếu Chương trình Hilbert có tham vọng xác định rứt khoát tính trắng/đen, đúng/sai của bất kỳ một mệnh đề nào thì Định Lý Gödel lại khẳng định toán học tồn tại những mệnh đề không thể quyết định được!

● Nếu Chương trình Hilbert muốn chứng minh tính phi mâu thuẫn của toàn bộ toán học thì Định Lý Gödel lại khẳng định không tồn tại một quy trình nào để chứng minh tính phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề!

Cụ thể, Hilbert muốn chứng minh tính phi mâu thuẫn của Hệ Tiên Đề Số Học (bài toán số 2 trong số 23 bài toán Hilbert thách thức thế kỷ 20), nhưng Định Lý Gödel khẳng định rằng bài toán ấy là vô vọng.

Định lý 2 có thể nói rõ hơn như sau: Không thể kiểm tra tính phi mâu thuẫn của một hệ thống A nếu chỉ sử dụng những tiên đề của hệ A, bởi vì trong hệ A luôn tồn tại những mệnh đề không quyết định được. Muốn kiểm tra tính phi mâu thuẫn của hệ A, buộc phải đi ra ngoài hệ A để bổ sung thêm những tiên đề mới cho A. Khi đó ta có một hệ thống mới, gọi là A mở rộng, trong A mở rộng lại xuất hiện những mệnh đề mới không quyết định được. Quy trình đó cứ tiếp diễn mãi và rốt cuộc là chẳng bao giờ đi tới đích cuối cùng. Vậy tham vọng tìm kiếm “Con Voi Toán Học” là BẤT KHẢ!

Sự thật tưởng như đã quá rõ, vậy mà “bóng ma” của Chủ Nghĩa Hình Thức vẫn tiếp tục ám ảnh nhiều nhà toán học và giáo dục cho đến tận hôm nay. Đó là trào lưu “Toán Học Mới” ở phương Tây những năm 1960, và là hiện tượng “dạy giả + học giả” ở nước ta hiện nay mà báo chí không ngừng phàn nàn kêu ca.

Nhưng nếu toàn bộ cộng đồng toán học mà bảo thủ như vậy thì ai là người đã đưa tên tuổi Gödel trở lại đúng vị trí và tầm vóc của ông như hôm nay? Tại sao tạp chí TIME lại tôn ông là nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20?

Đó là nhờ công sức của những nhân vật lỗi lạc mà chủ yếu đều hoạt động trong lĩnh vực khoa học computer. Đầu tiên phải nhắc đến John von Newman, một nhà khoa học phi thường, một trong những ông tổ của khoa học computer tại Mỹ. Vốn là một cộng sự đắc lực trong Chương Trình Hilbert, nhưng ngay sau khi biết Định Lý Gödel, Newman đã lập tức huỷ bỏ các bài giảng theo chủ nghĩa hình thức để thay thế bằng Định Lý Gödel. Cùng với những công trình của Alan Turing và Alonso Church, và sau này của Gregory Chaitin, giới khoa học computer càng ngày càng nhận thấy Định Lý Gödel có ý nghĩa lớn hơn rất nhiều so với trước đây người ta tưởng: Ý nghĩa ấy vượt ra khỏi phạm vi toán học, bao trùm lên hàng loạt ngành khoa học mũi nhọn trong xã hội hiện đại, đặc biệt là khoa học computer, và cuối cùng là ý nghĩa sâu xa về triết học nhận thức.

Ý nghĩa triết học đó đã được chính Gödel nói rõ: “Ý nghĩa của cuộc sống là ở chỗ biết phân biệt ước muốn với hiện thực”!

Hệ thống giáo dục hiện đại có quá nhiều ước muốn – ước muốn tiến thật nhanh, ước muốn biến trẻ em thành những “thần đồng” – nhưng lại chẳng hiểu gì về khái niệm giới hạn của nhận thức mà truyện ngụ ngôn “Thầy Bói Xem Voi”(13) của John Saxe đã nói từ lâu và Định Lý Gödel đã khẳng định một cách không thể chối cãi được dưới dạng toán học!

Vậy trong khi giới khoa học và công nghệ computer thấy rõ ý nghĩa trọng đại của Định Lý Gödel để hướng nghiên cứu vào những đề tài thực tiễn, dẫn tới cuộc cách mạng thông tin ngày nay, thì nền giáo dục phổ thông lại khư khư ôm chặt cái tinh thần “cổ lỗ sĩ” của Chủ Nghĩa Hình Thức, biến sự học thành “hư học”, tụt hậu, không theo kịp đà phát triển của khoa học và công nghệ. Đó là một nghịch lớn về giáo dục. Nghịch lý ấy xuất phát từ chỗ không nhận thức được ý nghĩa và tầm vóc của Định Lý Gödel.

 

4] Ý nghĩa và tầm vóc của Định Lý Gödel:

 

● Trong cuốn “An incomplete Education” (Một nền giáo dục không đầy đủ), Judy Johns và William Wilson viết:

-Định Lý Gödel cũng được sử dụng để lý luận rằng computer sẽ chẳng bao giờ thông minh như con người, bởi vì phạm vi hiểu biết của nó bị giới hạn bởi một hệ tiên đề cố định, trong khi con người có thể khám phá ra những chân lý không thể dự đoán trước …

-Định lý này cũng đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết ngôn ngữ hiện đại, trong đó người ta nhấn mạnh rằng khả năng diễn tả của ngôn ngữ sẽ tăng lên bằng những phương cách mới nhằm thể hiện ý tưởng.

-Định lý này cũng được dùng để giải thích rằng bạn sẽ chẳng bao giờ hoàn toàn hiểu được chính bạn, bởi vì ý nghĩ của bạn, giống như bất kỳ một hệ thống khép kín nào khác, chỉ có thể biết về bản thân mình dựa trên những kiến thức của chính mình. (Khi chúng ta tự nhận định về bản thân mình thì hệ tư duy của chúng ta trở thành một hệ tự quy chiếu, PVH).

● John von Neuman, người có mộ chí cách mộ Gödel chỉ 10m, nói:

-Theo những trải nghiệm của những người hiện còn sống, (thế kỷ 20) đã có ít nhất 3 cuộc khủng khoảng nghiêm trọng … trong đó có 2 cuộc khủng hoảng về vật lý, được gọi là khủng hoảng về nhận thức, đó là việc khám phá ra thuyết tương đối và lý thuyết lượng tử … Cuộc khủng hoảng thứ ba xẩy ra trong toán học. Đó là một cuộc khủng hoảng nghiêm trọng về nhận thức, liên quan tới việc tìm kiếm những phương pháp đúng đắn và chặt chẽ để đưa ra một chứng minh toán học chính xác. Toán học trước đây vốn được coi là tuyệt đối chặt chẽ, vì thế cuộc khủng hoảng này là hết sức bất ngờ, và lại càng bất ngờ hơn vào những ngày về sau, khi mà những phép mầu tưởng rằng không thể nào xẩy ra. Tuy nhiên nó đã xẩy ra(14) (“Phép mầu” ấy chính là Định Lý Bất Toàn của Kurt Gödel, PVH).

● Bách khoa toàn thư Wikipedia cũng nhận định:

-Định Lý Bất Toàn của Gödel … có ý nghĩa vô cùng quan trọng đối với triết học toán học. Nó … đã chỉ ra rằng chương trình của Hilbert nhằm tìm kiếm một hệ tiên đề đầy đủ và phi mâu thuẫn cho toàn bộ toán học là BẤT KHẢ, và do đó nó đã cho một câu trả lời phủ định đối với bài toán số 2 của Hilbert(15).

● Trong cuốn “Gödel, A Life of Logic” (đã dẫn), John Casti & Werner DePauli nhấn mạnh những ý nghĩa cực kỳ quan trọng sau đây:

-Gödel đã khám phá ra rằng cho dù tồn tại những chân lý về mối quan hệ giữa các con số thuần tuý (ý nói các con số tách rời ý nghĩa vật chất thực tế, PVH), thì các phương pháp suy diễn logic thực ra vẫn quá yếu để chúng ta có thể chứng minh tất cả những chân lý đó. Nói cách khác, đơn giản là thế giới chân lý lớn hơn thế giới chứng minh.

-Việc công bố một chứng minh không thể phản bác được rằng tồn tại những mệnh đề toán học được coi là đúng nhưng không thể chứng minh được, như Gödel đã làm năm 1931, đã gây chấn động thế giới toán học như một vụ nổ không khí ở Bắc cực giữa mùa đông lạnh buốt.

-Kết luận chủ yếu của Wittgenstein, rằng “logic là cần chứ không đủ để mô tả bất kỳ một thực tế khách quan nào”, và rằng “ngôn ngữ không thể bắt kịp với tất cả những gì tồn tại trên thế giới”, đã được Gödel trình bầy dưới dạng toán học … Về căn bản, cái mà Godel chỉ ra là không có một dạng toán học nào có thể đủ thông minh để biểu hiện đầy đủ khái niệm chân lý thường ngày.

● Nhận định trên cũng được Hofstadter nhấn mạnh trong cuốn Gödel, Escher, Bach như sau:

-Gödel đã chỉ ra rằng thế giới chứng minh là một thế giới nhỏ hơn thế giới chân lý, bất kể hệ tiên đề của thế giới ấy ra sao.

Có nghĩa là toán học – lĩnh vực nhận thức mà ta tưởng là “ông vua của các khoa học” – thực ra cũng rất “yếu”: Bằng trực giác, con người có thể cảm nghiệm được những chân lý toán học mà chính toán học không thể chứng minh! Gödel đã mô tả điều này rõ hơn ai hết:

Thế giới chân lý có thể chứng minh được quá nhỏ so với thế giới chân lý có thể nhận thức được (bằng trực giác + mọi phương tiện nhận thức), nhưng thế giới chân lý nhận thức được lại quá nhỏ bé so với thế giới hiện thực.

Có nghĩa là thế giới hiện thực quá mênh mông so với thế giới có thể chứng minh được! Vì thế Gödel không thể cầm lòng mà thốt lên:

godel_conception-space1.jpg?w=600

“My God, the mazes must be enormous!” (Ôi lạy Chúa, cái mê cung (Ngài tạo ra) mới khổng lồ làm sao!). Lời thán này làm ta nhớ đến lời thán của Pierre Simon de Laplace một thế kỷ trước: “Ce que nous savons est peu de choses, ce que nous ignorons est immense” (Cái ta biết thì quá ít ỏi, cái ta không biết thì mênh mông). Nhưng Laplace chỉ nói như một tâm sự triết lý, trong khi Gödel nói như một khẳng định khoa học! Đó không phải là chủ nghĩa “bất khả tri” (Agnosticism), mà là khoa học về giới hạn của nhận thức.

● Bách Khoa Toàn Thư Triết Học Stanford (Stanford Encyclopedia of Phylosophy) cho biết(16)-Năm 1986, Solomon Feferman (giáo sư Đại Học Stanford, Mỹ, một nhà toán học và triết học khoa học nổi tiếng) nhận định rằng Kurt Gödel chiếm một vị thế không ai có thể so sánh được: Đó là nhà logic quan trọng nhất trong thời đại chúng ta … Có lẽ trong số những thành tựu có ý nghĩa nhất về logic kể từ những thành tựu của Aristotle, Đinh Lý Bất Toàn của Gödel là một bước ngoặt trong toán học thế kỷ 20. Công trình của ông đụng tới mọi lĩnh vực của logic toán học, nếu không phải là nguồn kích thích căn bản trong hầu hết các trường hợp. Trong công trình triết học của mình, Gödel đã trình bầy và bảo vệ chủ nghĩa Platonism trong toán học, bao gồm quan điểm cho rằng toán học là một khoa học mô tả, và rằng nhận thức chân lý toán học là một đối tượng khách quan (thay vì chủ quan do con người tự nghĩ ra, PVH).

● Và sau đây là nhận định trên một số trang mạng khoa học(17):

-Gödel đã chỉ ra rằng có những bài toán không thể giải được bằng bất kỳ một tập hợp quy tắc hoặc quy trình nào; để giải những bài toán đó, người ta luôn luôn phải mở rộng hệ tiên đề. Điều này đã phủ nhận một niềm tin phổ biến vào thời đó rằng các ngành toán học khác nhau có thể tập hợp lại và đặt trên một nền tảng logic duy nhất.

-Sau này Alan Turing đã đưa ra một diễn giải những kết quả của Godel bằng cách đặt chúng trên một cơ sở thuật toán: Có những con số và hàm số không thể tính toán được bằng bất kỳ một chiếc máy logic nào.

-Gần đây hơn, Gregory Chaitin, một nhà toán học làm việc tại IBM, đã nhấn mạnh rằng những kết quả của Godel và Turing đã xác định những giới hạn cơ bản đối với toán học.

-Là một trong những nhà logic xuất sắc nhất của mọi thời đại, Gödel với công trình của ông đã gây ra một va chạm vô cùng lớn đối với tư duy khoa học và triết học thế kỷ XX, vào lúc mà rất nhiều người, như Bertrand Russell, Alfred Whitehead và David Hilbert đang cố sử dụng logic và lý thuyết tập hợp để hiểu được toàn bộ nền tảng của toán học .

-Định lý Gödel đã chấm dứt một nỗ lực kéo dài một trăm năm hòng thiết lập một hệ tiên đề cho toàn bộ toán học. Nỗ lực chủ yếu đã được thực hiện bởi Bertrand Russell trong cuốn Principia Mathematica(1910-1913). Một nỗ lực khác là chủ nghĩa hình thức của Hilbert, nhưng nỗ lực này đã bị giáng một đòn chí tử bởi những kết quả của Gödel.

-Định lý Gödel là một bước ngoặt trong toán học thế kỷ 20, chỉ ra rằng toán học không phải là một cái gì đó hoàn hảo như ta vẫn tưởng. Định lý này cũng được sử dụng để ngụ ý rằng không bao giờ có thể lập được một chương trình cho computer để trả lời mọi câu hỏi toán học.

 

5] Kết:

 

Tầm vóc của Định Lý Gödel quá lớn, nhưng bài báo đã quá dài, phải tạm kết ở đây bằng những câu hỏi để cùng suy ngẫm:

-Liệu có thể hiểu đúng bản chất của toán học bằng cách đóng khung hiểu biết trong các tiên đề và định lý toán học không? Gödel gợi ý chúng ta rằng muốn hiểu toán học đầy đủ hơn, phải đi ra ngoài toán học! Vậy bên ngoài toán học là cái gì, nếu không phải là những phương tiện khác của nhận thức và đặc biệt là nhận thức trực giác dựa trên quan sát cuộc sống thực tế?

-Có phải Logic là “chiếc kim la bàn hướng tới chân lý” không? “Logic là gì? Phải chăng đó là những quy luật tư duy chính xác? Kinh nghiệm thường ngày và những nghiên cứu phong phú của các nhà tâm lý học cho thấy phần lớn tư duy của chúng ta không tuân theo logic. Từ đó suy ra rằng, hoặc phần lớn tư duy của con người là sai, hoặc logic chỉ tác động trong một phạm vi quá hẹp. Computers chính là những chiếc máy tuân thủ logic, đó chính là câu trả lời! Logic là những quy tắc của máy tính! Logic cũng áp dụng cho con người khi con người cố gắng biến mình thành những chiếc máy tính!(18).

-Định Lý Gödel khuyến cáo rằng không thể có bất cứ một thứ TOE (Lý Thuyết Về Mọi Thứ) nào cả. Vậy khoa học có nên tốn quá nhiều tiền của và chất xám vào những đề tài phiêu lưu, nặng về khoa trương sáo rỗng không? Một lần nữa xin nhắc lại di huấn của chính Gödel: “Ý nghĩa của cuộc sống là ở chỗ biết phân biệt ước muốn với hiện thực”!

golds-span-21.jpg?w=300&h=159

-Liệu việc nhồi nhét logic và tập hợp vào đầu trẻ em có biến trẻ em thành những “thần đồng” không? Giáo dục phổ thông là gì, nếu không KHAI TÂM mà chỉ lo khái trí, nhồi nhét kiến thức? Tạp chí TIME ngày 30-04-2001 cảnh báo: “Vậy bạn muốn biến trẻ em thành thần đồng? … Hãy vứt những danh hiệu phô trương đi, hãy nghỉ ngơi và để cho trẻ em là trẻ em”! Trong con mắt của tác giả bài viết này, đó chính là một hệ quả suy rộng tuyệt vời của Định Lý Gödel sang lĩnh vực giáo dục!

 

Sydney ngày 06 tháng 06 năm 2009

Phạm Việt Hưng

Chú thích:

(1): “Thế giới như tôi thấy”, Albert Einstein, NXB Tri Thức, 2005, Trang 49

(2): “Einstein”, Nguyễn Xuân Xanh, NXB Tổng Hợp TP HCM, 2007, Trang 1

(3): Đánh giá của tạp chí TIME, được nhắc lại trong “Gödel, A Life of Logic”, John Casti & Werner DePauli, Perseus Publishing, Cambridge, Massachusetts, 2000.

(4): Nhận định về Định lý Gödel trên trang web eiNET.net:

http://www.einet.net...ess_Theorem.htm

(5): Đánh giá của Planck dành cho Einstein khi Einstein công bố Thuyết Tương Đối.

(6): Viện nghiên cứu cao cấp Princeton (Insitute For Advanced Study, Princeton), Mỹ

(7): Xem “Lời sám hối của một nhà toán học hình thức”, Phạm Việt Hưng, Khoa Học & Tổ Quốc Tháng 05-2009, hoặc trên mạng Vietsciences (http://vietsciences.free.fr/) Tháng 05-2009.

(8): Xem “Định lý cuối cùng của Fermat”, Simon Singh, bản dịch của Phạm Văn Thiều và Phạm Việt Hưng, NXB Trẻ 2004, Chương 4.

(9): Lời của William Shakespeare

(10): Xem tài liệu đã dẫn trong ghi chú (8).

(11): Xem “Thầy Bói Xem Voi”, Phạm Việt Hưng, Khoa Học & Tổ Quốc, Tháng 02-2009 và trên mạng Vietsciences Tháng 02-2009.

(12): Xem “Con Voi Toán Học hay Chiếc Chén Thánh của Chủ Nghĩa Hình Thức”, Phạm Việt Hưng, Khoa Học & Tổ Quốc Tháng 03-2009 và trên mạng Vietsciences Tháng 03-2009.

(13): Xem tài liệu ghi chú (11).

(14) Xem International Journal of Theoretical Physics 21 (1982), Gregory J. Chaitin, trên trang web:http://www.cs.auckla...in/georgia.html

(15) Xem Wikipedia, mục từ Gödel’s incompleteness theorems. Bài toán số 2 là tìm một hệ tiên đề đầy đủ và phi mâu thuẫn cho Số Học.

(16) Xem trang mạng: http://plato.stanfor...entries/goedel/

(17): Xem các trang mạng sau đây:

http://www.explorato...icon/godel.html

http://picturesofpla...rch/label/Godel

http://www.resonance...m/kurtgodel.htm

(18): Xem tài liệu ghi chú (12).

 

Nguồn: viethungpham.com


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 05-07-2015 - 15:17


#5 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 05-07-2015 - 15:21

ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN

Phần 5: Những “quả trứng vàng” đẻ ra từ … “một thất bại vinh quang”

 

Kurt Gödel: “Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine”(1)

 

4-godel_human-mind.jpg?w=300&h=188

 

Như mọi người đã biết, tạp chí TIME bình chọn Kurt Gödel, tác giả Định Lý Bất Toàn (Theorem of Incompleteness), là nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20. Điều ấy không cần bàn cãi. Nhưng nếu hỏi ai là nhà toán học có ảnh hưởng lớn nhất trong thế kỷ 20, thì câu trả lời phải là David Hilbert. Ảnh hưởng ấy trước hết được tạo ra bởi những cống hiến vĩ đại của Hilbert cho toán học, đó là điều không ai có thể chối cãi. Lịch sử toán học xếp ông ngang tầm với nhà toán học vĩ đại cùng thời là Henri Poincaré – người được mệnh danh là “Mozart của toán học”. Hilbert và Poincaré đều là những thiên tài trong việc đối đầu với những bài toán hóc búa nhất và khả năng khai phá những mảnh đất mới của toán học. Nhưng hai thiên tài này có hai điểm khác nhau đến mức đối chọi: ● Trong khi Poincaré không tạo ra một trường phái riêng thì Hilbert lại tạo ra cả một trường phái hùng hậu – trường phái Logic hình thức. Vì thế ảnh hưởng của Hilbert rất lớn, bao gồm cả ảnh hưởng tích cực lẫn tiêu cực. ● Sự đối lập lớn nhất giữa Poincaré và Hilbert là quan điểm triết học toán học, tức nhận thức về bản chất của toán học: Trong khi Poincaré thấy rõ toán học phải gắn chặt với thế giới hiện thực thì Hilbert lại cho rằng toán học thực chất chỉ là một hệ thống Logic hình thức thuần tuý, một sản phẩm tư duy suy diễn hoàn toàn độc lập với thế giới hiện thực. Lịch sử cuối cùng đã cho thấy Poincaré đúng và Hilbert sai: Định Lý Gödel đã chứng minh rằng Chương trình Hilbert là ảo tưởng, và ảo tưởng đó xuất phát từ nhận thức sai về bản chất của toán học. Một dịp khác, chúng ta sẽ bàn kỹ chủ đề “Toán Học thực chất là gì?”, nhưng ngay bây giờ, cần thấy rõ rằng vì ảnh hưởng của Hilbert quá lớn, do đó sai lầm của Hilbert đã làm cho nhiều môn đệ của ông trong lĩnh vực giáo dục trở nên lú lẫn đến mức bất chấp Định Lý Gödel, tiếp tục tôn sùng Logic hình thức một cách vô lối bằng cách ra sức nhồi nhét Logic và tập hợp vào chương trình toán phổ thông …

Bằng chứng rõ nhất là trào lưu “Toán Học Mới” ở phương Tây những năm 1960, và mặc dù trào lưu này đã thất bại thảm hại, nhưng “cái đuôi” của nó vẫn còn “ngọ nguậy” trong nền giáo dục của chúng ta hôm nay, tạo nên vấn nạn “dạy giả + học giả” tràn lan! Xét cho cùng, vấn nạn này bắt nguồn từ sự thiếu hiểu biết về lịch sử toán học. Sự thiếu hiểu biết ấy dẫn tới tư tưởng sùng bái Hilbert như một “ông thánh không thể sai lầm”.

Nhưng than ôi, chính sự sùng bái đó đã vô tình tước đoạt của Hilbert một vinh quang mà ông có quyền được hưởng:

Chương trình Hilbert tuy thất bại, nhưng đó là “một thất bại vinh quang!” (a glorious failure!), như nhận định của Gregory Chaitin, một trong những nhà khoa học computer nổi tiếng nhất thế giới hiện nay, trong bài giảng hùng hồn nhan đề “A Century of Controversy Over The Foundations of Mathematics” (Một thế kỷ tranh cãi về nền tảng toán học), trình bầy tại Đại Học Carnegie Mellon ở Pennsylvania, Mỹ, ngày 02-03-2000.

Tại sao Chaitin nói như vậy?

Vì chính những bài toán thách thức của Hilbert đã châm ngòi cho sự ra đời của Định Lý Gödel và Khoa Học Computer (Computer Science) – những “quả trứng vàng” của khoa học và công nghệ, đã và đang làm thay đổi tận gốc bộ mặt của xã hội hiện đai. Nói cách khác, “thất bại vinh quang” của Hilbert lại trở thành một tác nhân kích thích “Con gà mái toán học” đẻ ra những “quả trứng vàng”!

Vậy từ lâu đã tồn tại một nghịch lý ít ai để ý: Trong khi khoa học và công nghệ tiến lên như vũ bão nhờ sự ra đời của khoa học computer thì giáo dục toán học lại thụt lùi vì đã làm một công việc phản sư phạm – nhồi nhét Logic và tập hợp một cách tuỳ tiện vào chương trình phổ thông!

Cả hai chiều của nghịch lý đó, xét cho cùng, đều bắt nguồn từ những bài toán thách thức của Hilbert, mà điểm tập trung cao nhất là “Bài Toán Quyết Định”.

 

1] “Bài Toán Quyết Định”:

 

Lịch sử toán học đã từng chứng kiến những cuộc khủng hoảng về nhận thức cuối cùng lại đẻ ra những “quả trứng vàng”!

Một trong những thí dụ tiêu biểu nhất là Lịch sử xét lại Tiên đề 5 của Euclid (Tiền đề đường song song). Nghi vấn “Tiên đề 5 không phải là một tiên đề” đã từng làm hao tâm tổn trí của không biết bao nhiêu thế hệ các nhà toán học xuất sắc nhất trong suốt hơn 2000 năm, để mãi cho tới thế kỷ 19 mới có kết luận rõ ràng: Euclid không hề sai, Tiên đề 5 quả thật là một tiên đề, và quá trình “xét lại Tiên đề 5” đã đẻ ra một “quả trứng vàng”:  Hình Học Phi-Euclid – một trong những thành tựu vĩ đại nhất trong lịch sử nhận thức của loài người!

Tương tự như vậy, cuộc khủng hoảng nghịch lý trong toán học cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 đã dẫn tới sự ra đời của Chương Trình Hilbert – một chương trình đòi xét lại toàn bộ nền tảng của toán học, nhằm xây dựng một hệ thống toán học mới tuyệt đối phi mâu thuẫn. Tham vọng này lộ rõ qua Bài Toán Số 2 của Hilbert, nêu lên tại Hội nghị toán học thế giới năm 1900 tại Paris: “Tìm một hệ tiên đề đầy đủ và phi mâu thuẫn cho Số Học”. Năm 1928, tại Hội nghị toán học thế giới ở Bologna, Italia, Hilbert nhắc lại bài toán này dưới dạng mở rộng cho toàn bộ toán học, thông qua 3 câu hỏi thách thức:

● Một, toán học có đầy đủ (complete) không?

● Hai, toán học có đảm bảo phi mâu thuẫn (consistent) không?

● Ba, toán học có thể quyết định được (decidable) không? Nghĩa là có tồn tại một phương pháp xác định nào cho phép khẳng định rứt khoát bất kỳ một mệnh đề hoặc một lý thuyết toán học nào là đúng hay sai không? Câu hỏi này xuất phát từ nhận thức căn bản cho rằng toán học phải là một khoa học tuyệt đối logic, xác định, minh bạch, chính xác – bất kỳ một mệnh đề toán học nào cũng chỉ có thể là trắng hay đen, không tồn tại những mệnh đề “ignorabimus”, tức mệnh đề “không thể biết” (unknowable) hoặc không thể quyết định được (undecidable). Bài toán thứ ba này đã đi vào lịch sử với tên gọi “Bài Toán Quyết Định” (Decision Problem, nguyên văn tiếng Đức là Entscheidungsproblem).

Trong khi Hilbert tin tưởng chắc nịch rằng “Chúng ta phải biết; Chúng ta sẽ biết”, có nghĩa là mọi bài toán của toán học đều phải quyết định được (decidable) thì năm 1931, Định Lý Gödel đã trả lời: “Trong toán học tồn tại những mệnh đề không quyết định được!”. Đó là một “cú death-blow” – một đòn trời giáng – đối với Hilbert. Lịch sử chép rằng khi nghe tin này Hilbert đã đùng đùng nổi giận. Nhưng logic chứng minh của Gödel chặt chẽ đến nỗi Hilbert không thể đưa ra bất kỳ một phản bác nào. Ông đã có hẳn một “giáp”, tức 12 năm, để suy ngẫm về định lý này (vì mãi tới năm 1943 ông mới mất), nhưng dường như ông chỉ chọn thái độ im lặng, thay vì dũng cảm phủ nhận chính mình!

Thậm chí, theo cuốn “Dictionary of Scientific Biography” (Từ Điển Tiểu Sử Khoa Học), “Khoảng cuối năm 1934, trên một văn bản ấn loát, Hilbert không chịu thừa nhận rằng Định Lý Bất Toàn đã bác bỏ chương trình của ông”(2). Nói đơn giản: Ông không chịu thừa nhận ông đã sai!

Thái độ ấy gây thiệt thòi rất lớn cho khoa học và giáo dục, bởi vì với uy tín bao trùm thế giới toán học, nếu Hilbert thừa nhận sai lầm của Chủ Nghĩa Hình Thức thì chắc chắn hậu thế sẽ chẳng còn ai tôn sùng chủ nghĩa này nữa, và chắc chắn hệ thống giáo dục phương Tây những năm 1960 sẽ không rơi vào thảm hoạ “toán học mới” – một thảm hoạ bắt nguồn từ việc ra sức nhồi nhét logic và tập hợp (tư tưởng cơ bản của Chủ Nghĩa Hình Thức) vào đầu học sinh phổ thông. Khi đó, chắc chắn cũng sẽ chẳng còn có nhà nhà giáo dục Việt Nam nào muốn bắt chước lối giáo dục nhồi nhét hình thức đó nữa, và do đó sẽ không có hiện tượng “dạy giả + học giả” như hiện nay!

Nhưng may mắn thay, trong khi các nhà giáo dục tiếp tục tôn sùng một chủ nghĩa đã bị khai tử về mặt triết học, thì một số nhà toán học nhìn xa trông rộng lại nhận ra chỗ đứng thật sự của Logic hình thức nằm ở đâu:

Chỗ đứng thật sự của Logic hình thức không phải ở giáo dục, mà ở Khoa Học Tính Toán (computing science) – đối tượng áp dụng của Logic hình thức không phải là con người mà là computer!

Chính vì thế, Greg Chaitin đã gọi Khoa Học Computer là “phó-phẩm” (by-products), hoặc sản phẩm phụ, hoặc những “sản phẩm bất ngờ không dự kiến trước” (unexpected products) mà Chương trình Hilbert đã dâng tặng cho chúng ta ngoài ý muốn của chính nó!

Vậy đã đến lúc cần chấm dứt việc nhồi nhét Logic hình thức vào giáo dục phổ thông! Kiểu nhồi nhét ấy lỗi thời rồi! Hãy trả Logic hình thức về đúng chỗ của nó: Khoa Học Computer! Người đi tiên phong trong sự chuyển hướng này là John Von Newmann, một trong những cha đẻ của khoa học computer hiện đại.

 

2] Cuộc đoạn tuyệt của Newmann với Chương trình Hilbert:

 

Trong cuốn “Engines of Logic” (Những động cơ của Logic), nhà khoa học computer nổi tiếng Martin Davis cho biết(3): “Năm 1930, trong Hội nghị chuyên đề tại Königsberg(4) bàn về nền tảng toán học, Newmann được giao trách nhiệm giải thích Chương trình Hilbert. Nhưng cũng chính tại hội nghị này, Kurt Gödel lần đầu tiên tung ra “quả bom tấn”, chứng minh rằng hệ thống logic hình thức không bao giờ đầy đủ để có thể chứng minh được mọi mệnh đề của toán học. Dường như ngay lập tức, Newmann là người đầu tiên hiểu thấu ý nghĩa công trình của Gödel …”.

Trong một đoạn sau, Davis nói rõ hơn:

“Newmann đã có những cống hiến đáng kể trong nỗ lực chứng minh tính phi mâu thuẫn của số học, và khi xuất hiện tại Hội nghị chuyên đề ở Königsberg, ông vẫn tiếp tục đóng vai trò người biện hộ cho Chương trình Hilbert. Nhưng ngay khi nhận thấy những ẩn ý sâu xa trong công trình của Gödel, ông chỉ càng thấy rõ thêm rằng Gödel đã đi trước ông một bước trong việc khẳng định rằng tính phi mâu thuẫn (của toán học) là không thể chứng minh được. Thế là đủ. Mặc dù vô cùng ngưỡng mộ Gödel, thậm chí đã lấy công trình của Gödel làm bài giảng, Newmann đã thề rằng không bao giờ còn có gì để làm với Logic nữa. Nghe nói, ông đã kiêu hãnh tuyên bố rằng sau Gödel, ông sẽ không bao giờ đọc thêm bất cứ một công trình nào về Logic nữa. Logic đã làm bẽ mặt ông, và Von Newmann không phải là người được sử dụng để bị làm nhục. Nhưng dù đã như vậy, cuối cùng ông đã không thể giữ được lời thề: Nhu cầu xây dựng những chiếc máy tính hùng mạnh đã buộc ông phải quay lại với Logic”.

Câu chuyện trên nói với chúng ta điều gì? Câu hỏi này sẽ được trả lời kỹ trong phần kết, nhưng ngay bây giờ có thể có kết luận sơ bộ:

● Hilbert và Chủ Nghĩa Hình Thức hoàn toàn sai khi cho rằng bản chất của toán học là Logic thuần tuý (nếu không, Newmann đã chẳng đoạn tuyệt). Logic hình thức xét cho cùng cũng chỉ là một thứ ngôn ngữ, và giống như mọi ngôn ngữ khác, nó cũng bất toàn! Nó không hề giúp con người hiểu toán học đúng hơn và chính xác hơn. Việc suy tôn Logic hình thức (logic và tập hơp) như một thứ “ngôn ngữ thần thánh” của toán học chỉ chứng tỏ sự ấu trĩ trong nhận thức về bản chất của toán học! Sự ấu trĩ này biểu lộ rất rõ trong lối dạy toán ở trường phổ thông hiện nay.

● Tuy nhiên, nhờ bản chất “lạnh lùng”, “vô cảm”, “không bóng bẩy đa nghĩa” của các từ ngữ ký hiệu mà Logic hình thức sử dụng, nó lại rất hữu dụng để ra lệnh và dạy bảo máy móc làm việc theo ý muốn của con người! Nói ngắn gọn, Logic hình thức là ngôn ngữ của computer. Chính vì thế, lúc Newmann đoạn tuyệt với lý tưởng của Hilbert cũng là lúc ông hiến dâng hết mình cho một sự nghiệp hoàn toàn mới – Khoa Học Computer!

 

3] Cống hiến của Newmann cho Khoa Học Computer:

 

“Computer” là một thuật ngữ hiện đại dùng để gọi những chiếc máy tính hoạt động theo chương trình. Ngay từ thế kỷ 17, nhà toán học vĩ đại Gottfried Leibniz đã từng mơ ước chế tạo ra những chiếc máy như thế. Nhưng phải đợi tới nửa đầu thế kỷ 20, “Giấc mơ Leibniz” (Leibniz’s Dream) mới có cơ may để biến thành hiện thực.

Mô hình đầu tiên của loại máy này là “Máy Turing” (Turing’s Machine) do Alan Turing phác thảo sơ bộ vào năm 1936. Tuy đó chỉ là một chiếc máy tưởng tượng, một hình đồ hoạ rất sơ lược trên giấy mô tả những thành phần chủ yếu cần phải có của một chiếc máy tính hoạt động theo chương trình, nhưng về cơ bản, đó chính là phác thảo đầu tiên của những chiếc máy mà ngày nay ta gọi là “computer”.

1-turing-machine.jpg?w=300&h=182

Dựa trên mô hình của Turing, John von Newmann đã biến “Giấc mơ Leibniz” thành hiện thực. Đó là lược sử tối giản về sự ra đời của computer mà bất kỳ ai sống trong thời đại computer cũng nên biết.

Ngày nay computer có thể làm được quá nhiều việc thần kỳ, nhưng dù thần kỳ đến mấy, xét cho cùng nó vẫn chỉ là một “tên nô lệ” dốt nát nhưng trung thành, một “tên đầy tớ” không hề biết rung cảm nhưng rất ngoan ngoãn, răm rắp tuân lệnh chủ. Vì thế nó rất cần ông chủ ra lệnh và dạy bảo nó bằng một thứ ngôn ngữ máy móc, “chỉ đâu đánh đấy”, để nó làm việc hoàn toàn theo mệnh lệnh, theo chương trình định sẵn. Ngôn ngữ ấy chính là Logic hình thức. John von Newmann là một trong những người đầu tiên nhận thấy điều đó.

Nhà toán học Herman Goldstine nhận định: “Von Newmann là người đầu tiên, theo như tôi biết, hiểu rõ rằng computer chủ yếu là chiếc máy thực hiện các chức năng logic, còn khía cạnh về điện chỉ mang ý nghĩa phụ”(5).

Năm 1944, chính Goldstine là người đã kéo Newmann vào Dự án chế tạo chiếc máy tính điện tử hùng mạnh đầu tiên mang tên ENIAC của Đại Học Công Nghệ Điện Moore ở Philadelphia, Mỹ. Rồi sau đó chuyển sang dự án chế tạo chiếc máy mang tên EDVAC.

Tháng 06-1945, trong một báo cáo nổi tiếng mang tên “First Draft of a Report on the EDVAC” (Phác thảo đầu tiên của Báo cáo về EDVAC), Newmann lần đầu tiên đã nêu lên ý tưởng chế tạo EDVAC dựa trên mô hình “Máy Turing”. Theo mô hình này, EDVAC phải có một bộ phận lưu trữ thông tin mà Newmann gọi là “Bộ Nhớ” (Memory), dùng để lưu trữ cả dữ liệu lẫn các lệnh đã mã hoá. Khái niệm “bộ nhớ” ra đời từ đó!

Nếu ENIAC được thiết kế để tính toán theo hệ thập phân thì EDVAC là chiếc máy đầu tiên được thiết kế để tính toán theo hệ nhị phân (binary).

EDVAC cũng có một bộ phận thực hiện việc điều khiển logic bằng cách chuyển lần lượt từng lệnh cần thực hiện từ bộ nhớ vào bộ xử lý.

Những ý tưởng thiết kế này đều xuất phát từ chính John von Newmann – người được coi là kiến trúc sư trưởng của EDVAC!

Computer hiện đại ngày nay dù phức tạp gấp bội so với EDVAC, nhưng nguyên lý căn bản vẫn không thay đổi. Vì thế sẽ chẳng có gì ngoa ngoắt nếu coi John von Newmann là một ông tổ của khoa học computer!

Để kiểm tra khả năng ứng dụng của EDVAC, chính Newmann đã viết một chương trình đầu tiên vô cùng quan trọng, và chương trình của ông đã thành công. Goldstine nhận định: “Dựa trên những bằng chứng có giá trị hiện nay, đã có thể kết luận một cách hợp lý rằng EDVAC đã rất gần với một chiếc máy vạn năng, và những nguyên lý hiện nay dùng để điều khiển logic là rất đúng đắn”.

2-edvac_newmann.jpg?w=265&h=300

Vậy nếu phải liệt kê danh sách những người có công lớn nhất trong việc xây dựng nên khoa học computer hiện đại, thì Alan Turing và John von Newmann chắc chắn phải là hai nhân vật nằm ở ngay hàng đầu, đúng như nhận định của tạp chí TIME số ra ngày 29-03-1999:

● “Có rất nhiều ý tưởng và tiến bộ công nghệ cùng hội tụ lại để sáng tạo nên computer ngày nay, vì thế thật là liều lĩnh để gán cho một người duy nhất nào đó bản quyền phát minh ra nó. Nhưng khi mỗi chúng ta gõ bàn phím để mở một trang mạng hay một chương trình xử lý từ ngữ (word-processing program), thì thực tế là ta đang làm việc trên một chiếc máy hiện thân của Máy Turing”.

● “Hầu như tất cả mọi computers ngày nay, kể từ những siêu-computers trị giá 10 triệu USD cho tới những con chíp nhỏ xíu dùng cho điện thoại di động hoặc đồ chơi điện tử, đều có một điểm chung: Tất cả đều là những chiếc “Máy von Newmann” – những biến thể dựa trên cấu trúc căn bản của những computer mà John von Newmann đã chế tạo trong những năm 1940 theo mô hình của Alan Turing”.

3-turing_newmann.jpg?w=300&h=189

Nhưng cả Turing và Newmann đều có ý nghĩ cho rằng bộ não của con người về cơ bản cũng hoạt động tương tự như một computer.

Có thật là computer có thể tư duy như bộ não không?

Đây là một câu hỏi rất lớn, gây nên tranh cãi trong nhiều năm nay, cần có nhiều bài báo dành riêng cho nó. Nhưng hôm nay chúng ta  hãy thử nhìn nhận vấn đề dưới góc độ nhận thức luận để từ đó soi sáng cho một loạt dấu hỏi lớn về giáo dục: Tại sao đến nay các nhà giáo dục vẫn ra sức nhồi nhét Logic và tập hợp vào chương trình toán phổ thông? Mục đích của họ là gì? Phải chăng họ bất chấp Định Lý Gödel, do đó tưởng rằng Logic và tập hợp là chìa khoá của toán học, giúp cho trẻ em giỏi toán hơn, hiểu toán chính xác hơn? Hay phải chăng họ không hiểu gì ý nghĩa và vai trò của Logic hình thức, để vô tình biến trẻ em thành computers?

Để tìm kiếm câu trả lời, một lần nữa xin độc giả chú ý tới nhận định bất hủ của Kurt Gödel về nhận thức của con người.

 

4] Con người và computer dưới con mắt của Kurt Gödel:

 

Trong cuốn “The Engines of Logic” (đã dẫn), Martin Davis viết: “Năm 1950, Alan Turing công bố công trình kinh điển của ông, “Computing Machinery and Intelligence” (Máy tính và trí thông minh), trong đó ông dự đoán cuối thế kỷ (20) sẽ có những chương trình computer có thể thực sự nói chuyện trôi chảy (với con người) đến nỗi người ta không thể biết là người ta đang nói chuyện với một chiếc máy hay với một người nào khác”(6).

Davis còn cho biết: “Giống như Turing, von Newmann phỏng đoán rằng bộ não của con người có một số khả năng đặc biệt là vì nó có sức mạnh của một chiếc computer vạn năng”(7).

Nhưng Alan Turing mới thật sư được coi là cha đẻ của của khoa học về AI (Artificial Intelligence), tức khoa học về “Trí Thông Minh Nhân Tạo”. Mục tiêu của khoa học này là chế tạo ra những computers thông minh như con người. Ý tưởng ấy dựa trên một tiên đề cho rằng bộ não thực chất là một siêu-computer! Tạp chí TIME ngày 29-03-1999 viết: “Đối với trường phái trí thông minh nhân tạo, Turing vẫn là một anh hùng, một phần vì quan điểm lạc quan của ông về một tương lai mầu hồng. Trong tương lai ấy, các quý bà có thể sẽ mang các computers theo họ để cùng dạo chơi trong công viên và chuyện trò với chúng”. Đối với Turing, vấn đề máy móc có thể suy nghĩ như con người là điều hiển nhiên, không cần bàn cãi: “Tôi tin rằng thật vô nghĩa khi mang câu hỏi “Máy móc có thể tư duy được hay không?” ra để bàn luận”, Turing đã viết như vậy trong cuốn “Mind” (Ý nghĩ), năm 1950.

Vậy phải chăng Turing đúng? Và do đó cần dạy bảo học sinh giống như “dạy bảo” computers?

Nếu ai đó còn phân vân để tìm câu trả lời, xin đọc lại ý kiến của Kurt Gödel, mà bài báo “Mr Why và Định Lý Bất Toàn” trên Khoa Học & Tổ Quốc tháng 06-2009 đã trích dẫn: “Thế giới chứng minh quá nhỏ so với thế giới chân lý có thể nhận thức được, nhưng thế giới chân lý nhận thức được lại quá nhỏ so với thế giới hiện thực”.

Tư tưởng này đã được Gödel nhắc đi nhắc lại nhiều lần dưới nhiều hình thức khác nhau. Có lần ông trình bầy dưới dạng sau đây: “Toán học quá rộng đối với nhận thức của con người, mà nhận thức của con người lại quá rộng đối với một chiếc máy” (Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine)(8).

5-godels-quote.jpg?w=300&h=118

Đó là một tuyên ngôn bất hủ của Gödel đã được lấy để làm đề từ cho bài viết này, như một điểm tựa về triết học nhận thức để khẳng định những quan điểm sau đây:

 

4a) So sánh nhận thức của con người với computer:

 

● Nhận thức của con người và “tư duy” của computer là hai dạng tư duy hoàn toàn khác nhau. Phạm vi nhận thức của con người rộng lớn hơn rất nhiều so với “tư duy” của computer. Nếu quả thật bộ não của con người hoạt động tương tự như computer, thì kiểu hoạt động đó chỉ là một phần rất nhỏ trong toàn bộ các hình thức hoạt động của bộ não mà thôi.

● Computer dù vĩ đại đến mấy, cũng chỉ có thể hoạt động dựa trên một số hữu hạn các tiên đề, do đó khả năng “tư duy” của nó cũng bị giới hạn trong một phạm vi hữu hạn những chân lý logic suy ra từ hệ tiên đề đó. Trong khi con người, ngoài khả năng khám phá chân lý bằng con đường logic, còn có khả năng khám phá ra những “chân lý bất chợt” bằng con đường cảm thụ trực giác, không tuân theo logic. Những nhà tâm lý học biết rõ điều này hơn ai hết, và những thống kê về tâm lý cho thấy phần lớn tư duy của con người không rập khuôn theo logic máy móc, mà bằng cảm thụ trực giác. Trực giác mới thật sự là điểm mạnh và chỗ hơn hẳn của con người so với computer. Computer rất hữu ích, vì nó làm nô lệ để con người sai khiến, nó giúp con người giải phóng bản thân mình khỏi những tư duy máy móc nhàm chán – những tư duy logic hình thức vô cảm vô hồn – để dành thì giờ cho những tư duy tưởng tượng và sáng tạo

nhiều hơn!

 

4b) Vai trò của Logic hình thức:

 

● Ngôn ngữ Logic hình thức vô cùng hữu dụng đối với computer nhưng rất phản sư phạm khi nhồi nhét vào đầu trẻ em, vì vô tình đã thu hẹp tư duy của con người thành tư duy máy móc, tầm thường hoá con người thành những robots.

● Việc nhồi nhét Logic và tập hợp vào đầu học sinh phổ thông không hề giúp ích cho học sinh hiểu toán học đúng hơn và chính xác hơn. Hệ thống giáo dục đã phạm sai lầm lớn khi ra sức nhồi nhét Logic hình thức vào trẻ em, làm thui chột tư duy tưởng tượng và sáng tạo.

● Logic hình thức chỉ cần thiết cho những ai đi vào chuyên ngành toán lý thuyết hoặc khoa học computer. Đừng bắt mọi người phải học những điều họ không cần thiết. Ngay cả những nhà vật lý cũng không cần những kiến thức đó chứ đừng nói tới rất nhiều lĩnh vực tri thức khác. Xin các nhà giáo dục hãy lắng nghe tiếng kêu khẩn thiết của Lev Landau, nhà vật lý lý thuyết số 1 của Liên Xô cũ, từng đoạt Giải Nobel vật lý năm 1962: “Các nhà toán học, mà tôi không hiểu vì lý do gì, đã nhồi nhét cho chúng tôi những bài tập logic coi như một món hàng bắt buộc”. Một người tài ba như Landau mà còn chán ngấy với cái món Logic vô bổ đối với ông, nữa là hàng triệu học sinh phổ thông ở Việt Nam?

 

4c) Sai lầm của các nhà giáo dục:

 

● Không thể đổ lỗi cho Hilbert trong việc nhồi nhét Logic và tập hợp vào đầu học sinh phổ thông hiện nay. Đó là lỗi của các nhà giáo dục hậu thế, những người sùng bái Hilbert một cách vô lối. Xét cho cùng, những nhà giáo dục này dường như chẳng hiểu gì về lịch sử toán học, chẳng hiểu gì về ý nghĩa của Định Lý Gödel.

● Hoá ra Logic hình thức chẳng thiêng liêng như người ta tưởng! Toán học không phải là Logic hình thức. Việc đồng nhất toán học với Logic hình thức là một sai lầm ấu trĩ về nhận thức bản chất của toán học. Sự ấu trĩ này thể hiện rất rõ trong lối dạy toán ở trường phổ thông hiện nay. Chẳng hạn người ta cấm trẻ em trình bầy phép toán 2 kg + 3kg = 5 kg, mà chỉ được viết đơn giản là 2 + 3 = 5 (!). Những ai hiểu rõ chủ nghĩa hình thức thì sẽ thấy rõ đây là một biểu hiện điển hình của chủ nghĩa hình thức mà Hilbert, Frege, Russell chủ trương. Chủ nghĩa ấy không những đã lỗi thời, mà còn bị chứng minh là SAI! Vậy mà vẫn có những nhà giáo dục ngày nay coi đó là “toán học chân chính” (!!!). Thực tế cũng đã chứng minh lối dạy học này là phản sư phạm, nên người ta lại biến tấu, bịa ra một lối trình bầy “nửa dơi nửa chuột” như sau: 2 + 3 = 5 (kg). Ở các lớp trên, người ta sính hình thức đến nỗi ra sức áp đặt cách diễn đạt toàn học bằng ngôn ngữ logic và tập hợp, biến những khái niệm rất đơn giản thành phức tạp, đến nỗi nhiều bậc cha mẹ có trình độ cao cũng không hiểu, và do đó không giúp đỡ được con cái trong học tập. Đây chính là căn bệnh “dạy giả” mà hậu quả tất yếu của nó là “học giả”. Chúng ta sẽ trở lại bàn kỹ vấn đề này trong một bài báo khác.

 

5] Kết:

 

“Công trình của Gödel đã để lộ ra khả năng to lớn trong việc xác định cái gì có thể làm được và cái gì không thể”! Đó là ý kiến của Oswal Veblen, Giáo sư Viện Nghiên Cứu Cao Cấp Princeton(9).

Logic hình thức đem áp dụng vào máy móc để chế tạo ra những chiếc computer kỳ diệu như ta thấy, đó là việc có thể làm được!

Logic hình thức (logic và tập hợp) đem nhồi nhét vào đầu học sinh phổ thông để làm cho học sinh giỏi toán hơn, hiểu toán chính xác hơn, đó là việc không thể làm được! Bởi vì:

1-Học sinh không phải là những chiếc computers! Tư duy của học sinh là tư duy của con người, sinh động và phong phú gấp hàng triệu lần so với computers.

2-Ngôn ngữ logic hình thức không phải là ngôn ngữ của con người. Đó là một thứ ngôn ngữ chết, nó bóp chết mọi tưởng tượng sinh động của học sinh, và do đó việc áp đặt ngôn ngữ này vào giáo dục là phản sư phạm!

3-Logic hình thức không phải là bản thân toán học. Nó không hề giúp con người hiểu toán học đúng hơn và chính xác hơn. Sự thất bại của Chương trình Hilbert đã nói quá rõ sự thật này.

4-Sự sùng bái và tôn thờ Logic hình thức như “ngôn ngữ chúa tể” của toán học chỉ chứng tỏ sự ấu trĩ về nhận thức đối với bản chất của toán học.

Kết luận: Vậy đã đến lúc cần chấm dứt sự sùng bái vô lối đó, đặc biệt trong phạm vi giáo dục phổ thông!4-godel_human-mind1.jpg?w=600

Sydney ngày 26 tháng 08 năm 2009

Phạm Việt Hưng

Ghi chú:

(1): Xem trang web “Quotations by Kurt Gödel”:

http://strangewondro...or/g/godel kurt

(2): Xem “Dictionary of Scientific Biography”, Book 17, Supplement II, mục từ Gödel, do The American Council of Learned Societies xuất bản năm 1990.

(3): Xem “Engines of Logic”, Martin Davis, Norton & Company, New York, London, 2000, trang 180.

(4): Trước 1945, Königsberg là thủ đô của Đông Phổ, một thành phố cảng nằm bên bờ biển Baltic, ở giữa Ba-Lan và Lít-va. Từng là một trung tâm khoa học của Âu Châu, quê hương của nhiều nhà bác học vĩ đại như Leonard Euler, Immanuel Kant, David Hilbert, … Từ năm 1945, theo Hiệp ước Potsdam, trở thành một vùng đất thuộc Liên Xô (cũ), tức Nga ngày nay, nhưng về địa lý tách rời Nga. Từ 1946, được đổi tên thành Kaliningrad.

(5): Xem tài liệu ghi chú (3), trang 191.

(6): Xem tài liệu ghi chú (3), trang 202.

(7): Xem tài liệu ghi chú (3), trang 183.

(8): Xem ghi chú (1)

(9): Xem TIME 29-03-1999 trang 90.

 

Nguồn: viethungpham.com


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 05-07-2015 - 15:27


#6 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 05-07-2015 - 15:28

ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN

Phần 6: Tính Ngẫu Nhiên Trong Toán Học

 

Gregory Chaitin: “God not only plays dice in quantum mechanics, but even with the whole numbers”(1)

 

1-the-omega-man.jpg?w=222&h=300

Trong số các nhà khoa học, có lẽ các nhà toán học, và nhất là giới giảng dạy toán, là những người bảo thủ nhất. Bằng chứng là đa số những người này đã bất chấp bài học tầy liếp của Frege(2), bất chấp Định Lý Bất Toàn của Gödel, và bất chấp hàng đống sự kiện thực tế trong khoa học và đời sống, vẫn tiếp tục theo đuổi tư tưởng lỗi thời của Chủ Nghĩa Hình Thức do David Hilbert đề xướng từ đầu thế kỷ 20. Họ tiếp tục đề cao toán học như một hệ thống chân lý tuyệt đối, và do đó đã ra sức nhồi nhét logic và tập hợp vào chương trình toán học phổ thông, sính trình bầy các khái niệm đơn giản bằng ngôn ngữ hình thức phức tạp, sáo rỗng, xa rời cuộc sống, làm cho môn Toán càng ngày càng trở nên nặng nề, rắm rối, mất sức sống. Điều này đã được John Casti và Werner DePauli nói rõ trong cuốn “Gödel, A Life of Logic” (Gödel, Một cuộc đời vì Logic): “Thậm chí sau khi Gödel và Turing đã chỉ ra rằng giấc mơ của Hilbert chỉ là hão huyền, trên thực tế phần lớn các nhà toán học vẫn tiếp tục theo đuổi tinh thần của Hilbert, dù nhiều hơn hoặc ít hơn so với trước kia”(3).

“Tuy nhiên”, Casti và Pauli lưu ý, “computer đang thay đổi cách chúng ta giải quyết các công việc. Có thể dễ dàng thực hiện một thí nghiệm toán học trên computer và thu được một kết quả, nhưng không phải lúc nào cũng dễ dàng sáng tạo ra một chứng minh để giải thích kết quả đó. Để vượt qua điều này, các nhà toán học đôi khi buộc phải chấp nhận cách thức giải quyết vấn đề theo kiểu thực tiễn hơn, giống như các nhà vật lý vậy”.

Điều đó có nghĩa là toán học xét cho cùng cũng chỉ là một khoa học kinh nghiệm tương tự như vật lý và các khoa học thực tiễn khác mà thôi. Tham vọng đạt tới những lý luận tuyệt đối chặt chẽ, lý tưởng, thuần tuý logic hình thức, thoát ly thực tiễn, v.v. chỉ là tham vọng của sáu anh mù trong truyện “Thầy Bói Xem Voi”(4). Nói cách khác, tư tưởng của Chủ Nghĩa Hình Thức đã trở nên quá lỗi thời, vì thực ra chân lý toán học không phải là một hệ thống logic chặt chẽ và hoàn chỉnh đến mức tất yếu “phải biết và sẽ biết” như David Hilbert từng nghĩ; Chân lý toán học thực ra mang tính ngẫu nhiên, thay vì tất nhiên và xác định như nhiều người vẫn tưởng!

Để hiểu rõ nhận định trên, xin giới thiệu với độc giả bài báo “Người tìm ra số Omega” (The Omega Man) trên New Scientist ngày 10-03-2001 mà sau đây là những nét tóm lược.

 

1* Người tìm ra số Omega:

 

Hai cộng hai là bốn: Không ai tranh cãi chuyện đó. Các nhà toán học có thể chứng minh điều đó một cách chặt chẽ, và ngoài ra còn chứng minh nhiều chuyện khác nữa. Ngôn ngữ toán học cho phép họ đưa ra những phương pháp rõ ràng rành mạch để mô tả mọi thứ xẩy ra trong thế giới xung quanh, hoặc ít ra là họ đã từng nghĩ như vậy.

Nhưng Gregory Chaitin, một nhà nghiên cứu toán học tại Trung tâm nghiên cứu  T. J. Watson của tổ hợp IBM tại quận Yorktown Heights, New York, đã chỉ ra rằng thực ra các nhà toán học cũng chẳng chứng minh được nhiều lắm đâu. Làm toán, ông nói, thực ra cũng chỉ là một quá trình khám phá giống y như mọi ngành khác của khoa học: Đó là một lĩnh vực thực nghiệm mà ở đó các nhà toán học tình cờ gặp những sự thật tương tự như các nhà động vật học có thể tình cờ gặp một loài linh trưởng mới mà thôi.

Xưa nay toán học luôn luôn được coi là tránh khỏi tính bất định và có thể cung cấp một nền tảng vững chắc và tinh khiết cho những lĩnh vực khoa học khác vốn bị coi là hỗn độn. Nhưng thực ra chính bản thân toán học cũng hỗn độn, Chaitin nói, các nhà toán học giống y như mọi người khác cũng chỉ hành động theo trực giác và trải nghiệm bởi các ý tưởng mà thôi. Nếu các nhà động vật học nghĩ đến một cái gì đó mới nẩy sinh trong những khu rừng chưa được thám hiểm ở Madagascar thì các nhà toán học cũng có linh cảm về cái tạo nên vẻ đẹp toán học để khai thác. Chủ đề nghiên cứu của toán học thực ra cũng chẳng có gì sâu sắc hơn thế.

Lý do để Chaitin nói ra những lời khiêu khích như vậy là vì ông đã khám phá ra rằng trong cốt lõi của toán học có đầy những lỗ hổng. Chaitin đã chứng minh rằng có một số vô hạn những sự kiện toán học nhưng phần lớn những sự kiện đó không liên hệ với nhau và không thể trói buộc chúng với nhau bằng những định lý thống nhất. Nếu các nhà toán học tìm thấy bất kỳ liên hệ nào giữa những sự kiện này thì đó chỉ là may mắn tình cờ. “Phần lớn toán học đúng mà chẳng có lý do đặc biệt nào cả, toán học đúng bởi những lý do ngẫu nhiên”, Chaitin nói như vậy.

Đây là một tin tức đặc biệt xấu đối với các nhà vật lý vốn có khát vọng tìm thấy một mô tả đầy đủ và chính xác về Vũ Trụ. Toán học là ngôn ngữ của vật lý, do đó khám phá của Chaitin ngụ ý rằng sẽ chẳng bao giờ có một “Lý thuyết về mọi thứ” (TOE – Theory of Everything) đáng tin cậy – một lý thuyết tổng kết một cách gọn gàng toàn bộ những đặc trưng cơ bản của hiện thực trong một tập hợp các phương trình. Đó là một viên thuốc đắng khó nuốt, nhưng ngay cả Steven Weinberg, một nhà vật lý từng đoạt Giải Nobel và tác giả của cuốn Dreams of a Final Theory (Giấc mơ về một Lý Thuyết Cuối Cùng) cũng phải nuốt. Weinberg thừa nhận: “Chúng ta sẽ chẳng bao giờ khẳng định được chắc chắn rằng lý thuyết cuối cùng của chúng ta là phi mâu thuẫn về mặt toán học”.

Lời nguyền toán học của Chaitin không phải là một định lý trừu tượng hoặc một phương trình không thể hiểu nổi: Nó đơn giản chỉ là một con số. Chaitin gọi số đó là Omega (). Giống như Pi () là một số thực dài vô hạn, Omega cũng là một số thực dài vô hạn, nhưng Omega là một số không thể tính được (uncomputable). Chaitin nhận ra rằng Omega đã nhiễm độc toàn bộ toán học, đặt ra giới hạn căn bản đối với cái chúng ta có thể biết. Hơn thế nữa, Omega mới chỉ là sự khởi đầu, thậm chí còn có nhiều con số phiền toái khác mà Chaitin gọi là những số Siêu-Omega – những con số thách thức mọi tính toán ngay cả khi chúng ta cố gắng mọi cách để hiểu được Omega. Dòng giống Omega – dòng giống những con số không thể tính được – đã để lộ ra rằng toán học không chỉ bị nhậy cắn thủng lỗ chỗ, mà hầu như đã bị thủng bởi những lỗ hổng toang hoác: Tình trạng hỗn độn, phi trật tự hoá ra là bản chất cốt lõi của Vũ Trụ.

 

2* Sự Cố Dừng của Alan Turing:

 

Chaitin khám phá ra Omega và những tính chất đáng ngạc nhiên của nó khi ông vật lộn với hai khám phá có ảnh hưởng lớn nhất trong toán học thế kỷ 20:

Năm 1931, nhà toán học Áo Kurt Gödel chỉ ra một lỗ hổng lớn trong toán học: Định Lý Bất Toàn của ông chỉ ra rằng có những định lý toán học không thể chứng minh được;

5 năm sau, nhà toán học Anh Alan Turing xây dựng một công trình dựa trên công trình của Gödel. Sử dụng một computer giả thuyết, Turing chỉ ra rằng có một cái gì đó không thể tính toán được: Không thể có một chỉ dẫn nào cho computer để nó có thể tiên đoán một chương trình cho trước sẽ chạy mãi mãi họăc dừng lại. Muốn biết một chương trình liệu cuối cùng có dừng lại hay không, bạn phải đợi một ngày, hoặc một tuần, hoặc một tỷ năm, hoặc tiếp tục chạy chương trình đó mãi mãi và kiên trì chờ đợi. Turing gọi sự cố này là Sự Cố Dừng (The Halting Problem).

Vài thập kỷ sau, trong những năm 1960, Chaitin tiếp tục nghiên cứu Sự Cố Dừng. Ông xét tất cả các chương trình có thể có mà chiếc computer giả thuyết của Turing có thể chạy, rồi tìm xác suất để một chương trình chọn ngẫu nhiên trong số tất cả những chương trình có thể có sẽ dừng lại. Sau gần 20 năm nghiên cứu, cuối cùng Chaitin chỉ ra rằng “xác suất dừng” do ông nêu lên đã biến Sự Cố Dừng của Turing thành vấn đề tìm một số thực nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Chaitin gọi số đó là Omega và kết luận: Nếu không thể tiên đoán một chương trình cho trước sẽ dừng hay không thì cũng không thể có một chương trình nào cho phép xác định được các chữ số của Omega – Omega là một số không thể tính được hoặc không thể biết được (unkowable)!

Có những con số tuy rất dài nhưng vẫn có thể tính được nếu tồn tại một chương trình hữu hạn cho phép xác định lần lượt từng chữ số của nó đến chừng nào còn có thể tiếp tục công việc, vấn đề chỉ là thời gian và khả năng cho phép của computer. Chẳng hạn Pi () là một số vô tỷ – một số thập phân vô hạn không tuần hoàn – nhưng vẫn có thể tính được, vì có một chương trình cho phép xác định mọi chữ số của nó đến chừng nào mà thời gian và khả năng của computer cho phép. Nhưng không có một chương trình nào tương tự như thế đối với Omega: Trong hệ nhị phân, Omega gồm một dãy vô hạn các chữ số 0 và 1 xuất hiện một cách ngẫu nhiên. “Omega không có một hình mẫu hoặc một cấu trúc nào cho nó. Đó là một dãy vô hạn các chữ số 0 và 1 mà mỗi chữ số sau chẳng liên hệ gì với chữ số đứng trước, giống như gieo các đồng xu liên tiếp nhau vậy”, Chaitin nói.

Tóm lại, quá trình dẫn Chaitin tới kết luận Omega là một con số không thể biết cũng tương tự như quá trình dẫn Turing tới kết luận Sự Cố Dừng là không thể quyết định được. “Đó là thí dụ đặc sắc về một cái gì đó không thể biết trong toán học”, Chaitin nói.

 

3* Tính ngẫu nhiên trong nền tảng toán học:

 

Một con số không thể biết sẽ chẳng đáng để ý nếu nó không gây nên những chuyện phiền toái. Nhưng ngay khi khám phá ra Omega, Chaitin bắt đầu băn khoăn tìm hiểu xem liệu nó có ý nghĩa gì trong thế giới hiện thực hay không. Do đó ông quyết định nghiên cứu lĩnh vực toán học liên quan tới Omega, đó là Lý Thuyết Số (number theory).

Lý Thuyết Số là nền tảng của toán học thuần tuý. Nó mô tả những khái niệm liên quan tới phép đếm, phép cộng và phép nhân. Nghiên cứu của Chaitin bắt đầu từ những “phương trình Đi-ô-phăng” (Diophantine equations)(5) – những phương trình chỉ liên quan tới phép cộng, phép nhân và phép luỹ thừa các số nguyên.

Chaitin đã thiết lập một phương trình Diophantine dài tới 200 trang với 17000 biến số (!). Về lý thuyết, phương trình có thể có 10 nghiệm, 20 nghiệm hoặc thậm chí một số vô hạn nghiệm. Nhưng Chaitin không quan tâm tới các nghiệm riêng biệt mà chỉ quan tâm xem số nghiệm là hữu hạn hay vô hạn.

2-omega-halting-problem.jpg?w=300&h=228

Chaitin làm như vậy vì ông biết đó là chìa khoá để tìm hiểu Omega.

Chìa khoá này dựa trên kết quả nghiên cứu của James Jones tại Đại học Calgary và Yuri Matijasevic tại Viện toán học Steklov ở St Petersburg: Các nhà toán học này đã chỉ ra rằng câu hỏi trong Sự Cố Dừng của Turing tương đương với việc giải phương trình Diophantine dưới dạng tổng quát, tức Bài toán số 10 của Hilbert. Họ tìm thấy mối liên hệ giữa nghiệm của phương trình với Sự Số Dừng, trong đó khẳng định rằng nếu một chương trình riêng biệt nào đó không bao giờ dừng thì sẽ có một phương trình Diophantine tương ứng vô nghiệm. Do đó, các phương trình Diophantine sẽ tạo nên chiếc cầu nối Sự Cố Dừng của Turing, tức xác suất dừng của Chaitin, với các phép toán cộng và nhân trên các số nguyên.

Ứng dụng mối liên hệ đó, Chaitin đã xây dựng phương trình của mình sao cho có một biến số đặc biệt được coi như một thông số mà ông gọi là N. Thông số này sẽ cung cấp chìa khoá để tìm hiểu Omega. Khi thay N bằng những giá trị thích hợp, về lý thuyết mà nói, việc phân tích phương trình sẽ cung cấp các chữ số của Omega. Cụ thể khi thay N bằng 1, ông tìm hiểu xem liệu phương trình đã cho sẽ có một số hữu hạn hay vô hạn các nghiệm nguyên. Câu trả lời sẽ cho chữ số thứ nhất của Omega: Nếu phương trình có một số hữu hạn nghiệm thì Omega sẽ có chữ số tương ứng là 0, nếu vô hạn nghiệm sẽ cho chữ số tương ứng là 1.

Thay N =2 và đặt câu hỏi tương tự về nghiệm của phương trình sẽ xác định được chữ số thứ hai đối với Omega. Quá trình đó, về lý thuyết, có thể kéo dài mãi mãi. Chaitin nói: “Phương trình của tôi được xây dựng sao cho khi thay đổi thông số và tìm hiểu xem phương trình có hữu hạn hay vô hạn nghiệm, từ đó xác định các bit (đơn vị thông tin đồng thời là các chữ số) của Omega”.

Nhưng vì Omega là một con số không thể biết, các chữ số của Omega xuất hiện ngẫu nhiên và độc lập với nhau, suy ra rằng mỗi câu trả lời đối với phương trình (khi nào có hữu hạn nghiệm hay vô hạn nghiệm) cũng là điều không thể biết và độc lập với mọi câu trả lời khác. Nói cách khác, tính ngẫu nhiên của các chữ số của Omega đặt ra giới hạn đối với cái có thể biết từ Lý Thuyết Số – lĩnh vực toán học cơ bản nhất. “Nếu tính ngẫu nhiên có mặt ngay trong một lĩnh vực cơ bản nhất như Lý Thuyết Số thì nó còn có mặt ở đâu nữa?”, Chaitin nêu câu hỏi, rồi ông trả lời: “Linh cảm của tôi cho thấy nó có mặt ở khắp nơi. Tính ngẫu nhiên là nền tảng thật sự của toán học”.

 

4* Những số Siêu-Omega:

 

Nhà toán học John Casti ở Viện Santa Fe thuộc tiểu bang New Mexico, đồng thời là giáo sư Đại Học Công Nghệ Vienna cho rằng vấn đề tính ngẫu nhiên có mặt ở khắp nơi sẽ dẫn tới những hệ quả vô cùng sâu sắc. Điều đó có nghĩa là một vài lĩnh vực của toán học có thể có liên hệ với nhau nhưng mối liên hệ trên hầu hết các lĩnh vực thì không tồn tại. Và nếu không tạo được những mối liên hệ trên phạm vi tổng quát, sẽ có nhiều bài toán không thể giải được và nhiều định lý không thể chứng minh được. Tất cả những gì mà một nhà toán học có thể làm là liên kết những phần nhỏ bé của toán học lại với nhau. “Công trình của Chaitin chỉ ra rằng phạm vi những bài toán có thể giải được chỉ giống như một hòn đảo nhỏ trên một đại dương bao la của các mệnh đề không thể quyết định được”, Casti nói.

Chẳng hạn hãy xét bài toán tìm số lẻ hoàn hảo. Một số hoàn hảo là số có tổng các ước của nó bằng chính nó. Thí dụ 6 là một số hoàn hảo, vì các ước của nó là 1, 2, 3 và 1 + 2 + 3 = 6. Có vô số các số chẵn là số hoàn hảo, nhưng chưa ai tìm thấy một số lẻ hoàn hảo, và cũng chưa ai chứng minh được rằng số lẽ không thể là số hoàn hảo. Những giả thuyết không chứng minh được kiểu như thế, hoặc Giả Thuyết Riemann chẳng hạn, đã trở thành nền tảng không chắc chắn của rất nhiều định lý khác(6). Chaitin gợi ý rằng đó có thể là những thí dụ điển hình của những chân lý không thể chứng minh được. Nói cách khác, có những chân lý mà các nhà khoa học luôn luôn chỉ có thể đặt niềm tin vào chúng, thay vì chứng minh chúng.

Không có gì đáng ngạc nhiên khi các nhà toán học phải khó khăn lắm mới có thể chấp nhận số Omega. Nhưng như thế vẫn chưa hết. Còn có những chuyện vượt quá Omega: Trong cuốn sách mới nhất mang tên  Exploring Randomness (Khảo sát tính ngẫu nhiên)(7), Chaitin còn đề cập tới những số “Siêu-Omega”.

Giồng như Omega, những số Siêu-Omega cũng có nguồn gốc từ Sự Cố Dừng của Turing. Chaitin tưởng tượng ra một chiếc computer mạnh gấp bội so với computer hiện nay, siêu phàm tới mức có thể biết cái không thể biết – có thể “tiên tri” một chương trình riêng biệt nào đó sẽ dừng hay chạy mãi mãi, tức là có thể trả lời được Sự Cố Dừng của Turing. Tạm gọi những computer có khả năng siêu phàm này là những “computer siêu phàm” hoặc “computer tiên tri” (oracle computer). Thật vậy, ngay khi khám phá ra số Omega, Chaitin đã lập tức tưởng tượng ra một khả năng “tiên tri” nào đó cho phép biết được số Omega. Nhưng ông lập tức nghĩ rằng nếu vậy thì chiếc “computer tiên tri” này, đến lượt nó, lại có một xác suất dừng không thể biết, được gọi là Omega’ (Omega prime, tức Omega phẩy).

Nhưng nếu người ta có cách để biết Omega thì dễ dàng tưởng tượng một khả năng “tiên tri cấp hai” sẽ cho phép biết được Omega’. Chiếc “máy siêu tiên tri” này, đến lượt nó, lại có một xác suất dừng Omega”, xác suất này chỉ có thể biết được với một khả năng “tiên tri cấp 3”, và quá trình đó cứ thế tiếp tục mãi mãi. Theo Chaitin, tồn tại một chuỗi vô hạn các số Omega ngẫu nhiên với cấp độ cứ thế mà tăng lên.

Trong nhiều thập kỷ, Chaitin giữ kín những con số này, vì nghĩ rằng chúng quá quái gở để nêu lên ý nghĩa thực tiễn. Giống như Turing đã từng có lúc nghĩ rằng chiếc máy tính giả thuyết của mình chỉ là một chuyện tưởng tượng, Chaitin cũng từng nghĩ rằng những số Siêu-Omega chỉ là những con số tưởng tượng xuất phát từ những chiếc máy tưởng tượng. Nhưng Veronica Becher tại Đại Học Buenos Aires ở Argentina đã gây bất ngờ khi chứng minh rằng những số Siêu-Omega vừa hiện thực vừa có ý nghĩa rất quan trọng. Chaitin thốt lên: “Thật không thể tin nổi, chúng thực sự có một ý nghĩa thực tế đối với computer trong

thực tế”.

 

5* Những lỗ hổng lớn trong toán học:

 

Becher đã cộng tác với Chaitin trong một năm trời, và đã tìm mọi cách giúp Chaitin tìm ra ý nghĩa thực tiễn của các số Siêu-Omega. Với tư cách một nhà khoa học computer, bà băn khoăn suy nghĩ liệu có tồn tại những mối liên hệ giữa các số Siêu-Omega với computer hiện nay hay không.

Computer thực tế hiện nay không chỉ thực hiện những tính toán hữu hạn, mà còn thực hiện những tính toán vô hạn, tạo ra một số vô hạn các kết quả. “Nhiều chương trình ứng dụng được thiết kế để tạo ra một số vô hạn các kết quả ở đầu ra (output)”, Becher nói. Thí dụ như những trang tìm kiếm trên mạng như Netscape hoặc hệ điều hành Windows 2000.

Từ đó Becher đã hướng vào nghiên cứu xác suất để một computer sau một quá trình tính toán vô hạn sẽ chỉ tạo ra một số hữu hạn các kết quả. Để làm điều này, Becher và học trò của bà là Sergio Daicz đã sử dụng một kỹ thuật do Chaitin nghĩ ra. Họ sử dụng một computer thực tế hiện nay và tìm cách biến nó thành một computer gần như siêu phàm để thực hiện “tiên tri”. Phép “tiên tri giả” (fake oracle) quyết định rằng một chương trình sẽ dừng khi và chỉ khi nó dừng trong một phạm vi thời gian T hữu hạn. Đó là một “dị bản yếu” (weakened version) của Sự Cố Dừng. Xác suất dừng, tức số Omega, tuy không thể tính được, nhưng xác suất dừng đối với “dị bản yếu” thì dễ dàng xác định được. Sau đó chỉ việc cho T tiến tới vô cùng. Phương pháp đó cho phép giảm thiểu những sai lệch của “tiên tri giả” khi cho máy chạy càng lâu vàng tốt.

Sử dụng nhiều biến thể của kỹ thuật này, Becher và Daicz đã khám phá ra rằng xác suất để một quá trình tính toán vô hạn sản ra chỉ một số hữu hạn các kết quả ở đầu ra cũng tương tự như Omega’ – xác suất dừng của “computer siêu phàm”. Tiếp tục nghiên cứu sâu hơn, họ chỉ ra rằng Omega” tương đương với xác suất để một computer, trong quá trình tính toán vô hạn,

không tạo ra được một kết quả nào cả.

Những việc này có vẻ như chẳng thú vị gì, nhưng Chaitin tin rằng đó là một bước tiến quan trọng. “Công trình của Becher làm cho toàn bộ hệ thống thang bậc của Omega dường như đáng tin cậy hơn”, Chaitin nói.

Tóm lại, những gì mà Turing và Chaitin nghĩ là chuyện mơ tưởng đã thật sự mang tính hiện thực.

Sau khi thấy những số Siêu-Omega bộc lộ dần ý nghĩa hiện thực, Chaitin tin rằng chúng cũng sẽ lộ diện trong toàn bộ toán học, giống như Omega. Những số Siêu-Omega thậm chí còn mang tính ngẫu nhiên cao hơn Omega: Nếu toán học vượt qua được những chướng ngại do Omega gây ra, họ sẽ phải đối mặt với một rào cản chưa từng gặp khi họ giáp mặt với những kết quả của Becher.

Và điều này còn gây nên những hậu quả ở những nơi khác nữa. Becher và Chaitin nhận định rằng mặc dù những khám phá mới nhất của họ còn phải tiếp tục làm cho rõ ràng hơn nữa, nhưng những kết quả hiện nay đã đủ để thấy rằng bất kỳ một TOE (Lý Thuyết Về Mọi Thứ) nào, khi cố gắng nối kết mọi yếu tố của Vũ Trụ, cũng sẽ phải vượt qua một số vô hạn các rào cản để chứng minh giá trị đích thực của nó.

3-veronica-becher.jpg?w=600

Veronica Becher tại Hội nghị lần thứ 4 về Tính toán Logic và Ngẫu nhiên

(4th Conference on Logic Computability and Randomness)

Marseille, Pháp, từ 29-06 đến 03-07-2009

Việc khám phá ra số Omega đã để lộ cho thấy những lỗ hồng lớn trong toán học, làm cho việc nghiên cứu trong lĩnh vực này có vẻ giống như trò chơi xổ số, và nó phá huỷ niềm hy vọng về một Lý Thuyết Về Mọi Thứ. Ai mà biết được những số Siêu-Omega còn có những khả năng gì nữa? “Và đây mới chỉ là bước khởi đầu”, Chaitin cảnh báo!

 

6* Kết:

 

Công trình của Chaitin đã mở ra một hướng mới trong toán học, vật lý và khoa học computer: Nghiên cứu computer lượng tử nhằm vượt qua Sự Cố Dừng, tức là tìm cách “biết cái không thể biết” (to know the unknowable). Đó là một trong các lĩnh vực mũi nhọn của khoa học hiện đại, nơi các trung tâm khoa học cự phách nhất của thế giới đang chạy đua ráo riết để bứt phá, nhằm vượt qua cái ngưỡng không thể vượt qua của computer hiện tại. Trong cuộc chạy đua này, có một nhà khoa học Úc gốc Việt, Giáo sư Kiều Tiến Dũng(8) tại Đại Học Swinburne, Melbourne, Australia, đã đạt được những thành tựu làm sửng sốt giới khoa học tính toán toàn thế giới.

Tuy nhiên, điều chủ yếu mà bài viết này muốn gửi tới độc giả là tư tưởng chứa đựng trong tuyên bố bất hủ của Chaitin: “Chúa không chỉ chơi trò súc sắc trong cơ học lượng tử, mà ngay cả với các số nguyên” (God not only plays dice in quantum mechanics, but even with the whole numbers).

Điều đó có nghĩa là đã đến lúc giới giảng dạy toán học cần nhận thức lại bản chất của toán học, để có một đường lối giảng dạy đúng đắn hơn, tránh biến toán học thành một khoa học hình thức sáo rỗng, nặng nề và nhàm chán như trong trường phổ thông hiện nay.

Sydney ngày 01 tháng 09 năm 2009

PVHg

Chú thích:

(1): Xem “Gödel, A Life of Logic”, John Casti & Werner DePauli, Perseus Publishing 2000, New York, trang 189.

(2): Xem “Lời sám hối của một nhà toán học hình thức”, Phạm Việt Hưng, Khoa Hoc & Tổ Quốc tháng 05-2009

(3): Như chú thích (1).

(4): Xem “Thầy Bói Xem Voi”, Phạm Việt Hưng, Khoa Học & Tổ Quốc tháng 02-2009.

(5): Định Lý Pythagoras hoặc Định lý cuối cùng của Fermat là những trường hợp riêng của Phương trình Diophantine. Phương trình Diophantine tổng quát là phương trình được nêu lên trong Bài toán số 10 của Hilbert, có dạng:

P(x1, x2, …, xn) = 0     trong đó vế trái là một đa thức của n biến số với các hệ số nguyên.

(6): Xem New Scientist ngày 11-11-2000 trang 32

(7): Xem New Scientist ngày 10-01-2001 trang 46

(8): Xem “Computer lượng tử có thể biết cái không thể biết”, Phạm Việt Hưng,  Tia Sáng số 10 Tháng 06-2003.

 

Nguồn: viethungpham.com


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 05-07-2015 - 15:33


#7 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 05-07-2015 - 15:35

ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN

Phần 7: THỰC RA TOÁN HỌC LÀ GÌ?

 

 

1.jpg?w=300&h=236

Tiêu đề bài viết này được vay mượn từ cuốn sách nổi tiếng “What is Mathematics, Really?” của Reuben Hersh, do Đại học Oxford xuất bản năm 1997, từng đoạt Giải CHOICE dành cho sách hàn lâm xuất sắc nhất năm 1998, được Hội toán học Mỹ đánh giá là “một cuốn sách thú vị, quan trọng, nhiều hoài bão, làm cho một số người tức tối, nhưng được cộng đồng toán học chú ý và hưởng ứng. Cuốn sách có rất nhiều điều hay để bàn, và nó muốn làm sống lại cuộc tranh luận về triết học toán học”. Tại sao Hersh đặt câu hỏi “Thực ra toán học là gì?”. Vì ông nhận thấy tình trạng “thiếu hiểu biết về bản chất của toán học” (misconception of the nature of mathematics) trong hàng ngũ những người giảng dạy toán học, và do đó ông muốn “giúp các thầy giáo và các nhà giáo dục hiểu rõ toán học là gì” (helping mathematics teachers and educators understand what mathematics is).

Khởi nguồn của sự thiếu hiểu biết ấy là Chủ nghĩa hình thức, một chủ nghĩa đã làm méo mó nhận thức toán học và tác động vô cùng tiêu cực tới nhiều nền giáo dục trên thế giới. Năm 1931, chủ nghĩa này đã chính thức bị phá sản khi Kurt Godel công bố Định lý bất toàn (Theorem of Incompleteness), nhưng phải đợi mãi đến cuối thế kỷ 20, nhân loại mới thật sự bừng tỉnh để ngộ ra ý nghĩa của định lý này, và lúc đó mới thật sự nhìn thấy bản chất phản giáo dục của Chủ nghĩa hình thức. Tiếc thay, trong khi thế giới đã tỉnh ngộ thì tại Việt Nam vẫn có những nhà giáo dục tôn sùng chủ nghĩa này như một hình mẫu lý tưởng, gây ảnh hưởng rất bất lợi cho nền giáo dục của nước ta.

Thật vậy, cách đây vài năm, một nhà giáo dục (xin viết tắt: NGD) từng viết sách giáo khoa của chúng ta đã tuyên bố trên báo chí:

“Xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học” (!)

 

1* “Điểm mạnh của toán học”?

 

Tuyên bố của NGD nói trên nghe như một bản sao chép + diễn giải tư tưởng của các lãnh tụ trường phái hình thức cách đây 100 năm.

Điển hình là tư tưởng của “ông thánh hình thức” David Hilbert:

“Bất kể lúc nào người ta cũng có thể nói về điểm, đường, mặt như là nói về cái bàn, cái ghế, và cốc bia”(1).

Hoặc tư tưởng của “kiện tướng logic” Bertrand Russell:

“Toán học là một khoa học mà trong đó người ta không bao giờ biết người ta đang nói về cái gì, miễn là cái điều người ta nói là đúng”(2).

Những phát ngôn nói trên đều ngụ ý rằng toán học “chân chính” không quan tâm đến ý nghĩa thực tế của các đối tượng toán học, mà chỉ quan tâm tới quan hệ logic giữa các đối tượng ấy – Chừng nào toán học còn bám vào ý nghĩa thực tế của các đối tượng toán học thì chừng ấy toán học còn kém và thậm chí chưa phải là toán học (!).

Thí dụ viết 2 USD + 3 USD = 5 USD là kém toán học (!), bởi vì toán học “chân chính” không quan tâm tới bản chất vật chất của các số 2, 3, 5.

Toán học “chân chính” chỉ quan tâm tới “ánh xạ”: 2 + 3 = 5

Kiểu toán học “xa rời thực tế” như thế thực ra chẳng có gì mới, bởi đó là “sáng tạo” của Gottlob Frege, vì Frege là người đầu tiên đưa ra định nghĩa “tinh khiết” của số:

“2 là tập hợp các cặp đôi, 3 là tập hợp các bộ ba, …”.

Có nghĩa là với Frege, 2 không “tầm thường” chỉ là “2 con gà, 2 con vịt” mà là một cái gì đó “cao siêu trừu tượng” hơn nhiều. Toán học “chân chính” không quan tâm tới “2 con gà, 2 con vịt” mà quan tâm tới số 2 “tinh khiết” và “xa rời thực tế”. Khi ấy, phép toán 2 + 3 = 5 cũng không phải là “phép thêm/bớt” như cách nghĩ “tầm thường” của nhân loại trong hàng ngàn năm trước, mà phải quan niệm đó là một “phép ánh xạ”, v.v. và v.v.

Tuy nhiên, nếu độc giả đã đọc bài “Lời sám hối của một nhà toán học hình thức” trên Khoa Học & Tổ Quốc tháng 03-2009 thì hẳn còn nhớ rằng vào lúc “vận đỏ”, Frege được ca tụng như “ngọn đèn pha của chủ nghĩa hình thức”, nhưng khi gặp “vận đen”, toàn bộ công trình số học hình thức của ông đã bị sụp đổ tan tành chính vì cái định nghĩa “tinh khiết” về số của ông!

Nhưng mặc dù số phận kết thúc bi thảm, Frege đã nêu một tấm gương sáng chói về đức tính trung thực và dũng cảm: Ông đã cất lời sám hối, phủ nhận toàn bộ tư tưởng hình thức mà ông đã dâng hiến cả cuộc đời, gián tiếp thừa nhận những định nghĩa số học “tinh khiết” và hình thức chẳng qua chỉ là một trò chơi hão huyền của mấy nhà toán học ngộ chữ!

Sáu năm sau khi Frege mất, Định Lý Bất Toàn của Godel cho thấy sự sám hối của Frege là hoàn toàn đúng, đồng thời chỉ ra rằng Chủ nghĩa hình thức chỉ là một giấc mơ hão huyền, không tưởng. Vậy mà 70 năm sau, NGD của chúng ta lại mơ cái giấc mơ hão huyền không tưởng đó: “Xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học”.

Chưa hết. NGD này giảng giải tường tận:

“Thầy giáo cho học sinh chỉ vào các tranh vẽ và nói: Đây là hai con vịt, đây là hai viên bi, đây là hai em bé … Thầy giáo còn có thể chỉ vào các đồ vật trong phòng để học sinh nói tiếp: Đây là hai viên phấn, kia là hai cánh cửa. Sau đó thầy cho học sinh biết rằng: Hai là con số hai, được viết là 2 … Cách dạy như trên là hoàn toàn đúng, mặc dầu học sinh học xong vẫn không trả lời được câu hỏi: Số 2 là gì?”.

Số 2 là cái gì mà “bí hiểm” đến như vậy?

Rõ ràng là NGD này muốn “gợi mở” cho chúng ta thấy ý nghĩa gì đó rất “thâm sâu” của số 2, bởi các em nhỏ dù đã biết đếm “2 con gà, 2 con vịt” nhưng cuối cùng vẫn chẳng hiểu số 2 là gì (!). Tôi e rằng nếu đem câu hỏi “Số 2 là gì?” mà hỏi khắp bàn dân thiên hạ, thì chắc chắn có tới 99,99% dân số sẽ trố mắt ngạc nhiên vì không hiểu tại sao họ được hỏi câu hỏi đó.

Rốt cuộc “Số 2 bí hiểm” này là cái gì vậy?

Phải chăng đó là số 2 của Frege? Hay số 2 nào khác còn “bí hiểm” hơn cả số 2 của Frege? Tôi không tin NGD của chúng ta có sáng tạo gì mới. Có lẽ ông cũng chỉ nhắc lại những tư tưởng đã quá cũ của các bậc tiền bối mà ông tôn thờ đấy thôi. Phải chăng vì quá đam mê với những ý nghĩa “thâm sâu” của số 2 nên NGD đó không đếm xỉa tới “lời sám hối” của Frege? Hoặc do thiếu thông tin, ông không biết tới “lời sám hối” này?

Nhưng dù số 2 của NGD này “bí hiểm” đến thế nào đi chăng nữa, tôi có thể quả quyết rằng ý đồ áp đặt tư tưởng số học siêu hình lên đầu trẻ em là một việc hết sức phản giáo dục và phản sư phạm! Điều này đã được chứng minh hùng hồn trong thực tiễn giáo dục ở Pháp, như độc giả sẽ thấy rõ ở mục sau. Bây giờ xin tiếp tục chú ý tới quan điểm của NGD của chúng ta.

Ông nói: “… có những khái niệm toán học không thể tìm thấy cái thực tế nào để minh hoạ. Cũng như không có một điểm tựa trực giác nào cả”. Rồi ông đưa ra thí dụ như căn bậc hai của 2 ( ), với kết luận hùng hồn: “Vậy là số vô tỷ căn bậc hai của 2 không tồn tại trong thực tế”.

Khoan hãy nói về trực giác, xin nói ngay rằng đây là một nhận thức HOÀN TOÀN SAI về bản chất của số vô tỷ, tức là SAI VỀ TOÁN HỌC.

 

2* Số vô tỷ có tồn tại trong thực tế hay không?

 

Số vô tỷ ra đời chính từ hình học. Nói cụ thể hơn, căn bậc hai của 2 ra đời từ chính Định Lý Pythagoras: Căn bậc hai của 2 là độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1. Nếu người ta không thể đo độ dài đường chéo này một cách tuyệt đối chính xác, ấy là vì đường chéo của hình vuông và cạnh của nó là hai đoạn thẳng vô ước. Nếu độ dài cạnh hình vuông là một số hữu tỷ thì độ dài đường chéo sẽ là một số vô tỷ; Đảo lại, nếu độ dài đường chéo hình vuông là một số hữu tỷ thì độ dài cạnh của nó sẽ là một số vô tỷ! Điều đó có nghĩa là: Số hữu tỷ và số vô tỷ tuy vô ước với nhau nhưng chúng cùng tồn tại một cách bình đẳng với nhau trong Tập số thực (R), tức là tồn tại bình đẳng với nhau trong thực tế. Số hữu tỷ tồn tại trong thực tế thế nào thì số vô tỷ cũng tồn tại trong thực tế thế ấy. Chính vì thế mà tập hợp số hữu tỷ và tập hợp số vô tỷ hợp lại thành tập hợp số thực.

Vào thời của Pythagoras, tức là cách đây hơn 2500 năm, người ta chưa hiểu khái niệm hai độ dài vô ước, vì thế mới dẫn tới nỗi “hoảng sợ” khi gặp số vô tỷ. Nhưng vào thế kỷ 21 mà đem chuyện này ra để làm học sinh “hoảng sợ” vì “số vô tỷ không tồn tại trong thực tế” thì quả thật là một nhầm lẫn tệ hại về sư phạm và nhận thức toán học.

Tương tự như khi tính chu vi hình tròn: Nếu độ dài bán kính hình tròn là một số hữu tỷ thì chu vi của nó sẽ là một số vô tỷ; Đảo lại, nếu chu vi hình tròn là một số hữu tỷ thì độ dài bán kính của nó sẽ là một số vô tỷ. Vậy nếu ai đó nói “chu vi hình tròn là một số không tồn tại trên thực tế” thì mọi người sẽ nghĩ sao? Việc tính chu vi hình tròn đã diễn ra trong hàng ngàn năm nay, vậy hoá ra loài người lao vào tính toán một cái gì đó không tồn tại trong thực tế hay sao? Rõ ràng phát biểu của NGD nói trên là vội vã hồ đồ. Dường như ông muốn áp đặt tư duy của thời Pythagoras lên thế kỷ 21 (!).

Phải chăng NGD của chúng ta không biết rõ lịch sử số 0 (số không, số zero)? Bởi nếu biết, rất có thể ông sẽ nói “số 0 không tồn tại trong thực tế”, để thuyết phục mọi người rằng “xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học”.

Thật vậy, thưa độc giả, Bà Mẹ Toán Học đẻ ra số vô tỷ từ thời Pythagoras, tức là từ hơn 2500 năm trước đây, nhưng phải đợi mãi tới khoảng thế kỷ thứ 6 sau CN thì số 0 mới ra đời (tức là muộn hơn số vô tỷ tới hơn 1000 năm). Tại sao vậy? Vì số 0 trừu tượng gấp bội số vô tỷ!

Quả thật số 0 rất trừu tượng: Số ra đời từ việc đếm các đối tượng vật chất cụ thể, vậy nếu không có gì để đếm thì làm sao người ta có thể nghĩ ra một con số tượng trưng cho cái không hiện hữu?

Ngày nay chúng ta đã quá quen thuộc với số 0, cảm nhận được sự hiện diện của nó trên trục số rõ ràng đến nỗi chúng ta không để ý tới lịch sử ra đời của số 0. Nhưng xin thưa độc giả, sự ra đời của số 0 được coi là một trong những khám phá vĩ đại nhất của toán học. Để cảm nhận được cái vĩ đại này, có hai cách: 1-Hãy chú ý tới hệ đếm của những dân tộc có nền văn minh cổ đại rực rỡ bậc nhất như Trung Hoa, Hy Lạp, La Mã. Hệ đếm của họ không có số 0. Chẳng hạn, người Trung Hoa chỉ có các số nhất, nhị, tam, tứ, ngũ, lục, thất, bát, cửu, thập; 2-Hãy tưởng tượng cuộc sống của chúng ta hôm nay không có số 0. Hệ đếm đơn giản nhất hiện nay là hệ đếm của máy tính, chỉ có 2 chữ số, đó là 1 và 0. Vậy nếu không có số 0 thì sao đây?

Nhưng tại sao người Ấn Độ lại tìm ra số 0?

“SUNYA là một từ cổ Ấn Độ, có nghĩa là zero, tức số 0. Trong dãy số thập phân, 0 và 1 đứng cạnh nhau, nhưng từ 1 đến 0 lại là cả một hành trình vĩ đại của tư duy. Thật vậy, sau số 1 phải đợi một thời gian dài đằng đẵng, hơn 10 thiên niên kỷ, số 0 mới có thể ra đời tại Ấn Độ. Cơn đau đẻ vật vã này là kết quả của sự hôn phối giữa Bà Mẹ Toán Học với Ông Bố Triết Học – những tư tưởng thâm thuý sâu xa trừu tượng và cao siêu của Cái Không (The Nothingness) mà trong quá khứ dường như chỉ xứ Ấn Độ mới có. Cái Không ấy đã được Denis Guedj, giáo sư lịch sử khoa học tại Đại Học Paris, diễn đạt trong cuốn “Số, Ngôn ngữ phổ quát” (Numbers, the Universal Language) bằng ngôn ngữ hiện đại như sau: Số 0 là cái chẳng có gì mà lại làm nên mọi thứ”(3).

Tóm lại, nguồn gốc ra đời của số 0 còn phức tạp và khó hiểu gấp bội số vô tỷ. Nhưng có nên huyễn hoặc cái bản chất trừu tượng của số 0 với trẻ em không? Có nên dạy cho trẻ em học số 0 theo triết học của người Ấn Độ cách đây khoảng 1500 năm hay không? Và có ai dám nói số 0 không tồn tại trong thực tế không?

Chưa hết, để thuyết phục mọi người rằng “xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học”, NGD của chúng ta đã không ngần ngại nói rõ:

“Tôi cho rằng nói 2 + 3 = 5 hoặc 1/3 + 1/6 = 1/2 chưa hẳn đã khô khan và nghèo nàn hơn là nói 2 quả nho khô + 3 quả nho khô = 5 quả nho khô hoặc 1/3 cái xe đạp + 1/6 cái xe đạp = 1/2 cái xe đạp”.

Toàn bộ ý tưởng ở đây là: Khi trình bầy phép tính, không nên viết đơn vị đo bên cạnh con số, vì trình bầy như thế là kém toán học (!)

Không cần bình luận nhiều, mọi người có thể thấy ý kiến nói trên mang đậm dấu ấn của Chủ nghĩa Frege. Chính vì chủ nghĩa hình thức không đếm xỉa đến ý nghĩa thực tế của các đối tượng toán học nên NGD của chúng ta mới dám “sáng tạo” nên cái thí dụ kỳ quái rằng:

1/3 cái xe đạp + 1/6 cái xe đạp = 1/2 cái xe đạp

Chắc chắn những ai có tư tưởng thực tiễn sẽ không bao giờ viết ra một đẳng thức “xa rời thực tế” như vậy. Chỉ có những người mắc bệnh hoang tưởng hình thức mới dám viết như thế. Tiếc thay, “gậy ông lại đập lưng ông” – chính thí dụ đó lại là bằng chứng phản lại tác giả của nó. Nó tố cáo tác giả là một môn đệ trung thành, tự nguyện, nhưng quá muộn mằn của trào lưu “Toán Học Mới” ở Tây phương những năm 1960.

 

3* “Toán Học Mới” những năm 1960:

 

2.jpg?w=600

Qua bài “Lời sám hối của một nhà toán học hình thức” (đã dẫn), độc giả đã biết rõ nỗi khao khát cháy bỏng của Chủ nghĩa hình thức, biểu lộ qua phát biểu của Bertrand Russell: “Tôi khao khát tìm kiếm cái chắc chắn (certainty) giống như người ta khao khát đức tin tôn giáo. Tôi nghĩ tính chắc chắn dường như có trong toán học nhiều hơn ở bất kỳ nơi nào khác”. Nỗi khao khát ấy mãnh liệt đến nỗi nó bất chấp Định Lý Bất Toàn của Godel, để đến giữa những năm 1960 lại hồi sinh trong những công trình đồ sộ của nhóm Nicolas Bourbaki. Nếu sự hồi sinh này đóng khung trong phạm vi nghiên cứu toán học thuần tuý thì có lẽ đó chỉ là chuyện riêng tư của các nhà toán học. Nhưng tiếc thay, nó đã tràn vào lĩnh vực giáo dục dưới ngọn cờ “Toán Học Mới” (New Mathematics), trong đó Logic và Tập hợp được đẩy lên vị trí “thái thượng hoàng” của toán học, nền móng của toán học, và số học được trình bầy theo kiểu hình thức “xa rời thực tế” của Frege.

Những ai thật lòng muốn tìm hiểu sự thật về cái gọi là “Toán Học Mới”, xin vui lòng đọc bài “Pour des Maths sans échec” (Vì một môn Toán không làm hỏng học trò) của Stella Baruk trên L’Express(4) ngày 10-11-1992. Ở đây chỉ xin thông báo vắn tắt rằng “Toán Học Mới” đã làm hỏng học trò, làm rối loạn môn toán ở trường phổ thông.

Trước tình trạng rối loạn đó, Bộ Giáo Dục Pháp buộc phải mở một cuộc điều tra. Kết quả thật thảm hại, điển hình là câu chuyện “L’âge du capitaine” (Tuổi của vị thuyền trưởng) mà Stella Baruk đã lấy làm chủ đề cho một cuốn sách của bà.

Baruk cho biết: “Theo sáng kiến của Viện nghiên cứu giảng dạy toán học (Institut de Recherche sur l’Enseignement Mathématique) ở Grenoble, bài toán sau đây đã được đặt ra với 97 học sinh lớp 1 và lớp 2: “Trên một con thuyền, có 26 con cừu và 10 con dê. Hỏi tuổi của vị thuyền trưởng là bao nhiêu?”. Trong 97 học sinh, có 76 em đã sử dụng luôn những con số đã cho trong đầu bài để trả lời: 26 tuổi hoặc 10 tuổi! Thực tế là học trò đã trả lời các bài toán bằng cách cộng số tiền francs với số lít hoặc cộng số người với số quả táo. Sau một vài tháng ở nhà trường, các em đã từ bỏ ý nghĩa thực tế của các con số và cho rằng không cần hiểu ý nghĩa của chúng”(5).

Trên L’Express, Baruk còn cho biết có em trả lời tuổi của vị thuyền trưởng là 36, bằng cách áp dụng hồn nhiên những gì đã được dạy – thực hiện phép tính mà không đếm xỉa tới ý nghĩa thực tế: 26 + 10 = 36 (!).

Không cần phải nói, ai cũng thấy chỉ có chủ nghĩa hình thức mới có thể dẫn tới những đẳng thức cười ra nước mắt như sau:

26 con cừu + 10 con dê = 36 tuổi

1/3 cái xe đạp + 1/6 cái xe đạp = 1/2 cái xe đạp

Vậy nếu NGD của chúng ta có gì khác với “Toán Học Mới”, thì chỉ khác ở hai điểm sau đây:

• Khác nhau về thời điểm: “Toán Học Mới” xuất hiện vào giữa những năm 1960 (để rồi chết vào những năm 1970-1980), nhưng tư tưởng xa rời thực tế của nó đã được NGD của chúng ta nhắc lại vào đầu thế kỷ 21.

• Khác nhau về mức độ tỉnh thức: Hiện nay không còn ai theo đuổi đường lối toán học của Bourbaki nữa. “Toán Học Mới” đã cáo chung – chính thức bị phê phán như một thảm hoạ giáo dục của thế kỷ 20. Phương pháp dạy toán ở Tây phương đã thay đổi. Chủ nghĩa hình thức bị phê phán. Cả nghiên cứu lẫn giảng dạy toán học đều chuyển hướng vào những đề tài cụ thể và thiết thực. Trong khi đó, NGD của chúng ta không hề thay đổi quan điểm. Ngược lại, dường như tư tưởng của ông còn có ảnh hưởng lan rộng trong ngành giáo dục. Đó chính là nguồn gốc sâu xa của tình trạng dạy giả + học giả ở nước ta hiện nay.

Bây giờ xin quay lại khái niệm trực giác: “… có những khái niệm toán học không thể tìm thấy cái thực tế nào để minh hoạ. Cũng như không có một điểm tựa trực giác nào cả”, NGD của chúng ta đã nói như thế.

 

4* Vai trò của trực giác:

 

Phát biểu nói trên để lộ ra rằng NGD của chúng ta hiểu khái niệm trực giác quá thô sơ, đơn giản, lẫn lộn khái niệm trực giác với khái niệm hiện thực thô sơ – hiện thực nhìn thấy, nghe thấy, ngửi thấy, nếm thấy, sờ thấy.

Thực ra trực giác không đơn giản chỉ là khả năng cảm nhận hiện thực thông qua ngũ quan và thậm chí trực giác cũng không phải là ý thức (mental consciousness, tiếng Phạn là mano vijnana). Trực giác càng không phải là những phân tích logic suy diễn theo kiểu “tam đoạn luận” của Aristotle. Trực giác là một cái gì đó len lỏi trong tất cả những khả năng nhận thức nói trên, tồn tại song song với chúng, liên quan chặt chẽ với chúng và trở thành trợ thủ đắc lực của chúng.

Tuy nhiên, trực giác vẫn là một trong những bí mật lớn nhất của khoa học thần kinh nói riêng và khoa học nhận thức nói chung. Chưa có một công trình khoa học nào chứng minh được bản chất vật chất của trực giác là gì, sơ đồ hoạt động của trực giác ra sao.

Nhưng kỳ lạ thay và thú vị thay: Chính trực giác báo cho chúng ta biết sự tồn tại của nó! Nhân loại thừa nhận sự tồn tại của trực giác. Tất cả các nhà khoa học giỏi nhất đều nhấn mạnh trực giác đã hướng dẫn họ khám phá ra sự thật chứ không phải logic suy diễn.

Henri Poincaré nói: “Logic giúp ta chứng minh, trực giác giúp ta phát minh” (C’est par la logique qu’on démontre, c’est par l’intuition qu’on invente).

Albert Einstein cũng nói: “Nhiệm vụ tối cao của nhà vật lý là khám phá ra những định luật cơ bản phổ quát … Không có con đường logic để đi tới những định luật đó; chỉ có trực giác dựa trên nhận thức giao cảm (sympathetic understanding) mới dẫn tới chúng”(6).

Trong cuốn “An incomplete Education” (Một nền giáo dục không đầy đủ), Judy Johns và William Wilson diễn tả trực giác như là khả năng khám phá ra những “sự thật bất chợt” (unexpected truths), và đó chính là điểm hơn hẳn của con người so với computer. Computer dù thông minh tài giỏi đến mấy, xét cho cùng cũng vẫn chỉ là những tên nô lệ dốt nát, bởi vì computer vĩnh viễn sẽ không bao giờ có thể có trực giác(7). Trực giác là một đặc ân mà Tự Nhiên đã ban cho con người.

Trong cuốn “What is Mathematics, Really”, trang 63, Reuben Hersh phân tích một cách sâu sắc vai trò của trực giác trong khám phá toán học:

“Chẳng hạn, hãy xét Giả thuyết Continuum (Giả thuyết do Georg Cantor nêu lên năm 1877, nói rằng không tồn tại một tập hợp nào có lực lượng nằm giữa tập số nguyên và tập số thực, PVH). Godel và Cohen đã chứng minh rằng dựa trên các tiên đề về tập hợp trong toán học đương đại, giả thuyết này không thể chứng minh và cũng không thể bác bỏ. Những người theo chủ nghĩa Platonism (chủ nghĩa đòi hỏi mọi khái niệm phải có đối chứng hiện thực, PVH) cho rằng đây là một dấu hiệu của sự ngu dốt. Continuum (tức real line, trục số thực, PVH) là một sự vật xác định rõ ràng, độc lập với ý nghĩ của con người. Nó có thể chứa và cũng có thể không chứa một tập con vô hạn không tương đương với tập số nguyên cũng chẳng tương đương với tập số thực (tức là có thể có và cũng có thể không có một tập hợp nào mà lực lượng của nó nằm giữa tập số nguyên và tập số thực, PVH). Trực giác của chúng ta phải được huy động để trả lời cho chúng ta biết sự thật trong trường hợp này. Những người theo chủ nghĩa Platonism cần trực giác để nối kết nhận thức của con người với hiện thực toán học. Nhưng cái trực giác của anh ta lại lờ mờ. Anh ta không mô tả được nó, chỉ mình anh ta hiểu nó mà thôi. Làm thế nào để có được cái trực giác ấy? Cái trực giác ấy nó thay đổi từ người này sang người khác, từ một thiên tài toán học này sang một thiên tài toán học khác. Nó cần phải được phát triển và chắt lọc. Nhờ ai và dựa trên tiêu chuẩn nào mà người ta phát triển cái trực giác đó? Phải chăng cái trực giác ấy trực tiếp nhận thức được cái hiện thực trừu tượng, giống như mắt chúng ta nhận thức được cái hiện thực có thể nhìn thấy? Vậy trực giác là một thực thể trừu tượng thứ hai, một kiểu nhận thức mang tính chủ quan, bổ sung cho cái hiện thực toán học theo chủ nghĩa Platonism”.

Đọc lời của Hersh, tôi liên hệ tới NGD của chúng ta: Nếu bản thân ông không có trực giác về căn bậc hai của 2 thì quả thật không ai có thể giảng cho ông hiểu cái trực giác ấy nó như thế nào. Điều này cũng khó như bắt một người không có trực giác âm nhạc phải cảm nhận được vẻ đẹp siêu thoát trong giai điệu buồn mênh mang của Giao hưởng Pastoral của Beethoven, hoặc bắt một người không có trực giác hội hoạ phải cảm thụ được vẻ đẹp trong tranh của Picasso. Có lẽ hiểu rõ điều đó rõ hơn ai hết nên Picasso đã nói: “Nghệ thuật là một lời nói dối giúp ta hiểu được sự thật” (Art is a lie which makes us realise the truth). Quả thật, nếu không có trực giác về Cái Đẹp, bạn khó có thể cảm thụ được cái đẹp âm nhạc, cái đẹp hội hoạ và cả cái đẹp của toán học nữa! Toán học không thể đẹp nếu nó chỉ là một đống ký hiệu chết – đống ký hiệu không làm rung động tâm trí học trò. Đó là lý do vì sao bà Stella Baruk tha thiết kêu gọi: “Dạy toán phải bắt đầu từ việc giải thích ý nghĩa của các từ ngữ, nghĩa là dạy toán giống như dạy một thứ ngôn ngữ sống”.

Bản chất toán học vốn rất đẹp, chỉ có những người không hiểu bản chất của nó mới làm cho toán học trở nên rắc rối, khó hiểu, tức là làm cho toán học trở nên xấu xí, đúng như Stella Baruk đã nói:

“Không có toán học rắc rối, chỉ có những đứa trẻ bị làm cho rối óc mà thôi”.3.jpg?w=600&h=417

Vậy phải chăng chuyện phóng đại “căn bậc hai của 2 không tồn tại trong thực tế” xuất phát từ chỗ NGD của chúng ta thuộc lòng câu chuyện Pythagoras khám phá ra số vô tỷ nhưng “sợ” không dám công bố? Tôi nghĩ việc Pythagoras “sợ” không công bố số vô tỷ có lẽ giống như việc Karl Gauss khám phá ra Hình Học Phi-Euclid nhưng cũng “sợ” không dám công bố. Bản chất sự “sợ hãi” trong hai trường hợp này mang tính tâm lý và xã hội nhiều hơn là khoa học: Họ sợ nói ra điều làm người khác không hiểu, thay vì họ không tìm thấy một điểm tựa trực giác nào cho khám phá của họ. Chắc chắn những nhà toán học vĩ đại như Pythagoras hay Karl Gauss đều có trực giác vĩ đại, từ trực giác số vô tỷ cho tới trực giác về Hình học Phi-Euclid!

Khi Bernhard Riemann tìm ra Hình học về các đa tạp (manifolds) của ông, tức Hình Học Riemann, có người hỏi vặn: “Liệu cái hình học kỳ quặc của ông có tìm được một mô hình thực tế nào phù hợp với nó không?”. Riemann trả lời quả quyết: “Vật lý hiện nay chưa đủ sức để tìm ra mô hình vật chất tương xứng với nó, nhưng tôi tin trong tương lai người ta sẽ tìm ra”. Quả thật, khoảng 70 năm sau, Albert Einstein đã chứng minh tiên đoán của Riemann là hiện thực: Hình học Riemann chính là cái khung toán học để Einstein xây dựng Thuyết tương đối tổng quát.

Vậy có nên nghĩ rằng Riemann xây dựng cái hình học của ông dựa trên logic thuần tuý mà không có một trực giác dẫn đường nào không? Có nên nghĩ rằng Pythagoras khám phá ra số vô tỷ bằng con đường thuần tuý logic mà không có trực giác dẫn đường không?

 

4* Kết:

 

Tôi không rõ cái kiểu toán học “xa rời thực tế” của Chủ nghĩa hình thức sẽ cần thiết cho những ai, nhưng tôi biết chắc chắn nó hết sức vô dụng đối với các nhà vật lý, hoá học, sinh học, kinh tế, tài chính, nhà quản lý, nhà xã hội học, văn nghệ sĩ, công nhân, nông dân, v.v. tức là vô dụng đối với 99,99% học sinh và 99,99% nhân loại.

Giả sử có một học sinh phổ thông thấm nhuần tư tưởng “xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học” đến nỗi sau này, khi đã trở thành một nhà kinh tế tài chính, anh ta (chị ta) bèn áp dụng điều đã được học vào các bảng biểu tài chính với những số tiền khổng lồ mà không thèm ghi rõ đơn vị đo là USD hay VNĐ, thậm chí đem cộng hoặc trừ những tài khoản USD với VNĐ, thì không biết số phận nhà kinh tế tài chính ấy sẽ ra sao?

Và sau đây là một sự thật: Tại trung tâm NASA, khi điều tra lý do  những lần con tầu vũ trụ bị nổ, có lần người ta đã phát hiện ra một lỗi không thể nào tin nổi – trong số các chương trình tham gia vận hành con tầu, có chương trình dùng đơn vị đo độ dài là “mét” (mètre), có chương trình dùng đơn vị là “inch”. Khi phối hợp các chương trình với nhau, con tầu “không hiểu”, và do đó đã nổ tung giữa trời, bên trong có phi công vũ trụ(8).

Vậy xin kết luận:

1-Chủ nghĩa hình thức ra đời từ đầu thế kỷ 20 là một sai lầm nghiêm trọng trong nhận thức về bản chất của toán học.

2-Sai lầm ấy đã được Định Lý Bất Toàn của Kurt Godel chứng minh một cách rõ ràng và không thể chối cãi. Mọi ý đồ chống lại Định Lý Godel chỉ nói lên “sự thiếu hiểu biết về bản chất của toán học”, như Reuben Hersh đã nói.

3-Sự hồi sinh của Chủ nghĩa hình thức vào giữa những năm 1960 dưới ngọn cờ của “Toán Học Mới” nói lên rằng Chủ nghĩa hình thức mang bản chất bảo thủ và tự phụ, coi thường kiến thức của tổ tiên trong hàng ngàn năm trước.

4-Tính bảo thủ ấy xuất phát từ sự cám dỗ của khát vọng tìm thấy chân lý tuyệt đối – khát vọng tìm thấy “Thiên đường toán học”, tức “Con Voi” mà “sáu anh mù ở xứ Indostan” muốn khám phá. Triết học hiện đại gọi “Con Voi” đó là “Chiếc chén thánh của Chủ nghĩa hình thức” (The Holy Grail of Formalism).

5-Tuy nhiên, vào cuối thế kỷ 20, nhân loại đã ngộ ra ý nghĩa vĩ đại của Định Lý Bất Toàn và thấy rõ bản chất phản khoa học + phản giáo dục của Chủ nghĩa hình thức. Toán học và giáo dục toán học trên thế giới đã và đang quay về chủ nghĩa hiện thực: Cả nghiên cứu lần giảng dạy đều hướng vào những chủ đề thiết thực. Không ai theo đuổi đường lối toán học của Bourbaki nữa.

6-Đáng tiếc là vẫn có những nhà giáo dục không theo kịp thời đại, không nhìn thấy thế giới đã thay đổi, nên tiếp tục khư khư ôm giữ những quan điểm lỗi thời, gây tác hại không sao kể xiết đối với nền giáo dục, dẫn tới thảm hoạ “dạy giả + học giả” như hiện nay.

Henri Poincaré, nhà toán học và triết học thiên tài, từng nói:

• “Tư tưởng chỉ là một ánh chớp giữa hai đêm dài, nhưng ánh chớp ấy là tất cả”. Ánh chớp ở đây là gì, nếu không phải là trực giác?

• “Logic dạy cho chúng ta biết trên con đường nào chúng ta không gặp trở ngại; Nhưng logic không nói cho chúng ta biết cái gì hướng dẫn chúng ta tới đích. Để tới đích, ta phải thấy đích từ xa. Khả năng giúp ta thấy đích từ xa chính là trực giác. Không có trực giác, nhà hình học sẽ giống như một nhà văn bị đóng đinh vào ngữ pháp nhưng rỗng tuếch về tư tưởng”. Vậy bạn có tin rằng bạn có thể hiểu thấu đáo một khái niệm toán học nào nếu bạn không có trực giác về nó hay không?

• “Mục tiêu chủ yếu của giáo dục toán học là phát triển một số năng lực tinh thần, trong đó trực giác là cái không kém phần quý giá”. Vậy dạy toán phải đặc biệt chú ý đến việc kích thích trực giác chứ không phải ra sức ép buộc học sinh bắt chước sử dụng các ký hiệu logic một cách máy móc.

Sydney 01 tháng 10 năm 2009

PVHg

Chú thích:

(1) Xem “Frege and Hilbert on the Foundations of Geometry”, Susan G. Sterrett. Địa chỉ trên mạng: http://philsci-archi...chive/00000723/

(2)  Xem “Pour la SCIENCE, Les Génies de la Science, Henri Poincaré, Phylosophe et Mathématicien”, T.21

(3)  Xem “Từ Sunya đến bộ quần áo mới của hoàng đế”, Phạm Việt Hưng, Văn Nghệ số 27 ngày 06-07-2002

(4) L’Express là một tạp chí nghiêm túc và rất nổi tiếng của Pháp.

(5) Xem bài “En pratique” trên trang mạng http://www.vousnousils.fr

(6) Xem Pythagoras Trousers, Margaret Wertheim, Four Estate, London, 1997, Trang 187

(7) Xem “Dao sắc không gọt được chuôi”, Phạm Việt Hưng, Tia Sáng Trẻ số 1 ngày 25-05-2002

(8) Chuyện này do một Giáo sư lập trình người Mỹ kể cho các chuyên gia lập trình của Úc trong một khoá huấn luyện đặc biệt tại Sydney, Australia. Chuyên gia lập trình Phạm Kiều My kể lại chuyện này cho tác giả bài viết này.

 

 

Nguồn: viethungpham.com


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 05-07-2015 - 15:39






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tham khảo

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh