1 reply to this topic

[anh1999]

chứng minh $3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\vdots 22$

[Nguyen Minh Hai]

chứng minh $3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\vdots 22 (1)$

Chứng minh bằng Quy nạp.

Xét với $n=0$ ta có: $3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5=3^2+2^3+5=22 \vdots 22$

Giả sử (1) đúng với $n=k$, tức là:  $3^{2^{4k+1}}+2^{3^{4k+1}}+5$ $\vdots 22$

Xét với $n=k+1$, ta có:

$3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5=3^{2^{4k+5}}+2^{3^{4k+5}}+5$

 

$=3^{2^{4k+1}.2^4}+2^{3^{4k+1}.3^4}+5$

 

$=\left ( 3^{16} \right )^{2^{4k+1}}+\left ( 2^{81} \right )^{3^{4k+1}}+5$

 

$\equiv 3^{2^{4k+1}}+2^{3^{4k+1}}+5 \vdots 22$                  vì $3^{16} \equiv 3(mod22)$, $2^{81} \equiv 2 (mod 22)$

 

Theo nguyên lí quy nạp bài toán được chứng minh! 

Edited by Nguyen Minh Hai, 05-07-2015 - 15:51.